动力学中的临界极值问题

1、动力学中的临界极值问题临界和极值问题是物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个 特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点。分析此类问题重在找临界条件，常见的 临界条件有：1. 细线：拉直的临界条件为T=0,绷断的临界条件为T=Tmax2. 两物体脱离的临界条件为：接触面上的弹力为零3. 接触的物体发生相对运动的临界条件为：静摩擦力达到最大静摩擦临界或极值条件的标志 有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着 临界点；(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程 存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态

2、；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存 在着极值，这个极值点往往是临界点； 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.（2013 山东 22）如图5所示，一质量0.4 kg的小物块，以V。= 2 m/s的初速度, 在与斜面成某一夹角的拉力 F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t二2s的时间物 块由A点运动到B点，A B之间的距离L= 10 m.已知斜面倾角30°,物块与斜 面之间的动摩擦因数重力加速度g取10 m/s2.图5（1）求物块加速度的大小及到达 B点时速度的大小.拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？

3、拉力F的最小值是多少？解析（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得1 2L=v°t + °atv = v°+ at联立式，代入数据得a = 3 m/s2v = 8 m/s(2)设物块所受支持力为Fn,所受摩擦力为 图所示，由牛顿第二定律得Feos a mgsin 0 Ff = maFsin a + Fn mgeos 0= 0又 Ff = (iF n联立式得mg?sin 0 + 卩 eos 0 ?+ maF='；eos a+u sin aFf，拉力与斜面间的夹角为a，受力分析如由数学知识得COS a + gsin a = in(

4、60+ a )由式可知对应最小F的夹角 a = 30°联立式，代入数据得F的最小值为13 '352答案 (1)3 m/s 8 m/s (2)3013 ;3 丁 N规律总结动力学中的典型临界条件 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力Fn= 0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相 对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临 界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：Ft= 0.(4) 加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当

5、加速度变为零时.突破训练3如图6所示，水平地面上放置一个质量为 m 的物体，在与水平方向成 0角、斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面运动物体 与地面间的动摩擦因数为卩，重力加速度为g.求：图6(1) 若物体在拉力F的作用下能始终沿水平面向右运动且不脱离地面，拉力F的大小范围； 已知m= 10 kg，卩二0.5, g= 10 m/s2,若F的方向可以改变，求使物体以恒定加 速度a= 5 m/s2向右做匀加速直线运动时，拉力 F的最小值.口 mgmg(2)405 N答案cos 0 +為0 W民si解析（1）要使物体运动时不离开水平面，应有：Fsin 9 <mg要使物体能一直向右运动，应有:

6、Fcos(mg- Fsin 9 )联立解得：卩mg厂，mg卜cos 9 + sin 9sin 9 根据牛顿第二定律得：Fcos 0- (mg-Fsin 9) = ma口卩mg+ ma解得：F=冒匸9cos9 + 卩 sin9上式变形F=1其中 a = sin -1 j 2,当 sin( 9 + a ) = 1 时 F有最小值 一 1 +卩解得:卩 mg ma代入相关数据解得：Fmin= 40 ,5 N.B组 动力学中的临界极值问题2如图所示，一质量为0.2 kg的小球系着静止在光滑的倾角为 53°的斜面上，斜面 静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以 10 m/s2加速度水平

7、向右做匀加 速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力. （g = 10 m/s2）3. （2007江苏）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是卩mg现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（）3 mg3 mg3 mg5 B .4 C .2 D . 3 mg例2 根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧上端固定，下端系一质量为m的物块，有一水平的木板将物块托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示现让木板由静止开始 以加速度a（a<g）匀加速向下移动，经过

8、多长时间木板与物块分离？跟踪训练2如图所示，物体A叠放在物体B上, B置于光滑水平面上.A B质量分别 为6.0 kg和2.0 kg，A、B之间的动摩擦因数为02在物体A上施加水平方向的拉力F,开始时F= 10 N,此后逐渐增大，在增大到45 N的过程中，以下判断正确的是（）A两物体间始终没有相对运动B两物体间从受力开始就有相对运动C. 当拉力FV 12 N时，两物体均保持静止状态D. 两物体开始没有相对运动，当 F> 18 N时，开始相对滑动3如图3- 3- 3所示，光滑水平面上放置质量分别为 m 2m的A、B两个物体，A B间的最大静摩擦力为 卩mg现用水平拉力F拉B,使A、B以同一

9、加速度运动，则拉力F的最 大值为（）A.y mgB. 2 卩 mgC. 3 卩 mgD. 4 卩 mg【解析】 当A、B之间恰好不发生相对滑动时力F最大，此时，对于A物体所受的合 外力为卩mg由牛顿第二定律知aA= 幕匹yg;对于A B整体，加速度a = aA= yg，由 牛顿第二定律得F= 3ma= 3 y mg【答案】 C4如图3-3-4所示，一轻质弹簧的一端固定于倾角9= 30。的光滑斜面的顶端，另一端系有质量0.5 kg的小球，小球被一垂直于斜面的挡板挡住，此时弹簧恰好为自然 长度现使挡板以恒定加速度 a= 2 m/s2沿斜面向下运动(斜面足够长)，已知弹簧的劲度 系数 k = 50 N/m，g 取 10 m/s2.(1) 求小球开始运动时挡板对小球的弹力的大小.(2) 求小球从开始运动到与挡板分离时弹簧的伸长量.(3) 判断小球与挡板分离后能否回到原出发点？请简述理由.【审题指导】(1)初始时刻，弹簧处于自然长度，小球受重力和挡板的支持力.(2)球与挡板分离的临界条件为二者之间作用力恰为零.【解析】(1)设小球受挡板的作用力为Fi,因为开始时弹簧对小球作用力为零，由牛 顿第二定律得：m$in 9 R = maF1= 1.5 N.(2) 设小球受弹簧的拉力为F2,因