勾股定理及其逆定理复习典型例题

1、勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1 ）首先确定最大边（如：C,但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系， 若c2=a2+b2，则 ABC是以/ C为直角

2、的三角形。（若c2>a2+b2则厶ABC是以/ C为钝角的三角形，若c2<a2+b2则厶ABC 是以/ C为锐角三角形）、例题分析3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。3x， 4x，根据题意得：例1、若直角三角形两直角边的比是 解：设此直角三角形两直角边分别是（3x） 2+（4x） 2=202化简得x2=16 ；二直角三角形的面积 =1 X3xX4x=6x2=962注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求 解。例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。解：如图，等边 ABC，作 AD丄BC于D则：BD= 1BC （等腰三角形底边上的高与底边

3、上的中线互相重合）2/ AB=AC=BC=2 （等边三角形各边都相等） BD=1在直角三角形 ABD 中 AB2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2 BD2=4 1=3 AD= .,3abc = BC * AD=2注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 、3 a4例3、直角三角形周长为 12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得："x +y 十5 =12（1）* 2 2 2,x2+y2=52由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=492xy= X12=6 （cm ）2 2a=1，b

4、=3，求第三边的变化范围一（2），得：xy=12二直角三角形的面积是例4、在锐角 ABC中，已知其两边分析：显然第三边 b avcvb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值。解：设第三边为 c，并设 ABC是直角三角形 当第三边是斜边时，c2=b2+a2，. c= . 10 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2 =a2+， c=22 （即 8 ） ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点 B旋转，使/ ABC成为锐角（如图），但当移动到点 A2位置时/ ACB成为直角。故点 A应当在A1和A?间移动，此时 2 2

5、<AC< 10 注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角 边，所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+ b2的变形：b2=c2 a2=（ c a） （c+a）来判断。例如：对于选择支 D，丁 82工（40+39 ） x （40 39），以8，39，40为边长不能组成直角三角形。答案：A 例 6、四边形 ABCD 中，/ B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四

6、边形 ABCD的面积。解：连结AC/ B=90° , AB=3 , BC=4 AC2=ab2+BC2=25 （勾股定理） AC=5T AC2+CD2=169 , AD2=169 ac2+cd2=ad 2S四边形ABCD =S ABC+s=1ACD 一ABBC+1 AC CD=36/ ACD=90 （勾股定理逆定理）本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2 , n+3,求n。分析：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (

7、n+3) 2 化简得：n2=4n=±2,但当 n = 2 时，n+1= 1<0 , n=2三、练习题1、 等腰三角形的两边长为4和2,则底边上的高是 ，面积是。2、 一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为。3、 一个直角三角形一条直角边为16cm，它所对的角为 60 °则斜边上的高为 4、 四个三角形的边长分别是3, 4，54，7，8丄7,24,253丄,4丄,5丄其中是直角2 2 2 2三角形的是()A、 B、 C、 D、5、如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是()A、1 : 2： 4 B、！： 3： 5 C、3： 4： 7 D、5： 12

8、： 136、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20 , BC=15 , CD=7 , AD=24，/ B=90° ,求证：/ A+ / C=180。7、已知直角三角形中，两边的长为3、4,求第三边长。8、A ABC 中，/ C=90° a=5, c b=1，求 b, c 的长9、如图： ABC中，AD是角平分线,AD=BD，AB=2AC求证： ACB是直角三角形。三、练习题解答=15，-152、 6， 8， 103、8 cm4、D5、D6、本题类似于例 6，需连结 AC证岀 ACD也是直角三角形,CB从而/ 1 + / 2=90°/ 3+ / 4=90° / DAB+ / DCB=1807、 解：设第三边长为X, 当第三边是斜边时：x2=32+42=25，即x=5 当第三边不是斜边时，则斜边长为4： x2=42- 32,即x= 78、 此题类似于例3解：根据题意得:a2 =c2 -b2 =(c + b)(c-b) = 25 .c' ' J”c + b = 25 <c b =1c b = 1Jc = 13=129、证明：作 DE丄AB于E/ AD=BD,DE 丄 AB 2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）/