(数学)数列通项公式的求法

1、 数列通项公式的求法数列通项公式的求法nanncos1注： 有的数列没有通项公式，如：3，e，6； 有的数列有多个通项公式,如： 数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系 一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 解：变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，110 nna例2，求数列3，5，9，17，33，解：变形为：21+1，22+1，23+1， 24+1，25+1，12 nna

2、 可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，。可归纳成 或 者 两个不同的数列（ 便不同）nna222nnan4a通项公式为：二、迭加法（又叫加减法，逐加法） 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元 例3，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式na解： 两边相加得： 212aa323 aa545 aanaann1naan4321) 1(21nnan434aa三、迭积法（逐积法） 当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用迭积法进行消元

3、 例4、已知数列中 ， ， ，求通项公式 。 21annnaa31na解：由已知 ， ，得： 把1，2，n分别代入上式得： 21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaana把上面n-1条式子左右两边同时相乘得： 21) 1(321133nnnnaa2)1(32nnna练习:用迭加法推导等差数列的通项公式 用迭积法推导等比数列的通项公式 ， ，四、待定系数法： 用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， 或是 （b、为常数），若数列 为等比数列，则 ，或 。nacbnancnbnsn2na1nnAqa) 1,

4、0(qAqAAqsnn例 5 已 知 数 列 的 前 n 项 和为 ，若 为等差数列，求p与 。nanana解： 为等差数列 nandanddnnnasn)2(22) 1(1213) 1(2pnPPn 5633012211adPPPdapdndnaan61) 1(13) 1(2pnppnsn例6设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cnnc解：设 1) 1(nnbqdnac132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba五、已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是： 注意：要先分n=1和 两种

5、情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2() 1(11nssnsannn2n例7已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。（1） （2）nana12 nsn解： （1） ，当 时 由于 也适合于此等式 111 sa2n54)1( 3) 1( 2 )32 (221nnnnnssannn1a54 nan（2） ，当 时 由于 不适合于此等式011 sa2n12 1) 1() 1(221nnnssannn1a)2(12) 1(0nnnannnsn322六、 换元法当给出递推关系求 时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。na例8，已知数列 的递推关系为 ，且 求通项公式

6、 。na121nnaa11ana解：121nnaa) 1(211nnaa令 则辅助数列 是公比为2的等比数列 即1nnabnb11nnqbbnnnqaa2) 1(11112 nna21111nnnnaabb例 9 ， 已 知 数 列 的 递 推 关 系 为 ，且 ， ，求通项公式 。na4212nnnaaa11a32ana解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令 则数列 是以4为公差的等差数列 nnnaab1nb2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41naann两边分别相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422naan例10，已知 ， ，且 ，求 。 21a0na)(211Nnaaaannnnna解： 即 0211nnnnnaaaaa且2111n