第十二讲：不定方程的整数解

1、上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解例题】 例 1、求方程 5x 9y=18 整数解的通解例 2、求方程 6x 22y 90 非负整数解 .例 3、求方程 7x 19y 213的所有正整数解 . （练习：求方程 37x 107y 25 的整数解）76相邻且排在76之前的一个例 4、将所有分母不大于 99 的最简分数从小到大排列，求与 数.例 5、求方程 100x 52y 28z 16 的整数解 .例 6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等 奖每人奖 5 本，二等奖每人奖 3本，三等奖每人奖 2本，就共奖了 34 本。如果一等奖每人 奖

2、6 本，二等奖每人奖 4 本，三等奖每人奖 1 本，就共奖了 28 本，求获得各奖的人数 .例 7、求不定方程 29a 30b 31c 2196 正整数解的组数【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号） 4x 2y=11, 10x-5y=70, 9x+3 y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.2、求方程 5x+6y=100 的正整数解 .3、甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元， 38 元可买两种书各几本？4、一张试巻有 20道选择题，选对每题得 5分，选错每题反扣 2分，不答得 0 分，小军同学 得 48 分，他最多答对几道

3、题？（答案：最多答对 12 题）5、第五世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的算经里提出了一个世界数学史上有名的“百鸡问题” .x0x4x8x12（答案： y 25 或y18 或y11 或y4）z 75z78z81z84上海市中学生数学业余学校讲义第十二讲 不定方程的整数解（教师用）我们知道， 如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说， 它的解往往是不确定 的。例如方程 x 2y 3，或 方程组2x 3y z5x y 3z组。4 ，它们的解都是不确定的。 象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程2如何求解整系数二元一次方程 ax by c 的整数解？一、二元一次方程整数解存在的条件：在整

4、系数方程 ax by c 中，若 a, b的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（ a,b）|c 则方程 ax by c 有 整数解，显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解，（ 9， 3） 3，而 3 不 能整除 10；（ 4， 2） 2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。 二、二元一次方程整数解的求法：若方程 ax by c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 t 来表示它的通解

5、（即所 有的解）。t 叫做参变数。整数解的通解的表达方式不是唯一的。方法一，整除法 ：求方程 5x+11y=1 的整数解1 11y 1 y 10y 1 y解： x= = 2y （1） ,5 5 5设 1 y k（k 是整数），则 y=1-5k （2） ,5把（ 2）代入（ 1）得 x=k-2（1-5k）=11k-2x 11k 2原方程所有的整数解是（ k 是整数）y 1 5k方法二，公式法 ：设 axbyc 有整数解，其中 a,b 互质，且方程有一组整数解x x00 ，则通解 y y0xx0bt是其中 t 为整数yy0at证 明： 因 为 x0,y0 是 方 程 的 整数 解， 当 然 满 足

6、 ax0 by0 c ， 因 此 a(x0 bt) b(y0 at) ax0 by0 c，这表明 x x0 bt，y y0 at 也是方程的解。反过来，若 x', y'是方程的解，则有 ax' by' c ， -得a(x' x0)b(y' y0)，由于 (a,b) 1，所以 a|y' y0，即 y' y0 at ，其中t为整数， 代入得 x' x0 bt，因此 x', y'都可以表示为 x x0 bt， y y0 a的形式，所以x x0 bt0 表示方程的一切整数解。y y0 at用公式法求解二元一次方程组

7、的关键是找到一组特殊解。例 1、求方程5x 9y=18 整数解的通解解：特解 x 00,y02 ，所以通解为9tt 为整数)2 5t例 2、求方程6x22 y 90 非负整数解解：因为 (6,22) 2 ，所以方程两边均除以 2 得3x 11y 45，特解x 4 11tx0 4, y0 3，所以通解为(t 为整数)0 0 y 3 3tx 4 11t 0由 (t 为整数)，得 1 t 0y 3 3t 0当t 0时， x 4,y 3；当t 1时， x 15,y 0例 3、求方程 7x 19y 213 的所有正整数解。分析： 这个方程的系数较大， 用观察法去求其特殊解比较困难， 碰到这种情况我们可用

8、逐步 缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解。解：用方程 7x 19y 213 的最小系数 7 除方程中的各项，并移项得213 19y730 2 y3 5y7，因为 x, y 为整数，故3 5y7u 也是整数，于是有5y 7u 3。再用 5 除以此式的两边得3 7u 3 2u此时，由观察知u 1,y 2是方程的解。从而 x 25。于是方程有一组解x 25 19t x0 25, y0 2 ，所以它的一切解为y 2 7t由于 x, y 为正整数，所以 t0,1，因此原方程的正整数解为x6y9x 25或y2课内练习：求方程 37x 107 y25 的整数解）答案： x8 107t ， y

9、3 37t ， t 为整数)例 4、将所有分母不大于 99 的最简分数从小到大排列，求与 数。相邻且排在76之前的一个76解：设 q 是与符合条件的数，且 q 17 ，其中 p,q,m,n为正整数，则 17p 76q 0 ， p p 76于是 17p 76q 1，先考虑 17p 76q 1中满足 p 99 且使 p 最大的正整数解。为此需先找到它的一个特解p 9,q 2，于是不定方程的通解为 p 9 76t,q 2 17t ，t为整数。这时在条件 p 99 下，此时q 19 。另一方面17p17 p 76q，可知，p 最大为 85 ，76q76p若17 p 76q2，则17p2111 1719

10、76q76 p 38 p38997685 7685所以在所给条件下，比小且最接近它的数为761985例 5、求方程 100x 52 y 28z 16 的整数解。解：原方程化简为 25x 13y 7z 4 ，（1）把方程分为两个方程25x 13 y u (2) u 7z 4 (3)对于方程（ 2），由观察得 25 （ u） 13 2u u于是方程（2）的解为xu13t1（I）y2u25t1对于方程（3），不难看出 1(3) 714于是方程（3）的解为u37t2（II）y1t2x313t17t2由（ I）（II）消去 u 得y625t114t2 （ t1,t2为整数）z1 t 2例 6、某校举行数

11、学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。如果一等 奖每人奖 5 本，二等奖每人奖 3本，三等奖每人奖 2本，就共奖了 34 本。如果一等奖每人 奖 6 本，二等奖每人奖 4 本，三等奖每人奖 1 本，就共奖了 28 本，求获得各奖的人数。 解：设获得一、二、三等奖的人数分别为x, y, z人，于是由题意有5x 3 y 2z34(1)6x 4 y z28(2)从（ 1），（2）中消去 z，得7x5y 22 ( 3)由观察可得 x 1,y 3 是方程（ 3）的一组特解，所以（ 3）的解为x 1 5u（ 4），将（ 4）代入（ 2）得 z 2u 10 （ 5）y 3 7u而 u 0,

12、 z 10 是方程（ 5）的一组特解，所以（ 5）的解为x 1 5tz 10 2t ，将 u t 代入（ 4），得 y 3 7t （ t 为整数）utz 10 2t由于 x,y,z都是正整数，所以 t只能取 0，于是得 x 1, y 3,z 10，因此获得一、二、三等奖的人数分别为1人，3人，10 人。例 7、求不定方程 29a 30b 31c 2196 正整数解的组数。解：将原方程变为 29（a bc)(b2c)2196(1)31(a bc)(2ab)2196(2)因为 a,b,c 是正整数，由方程（1）得 29(ab c)2196 (b 2c)3）2196 (1 2 1) 2193 ，所以

13、 a b c 751829由方程2)得 31(a b c) 2196 (2a b)2196(21 1) 2199所以，由（ 3）29a b c 70 ，31(4)得 a b c 71或 72或 73或74或75当 a b c 71 时，与原方程组合，解得 b 52a,c66,由b 1，得 5 2a 1，b c 72,73,74,75时，分别因此，原方程的正整数解共有解得 a 1 或 2。此时原方程有 2 组正整数解。同理，当 可得出原方程有 17，33， 24，10 组 正整数解。2 17 33 24 10 86 组。练习1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169,120x+121y=324.2、求方程 5x+6y=100 的正整数