《高等数学Ⅰ》12级半期测试题(极限导数)及答案

1、高等数学I半期练习题一.填空：(本题共10小题，每题2分，总分20分)_.cosx 1 .1、要使f(x) arccos(2)在乂 0处连续，应补充止义f(0) .x2、设y f(x) 生，则其反函数f 1(x)的导数f 1(x).1 x2 axsin x e 13、设f(x)x *x 0在x 0处连续，则a .a，当 x 04、若 x 0时 y f (x0x) f(x0)与 x(tan x cos2 x)为等价无穷小，则 f (x0) .5、设在0,1上f (x) 0,则f (0), ff(1) f(0)的大小顺序为 , ox X 1c6、设 f (x) (x 2)arctan x 2 x

2、2则左导数 f .0, x 2,2 x227、f (x) ln(xx)je义域为 .x8、设(x) x3 3x 2, (x) c(x 1)n,且x1 时(x) (x)，则c , n .9、设f(x)可导，则 lim f(1 sinx) f(1 tanx).x 0x2 .10、设 f (arctan x) 1 x ,则 f (x) .二.选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分)1 .下列函数弹性不为常数的是()，其中a , b ,均为常数.aA. y ax b B. y axC.y-D.yx2 .设F(x) (x x)(ex x 1)( x ，则 F(x)().(A)是奇函数而不是偶函数(B

3、)是偶函数而不是奇函数(C)是奇函数又是偶函数(D)非奇函数又非偶函数、.n 1 ( 1)n n23 .设数列的通项为 ,则当n 时，是().n(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大、 2x 皿 df( a2 x2)4 .已知 f (x)f2 则 一( ()a2 x2dx(A) -2(B) .J (C) 2x (D). .22222.a xx| : a x5.设f (x)的定义域为0,1,则f (x2 1)的定义域为().(A) 1,0(B) 2, 1U1,2 (C) 2, 1U1, .2 ( D) 1,1三.计算：体题共9小题.各6分，共54分）

4、1、顾(、.1 2 L n 、.1 2 L (n 1)2、求极限limx 0.1 xsin x . cosx3x 23、之 lim(x x 1ax b) 1,求 a, b.14、求极限 lim(cos x)x.5、设 f(x) J2 (x 1)xx,计算f(x). arctanx6.设方程Jx2y2+ y arctane x确定y是x的函数，求y与y”.7.已知 f(x)arccosx, xax b, x0在x = 0处可导，求常数a,b.0&设f (x)满足f (x)af3(x)，求 f(n)(x).9.设2 f (x) f (1) xx2,求f (x).四、应用：（共1小题，4分）设y a

5、x2与yln x相切，求a及切线方程.五、证明：（本题共2小题，每题6分，共12分）1.证明方程x5 7x ，区间（1,2内至少有一个实根.2.若 lim f (x) 0,且 limx x。x x0f(x) A 0,证明：lim g (x) 0. g(x)x x0高等数学I半期练习题答案一.填空：(本题共10小题，每题2分，总分20分)cosx 1 .1、要使f(x) arccos(2)在* 0处连续，应补充te义 f(0)2(x 2)2x2、设 y f(x)二之，则其反函数f 1(x)的导数f 1(x)1 x.2axsin x e 13、设f(x)x 3x 0在x 0处连续，则aa，当 x

6、04、若 x 0时 yf(x0x) f(x0)与 x(tan x cos2 x)为等价无穷小，则f (x。)1 .5、设在 0,1 上 f (x) 0,则 f (0), f(1), f(1) f (0)的大小顺序为 f (0) f(1) f(0) f (1)16、设 f(x) (x 2)arctanx-2，x 2,则左导数 f Q).0, x 2,2TV 。 -7、f (x) ln(x2 x)定义域为6,0)U(1,&.x8、设 (x) x3 3x 2, (x) c(x 1)n,且x1 时(x) (x)，则c 3, n 2 .9、设f(x)可导,则 limf(1 sinx) f(1 tanx)

7、 2f(1).x 0x10、设 f (arctan x) 1 x2,则 f (x)2 tan xsec2 x .二.选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分)1 .下列函数弹性不为常数的是( A ),其中a , b ,均为常数.aA. y ax b B. y axC.y-D.yx2 .设F(x) (x x)(ex x 1)( x ，则 F(x)( C ).(A)是奇函数而不是偶函数(B)是偶函数而不是奇函数(C)是奇函数又是偶函数(D)非奇函数又非偶函数、.n 1 ( 1)n n23 .设数列的通项为4 ,则当n 时，4是(D ).n(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量，但不是无穷小(

8、D)无界变量，但不是无穷大4.已知f (x)2x=2：则 xdf ( . a x )dxx2x (C)-x2(D)22.a x1(A) -2(B) 22.a x5.设f （x）的定义域为0,1,则（x2 1）的定义域为（C ）.(A) 1,0(B) 2, 1U1,2 (C) 、,2, 1U1, .2 (D) 1,1三.计算：体题共9小题.各6分，共54分）1、lim( J 2 L nnlimn,1 2 L (n 1) nlimn1-2-Ln%.12-Ln(n 1)n2 nlimn1T2n112 2n2、求极限lxm0.1 xsin x.1 xsin x, cosx2x1 xsin x cosx

9、x2(、1 xsin x . cosx)1 .一 lim2 x 01rl.-lim2 x 01 xsin x cosx2x xsin x 2- xlxm01 cosx2x4、 3x23、设 lim( x xax b)1,求 a, b.lim(xlimx3x2 2x 123x2 2ax2 axxb)ax bx1lim x当3 当a 由b(3 a)x2 (b a)x 2 bx 1a 0M,上式3M,上式二ba 1,得 b 1,矛盾4、求极限 lim(cos、x)x 01 lim(cos x)x x 01 cos x 1lim(1 cos x 1)cos x 1 x x 01e 25、设 f(x)

10、J2 (x 1)xx,计算f(x). arctanx设yxx,则yxx(ln x 1)设y2尸、1)2，则 ln ya arctan x1 3 2x(x 1)22y23ln 2 3 arctan x x 11rx ln 2 2ln( x 1) ln arctan x 312；(1 x )arctan xf (x) lj2X(x 1)2ln 2 2 xx(lnx 1)3 arctanx x 1 (1 x )arctanx arctany6.设方程Jx2y2e x确定y是x的函数，求y与y”.解:ey arctanx1 (-)2xyx y2x化简得(x yy) x2y2yarctan e x(yx

11、 y)又y”2(xy y)(x y)2(1 y)(x y) (x y)(1 y)(x y)2将y代入上式化简得2(x2 y2)(x y)27.已知 f(x)arccos x,ax b,x 0在x = 0处可导，求常数a,b .x 0解：因为f(x)在x = 0处可导必连续，所以踊 f (x)x 0lim f(x)x 0f(0)又因为f(x)在x = 0处可导，所以1fx 0也存在a, a 11f (0).arccosxlim+x 0 x(ax b)-lim 2x 0v8、设 f(x)满足 f (x) af 3(x)，求 f (x).2 一一 2 _ 5f (x) 3af (x) f (x) 3

12、a f (x)一2 _ 4_3 _ 7f (x) 3 5a f (x)f (x) 3 5a f (x)-_3_6_3一9f (x) 3 5 7a f (x) f (x) 3 5a f (x)L L L Lf (x) (2n 1)!anf(2n 1)(x)2 一9.设2 f (x) f(1) x ,求f (x). x2f出 x3f(x)f(x)2x2f (x)4x312xV f(x)写 9x3 3x23x3四、应用:（共1小题,4分）设y ax2与yln x相切，求a及切线方程.设切点为(x0, y0),则ax2 lnx0, 2ax01-,axoXo所以切点为（信工）,斜率k 心，切线y 12 .g 2ln Xo3x2, Xo. e, a、. e)2e五、证明:（本题共2小题，每题6分,共12分）1.证明方程X5 7x ，区间（1,2内至少有一个实根.设 f(x) x57x 4,则他)在(由零值定理知在（1,2）至少存在一点)连续，又 f(1)10 0,使f( ) 0,即方程f(x)f(2)0即x5147x04有实根.2.若 li