【人教新课标】六年级下册数学教案——解决问题之归一、归总问题

1、小升初解决问题归一、归总问题【教学目标】：1、让学生经历解决问题的过程，对用归一、归总解决问题类题目有较高的区分度和判断能力，形成 方法。2、多种途径让学生分析数量关系，进一步明确解决问题的思考过程。3 .引导学生用一些学用的数学思维方式（列表、画图）分析问题、解决问题。进一步引导学生感知数 学思维方式的重要价值。4 .引导学生探究、学习用图形表征两次归一问题，进一步培养学生的几何直观能力。5 .感受数学知识与实际生活之间的密切联系， 培养应用数学的能力，体验解决实际问题的乐趣，激发 学习兴趣。教学重点：运用列表或画图的方式分析问题、解决问题。教学难点：用图形表征两次归一问题。【教学流程】【含

2、义】1、归一问题：在解答某些应用题时，常常需要先找出“单位量”，再以这个“单位量”为标准，根据其它条件求出所求数量，这类应用题被称为归一问题。这里的“单位量”常指单位时间的工作量、单 价、单产量、速度等。归一问题可以分为两类：用一步运算就能求出“单位量”的归一问题称为“单 归一；用两步运算才能求出“单位量”的归一问题称为“双归一”。2、归总问题：是指解答某些应用题时，需要先找出“总量”，再根据其它条件求出所求数量。 这里“总 量”是指总路程、总产量、工作总量、总价等。【数量关系】 总量+份数=1份数量1份数量X所占份数=所求几份的数量另一总量+ （总量+份数）=所求份数【解题思路和方法】1、先

3、求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。解决归一问题的关键是抓住单位量不变，总 量随着份数的变化而变化，其中蕴藏着正比例函数关系；解决归总问题的关键是抓住总量不变，单位 量随着份数的变化而变化，其中蕴藏中反比例函数关系。通过列表找出数量间的对应关系，是解决这 类问题的比较好的策略。2、归一问题可以分为两种：一种是求总量的、求出一个单位量之后、然后利用乘法求出结果、这种问题叫做正归一问题（也称正归一）:如:一车B汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是 先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这

4、类问题叫做反归一问题（也称反归一）。如:修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？解决此类问题 的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求 几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量.解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根 据题 中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得 问题的解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。【例题讲解】【题目1】：筑路队修一条36千米长的路，15天修了 4500米，以后加快速度

5、每天多修 75米，这条路 共修多少天？【解析】：运用分析法解题。从所求问题出发，寻找需要的条件，逐步向已知条件靠拢，可以画出如下 示意图，理清分析的思路。再从已知条件入手，根据上面的示意图，逆向写出算式：36 千米=36000米15+（36000-4500） + （4500+15+75）=15+31500 （300+75）=15+31500 375=15+84二99 （大）所以，这条路共修了 99天。注：在题目中出现同类型数量的单位不一致时、要先换算成统一的合适单位、再列式计算。【题目2】：织布厂要织布3600米，先用5台织布机8小时可以织布960米，如果再增加17台织布机， 几小时就能将余下

6、的任务完成？【解析】：这是一道双归一应用题，可以运用综合法解题。首先，由“用5台织布机8小时可以织布960米”，可知每台织布机1小时织布：960+5=120+ 5=24 （米）。又因为“要织布3600米”，所以余下的任务为：3600-960=2640 （米）。再增加17台织布机，现有织布机：17+5=22 （台）。完成余下的任务还需要时间，有两种求法：先求出每台织布机需要织布米数，再求每台织布机需要的时间：2640 +22-24=120 +24二5 （小时）。先求出22台织布机每小时织布米数，再求出余下任务完成时间：2640 + （22X24）=2640 +528=5 （小时）。所以，5小时就

7、能将余下的任务完成。注：从上面两题可以看出，单一使用分析法或综合法解题不太便捷。【题目3】：水库管理员想估计一下水库里共有多少条鱼。他先捞了100条作为样本全部做上记号。一个月后，他捕获了 500条鱼，发现其中只有4条做过记号。请你帮管理员估计一些，水库中大约有多少条鱼？【解析】：先列个简易的表格，整理好题目中已知的信息：4条记号鱼一 500条鱼100条记号鱼一 ?条鱼这一题估计的根据是，所有鱼中记号鱼所占的比例是一定的。解法一、先求出大约多少条鱼中有一条记号鱼：500+ 4=125 （条）；再求出水库里大约多少条鱼：125X 100=12500 （条）;所以，水库里大约有12500条鱼。解法

8、二、先求出100条记号鱼是4条记号鱼的几倍：100+4=25;再求出水库里大约多少条鱼：25X 500=12500 （条）;所以，水库里大约有12500条鱼。【题目4】:学校第一批买进3个篮球和8个排球共值500元，第二批买进4个篮球和5个排球共值525 元，求一个篮球、一个排球各多少元？【解析】：先列个简易的表格，整理好题目中已知的信息：3 个篮球8个排球一共500元4个篮球5个排球一共525元题中有两个未知的量：篮球单价和排球单价，要消去其中的一个未知量，才能求出另一个未知量。但这一题已知条件与问题之间有着明显的空隙，不易探求，可以对条件作出符合逻辑的假设，然后根据变化了的新条件进行推理，

9、找出解决问题的途径。假设第一批买的两种球的个数是原来的 4 倍，则总价也扩大了 4 倍； 第二批买的两种球的个数都是原来的 3 倍， 则总价也扩大3 倍， 得到两组新的信息：12 个篮球32个排球共2000元12 个篮球15个排球 共1575元在假设的情况中，两批买进的篮球的个数是一样的，正好抵消掉，第一批比第二批多了( 32-15=) 17 个排球，多花了(2000-1575=) 425 元钱，即 17 个排球总价为 425 元，可以求出排球的单价。列式为：(500X 4-525X3) + ( 8X 4-5 X3)=(2000-1575) &pide; (32-15)=425+ 17=25(

10、元)。把排球单价带入第一批买球的条件中，可以求出篮球的单价：(500-25X8) +3=(500-200) +3=300+ 3=100(元)。所以，一个篮球100元，一个排球25元。【题目5】 ：甲买了3 千克苹果， 2 千克梨；乙买了 4 千克苹果， 3 千克梨；丙买了 3 千克苹果， 4 千克梨。乙比甲多花5 元钱，甲比丙少花了 4 元钱，问甲、乙、丙各花了多少钱？【解析】 ：先列个简易的表格，整理好题目中已知的信息：甲：3千克苹果2千克梨-比丙少花4元乙：4千克苹果3千克梨-比甲多花5元丙： 3 千克苹果 4 千克梨甲与丙比较：苹果数量相等，少买了 2 千克梨，少花4 元钱。所以，2千克

11、梨的价钱就是4元，可以求出梨的单价：4+ (4-2) =2 (元)。乙与甲比较：多买了1 千克苹果，多买了1 千克梨，多花了 5 元钱。所以，一千克苹果和一千克梨的总价为 5 元钱。前面求出梨的单价为2 元，所以苹果的单价为：5- (3-2) X 2 + (4-3) =3 (元)。把苹果和梨的单价带入计算，可以求出三人花的钱数：甲：3X3 + 2X2=13 (元)；乙：4X3+3X2=18 (元)；丙：3X3 + 4X2=17 （元）。【题目6：某车间计划20人每天工作8小时，8天完成一批订货，后来要提起交货，改由 32人工作, 限4天完成，每天需要工作几小时？【解析】：先列个简易的表格，整理

12、好题目中已知的信息：20人8小时8天32人？小时4天在这个问题中工作总量是不变的。把一个人一小时的工作量看作一份工作量，220人每小时可以完成20份工作量,先求出工彳K总量：20X8X8=1280 （份）。32人每小时可以完成32份工作量，可以先求出每天的工作总量，再求出每天的工作时间：1280+ 4 + 32=10 （小时）；也可以先求出总共需要多少小时，再求出每天需要多少小时：1280+ 32+4=10 （小时）。所以，每天需要工作10小时。实战演练1. 3头奶牛15天共产奶1800千克，8头奶牛12天可以产奶多少千克？2. 有8只燕子5天共吃害虫2400只，平均每只燕子每天吃多少只害虫？

13、3. 新华小学美术组15个同学，半年共创作810副画，平均每人一年创作多少副画？4. 5辆大卡车4趟共运走土、石120立方米，现有土石1080立方米，要求9趟运送完毕，需要增加 同样的大卡车多少辆？5. 李红从甲地去乙地，每分钟行走120米，15分钟到达。若想要12分钟到达乙地，每分钟需要行走多少米？6. 4台碾米机3小时碾米4800千克，现增加2台碾米机，6小时能碾米多少千克？7. 抄写一份稿件，小明3分钟抄写360个字，现改用电脑打字，已知4分钟打了 720个字，原来45000 字的文章，现在可以提前几分钟完成任务？8. 缝纫组有20个人，平均每人每天做4套衣服，15天可以做多少套衣服？9

14、. 某饭店要安装空调240台，已知10名工程技术人员8小时能安装空调64台，现饭店要求安装公 司在12小时内装完，需要增派同样工作效率的技术人员多少名？10. 加工9600套服装，30人10天完成了 3600套，又增加了 20人，剩下的还需要几天完成？11. 李庄大队修水渠1800米，计划用75人12天修完,如果增加15人几天修完？12. 某水泥厂计划24天生产1080吨水泥，由于技术改进，平均每天比原计划多生产15吨，可比计划提前几天完成?13. 机器厂原来制造50 台机器要用钢材150 吨, 技术革新后 , 每台机器用的钢材节省了 1 吨 . 原来制造50 台用的钢材, 现在可造多少台 .

15、14. 花果山上桃树多， 6 只小猴分180 棵. 现有小猴72 只，如分完后还余90棵，请算出桃树有几棵？15. 5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？16. 4辆汽车行驶300 千米需要汽油 240公升 .现有 5 辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有 1000 公升，问是否够用？17. 5 台拖拉机 24天耕地 12000公亩 .要 18天耕完 54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？18. 某工程队 ,16 个工人 9天能挖水沟1872米,27 个工人 14 天能挖多少米？19. 服装厂原来做一套衣服用布 3 米，改进裁剪方法后，每

16、套衣服用布2 米。原来做792 套衣服的布，现在可以做多少套？20. 小华每天读24 页书， 12 天读完了红岩一书。小明每天读36 页书，几天可以读完红岩？21. 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克， 30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？22. 一项工程， 8 个人工作 15 时可以完成，如果12 个人工作，那么多少小时可以完成？23. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米， 5 时到达。若要4 时到达，则每小时需要多行多少千米？24. 修一条公路，原计划 60 人工作， 80 天完成。现在工作20 天后，又增加了

17、30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？25. 平整一块土地，原计划 7 人平整，每天工作8 时， 8 天可以完成任务。由于急需播种，要求4 天完成，并且增加1 人。问：每天要工作几小时？26. 小华到文具店买笔，原计划按每支4 元钱，可以买48 支，结果笔的价格下调了，他用这笔钱多买了支 16 支，问笔的价格下调后每支多少元？27. 锅炉房按照每天5 吨的用量储备了 120 天的供暖煤。供暖40 天后，由于进行了技术改造，每天能节约 1 吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？28. 玩具厂生产一批电动智力玩具。原计划每天生产120 箱， 28 天可以完成任务；实际每天多生产了20 箱，这样可以

18、提前几天完成任务？29. 安装一条水管，前4 天装了 180 米，还要 12 天可装完，这条水管总长多少米?30. 修一条 5 千米的公路， 3天修了 1500米，照这样计算，修完这条公路一共要几天 ?31. 小明 3 分钟做了 36 道口算题，做完 108 道口算题需要几分钟 ?32. 一项工作，8 个人 12 小时可以完成，如果减少2 个人，每个人的工作效率相同，批么需要客少小时才能完成?33. 机床厂原计划 20 天制造 240 台机床，实际每天比原计划多制造4 台，实际用了多少天?34. 小华看一本120 页的故事书， 3 天看了 36页，还要几天可以看完全书 ?35. 一个果园请人帮

19、忙摘苹果， 4 个人 3 小时共摘苹果480 千克，照这样计算， 5 个人 8 小时可以摘多少千克苹果?36. 2 台拖拉机 4 小时耕地 96 亩，照这样计算， 5 台拖拉机耕地360 亩，需要几小时?37. 3 台磨面机 8小时可磨面粉 33.6 吨，现在磨面机增加到 12 台，要磨面粉168 吨，需要几小时?38. 修一条 1800 米长的路，原计划用 25 人 12 天修完，实际增加了 5 人，几天可以修完 ?39. 修路队 8 人 5 天修路 2160 米，照这样计算，增加 10 人要修路 4860 米，需要几天可以完成?40. 一辆汽车每天行驶6 小时， 2 天可行驶 510 千米

20、，如果要在3 天内行驶 1020 千米，每天应行驶儿小时 ?41. 服装厂承做- 批服装， 30 个人每天工作9 小时， 40 天可完成，后来调走5 人，如果要提前4 天完成任务，求每天应工作几小时?42. 15头牛 4天吃草 1260千克，照这样计算， 30 头牛 10天可吃草多少千克?43. 工厂计划做4320 个零件， 18 个工人工作8 小时完成了计划的一半，其余的如果在4 小时内完成，需要增加多少个工人?44. 4 台车床 15分钟生产 16200个蝶丝钉， 3 台这样的车床一小时可以生产多少个螺丝钉?45. 工程队计划用 60 人 5 天修好一条长4800 米的公路，实际上增加了

21、20人，每人每天比计划多修了4 米，实际修完这条路少用了几天 ?46. 5 只猫 5 分钟可以捕捉5 只老鼠，照这样计算， 100 分钟捕捉 100 只老鼠需要几只猫?47. 李师傅计划加工552 个零件，前5 天加工了 345 个，照这样计算，还要加工几天才能完成任务?48. 把一根木料锯成3 段要 12 分钟，那么用同样的速度把这根木料锯成 5 段，需要几分钟 ?49. 小华每天读24 页书， 12 天可读完一本故事书， 小明每天读36 页书， 几天可以读完同样的故事书 ?50. 学校食堂运来批蔬菜，原计划每天吃 50 千克， 30 天吃完。后来提高伙食质量，每天比原计划多吃了 10 千克

22、，这批蔬菜可以吃多少天 ?51. 一个砖场原来绕1 万块砖用煤3.6 吨，技术改进后，降低了 0.9 吨，原来烧21 万块砖的煤，现在可以多烧砖多少块?52. 修路队原计划每天修路3.2 千米， 15天可以修完，实际每天多修0.8 千米，多少天可以修完 ?53. 一个服装厂原来做一件上衣用布1.43 米，改进裁剪技术后，每件上衣节省0.13 米，原来做100件上衣的布现在可以做多少件上衣?54. 修一条公路，原计划由 8 人修，每天工作7.5 小时， 6天完成任务，由于任务加紧，增加了 2人，要求 4 天完成，每天需要工作几小时? 7. 仓库运送一批粮食，原计划用每辆装24 吨的汽车 9 辆，

23、15 次可运完，现在改用每辆装30 吨的汽车 6 辆来运，几次可以运完 ?55. 红星家具厂生产一批家具，原计划每天生产120 件， 28 天完成任务，实际每天多生产了 20 件，可以几天完成任务?56. 有 15 个同学给树苗浇水，平均每人要浇了棵，这时又来了几名同学，大家重新分配任务，平均每人烧 5 棵，又来了几名同学 ?57. 一个农场计划 28 天完成收制任务，由于每天多收割 7 公顷，结果18 天就完成了任务。实际每天收制多少公顷 ?58. 修路队准备了 120 人 30 天的粮食， 5 天后又新来了 30人，余下的粮食还够用多少天 ?59. 学校食堂运来一堆煤， 原计划每天绕1.2

24、 吨， 可以烧 22 天。 后来由于改进锅炉技每天节约 0.1 吨，实际可以多烧多少天?60. 小明早晨去学校的时候，每分钟走70 米， 15 分钟到校。中午放学后按原路返回，每分钟走60 米，几分钟可以回到家?61. 有两个相互咬合的齿轮，大齿轮直径为 48厘米，小齿轮直径为 24厘米，如果大齿轮转12 圈，小齿轮转多少圈 ?62. 一部书稿，原计划共印 540页，每页 24行，每行 26个字，现在又改为每页30行，每行 32 个字，这部书稿比原计划少印多少页 ?63. 学校举行队列广播体操比赛，每排站12 人，刚好站 20 排，如果每排站 8 人，要站多少排?64. 一项工程，原计划 8

25、个人每天工作6 小时， 10 天完成。现在为了加快工程进度，增加 4 人，每天工作时间增加2 小时，这样可以提前几天完成这项工程?65. 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本订18页，可装订200本，如果每本少订2 页，可以多装订多少本?66. 一本书每天如果读30 页， 6 天可以读完，若每天少读10 页，需要多读多少天?67. 小明和小华同时从学校去广场，小明步行，每分钟走40 米，小华骑自行车，每分钟行120 米。小华 5 分钟到广场后，还要等多久，小明才能到 ?68. 3名工人 5小时加工零件90个，要在 10小时完成 540个零件的加工，需要工人多少名？69. 3名工人 5小时加工

26、零件90个， 10 名工人 10 小时加工零件多少个？70. 某车间用 4 台车床 5 小时生产零件600 个，照这样算，增加3 台同样的车床后，（1） 8 小时可以生产多少个零件？（ 2）如果要生产6300个零件几小时可完成？71. 7辆“黄河牌”卡车6趟运走 336吨沙土现有沙土560 吨，要求 5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？72. 4辆大卡车运沙土， 7趟共运走沙土 336吨现有沙土420 吨，增加了 3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？73. 孙悟空组织小猴子摘桃子开始时， 16 只小猴子 2 小时摘桃子640 个，照这样计算，孙悟空要求它们在3 小时内继续摘桃子1200 个，那

27、么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？74. 用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水如果倒进2 杯水，连罐共重6 千克；如果倒进 5 杯水，连罐共重9 千克这个空罐重多少千克？75. 10 辆小车和3 辆卡车一次运货32 吨，15 辆小车和3 辆卡车一次运货42 吨每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？76. 30 辆小车和3 辆卡车一次运货75 吨，45 辆小车和6 辆卡车一次运货120 吨每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？77. 阿呆去商店买了 2 个笔袋， 3 支圆珠笔，用去25 元；小新去商店买了 1 个笔袋， 2 支圆珠笔，用去 14 元；那么买1 个笔袋， 1 支圆珠笔，分别需要多少元？

28、78. .有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件付款20元；乙购A物4件、B物7件、79. 物1件付款25元；内购A、B、C三种货物各1件，应付多少元？80. 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8 头奶牛15天可生产牛奶多少千克？81. 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8 头奶牛12天可生产牛奶多少千克？82. 花果山上桃树多， 5 只小猴分 200 棵 . 现有小猴 60 只，按刚才的分法分后还余90 棵，请算出桃树有几棵？83. 学校买来一些足球和篮球. 已知买 3 个足球和 5 个篮球共花了 281 元； 买 3 个足球和 7 个篮球共花了 355元. 现在要买 5个足球、 4个篮球共花多少元？84. 妈妈买了 2 斤苹果， 4 斤菠萝，花去14 元；爸爸买了 3 斤苹果， 2 斤菠萝，花去13 元；那么 1 斤苹果， 1 斤菠萝各多少钱？85. 一列火车从甲地开往乙地，开出 2.5 小时，行了 150 千米。照这样的速度，再行驶3 小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？86. 8个人10天修路840米, 照这样算 ,20 人修 4200米, 要天.8