数值计算答案解析

1、习题一1、取3.14315 ,与353作为的近似值，求各自的绝对误差，相 对误差和有效数字的位数。解：x1 3.141 . 2 1 （八13Xi - 10- 102 2所以，木有三位有效数字绝对误差：e3.14,相对误差：er3.14绝对误差限：210 2,相对误差限：31。31。2x2 3.153.15 0.00840174 0.84074 10 2 0.5 10 10.5 101 2所以，X2有两位有效数字绝对误差：e3.15,相对误差：er3.15绝对误差限：2 10 1,相对误差限：r ： 10122x2 7空 0.0012645 0.12645 10 2 0.5 10 7所以，X3有

2、三位有效数字绝对误差：e22，相对误差：er绝对误差限：1 102,相对误差限:20.5 101 322710Xi3551133551130.000000320.32 10 60.5 10 60.5 101 7所以，X4有七位有效数字绝对误差：e绝对误差限:355113 12355,相对误差：er U310 6,相对误差限:r 1 10 663、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它 们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。解:X1*X0.03151XiX1 0.0315,X2 0.3015, X3 31.50, X4 5000m=-110 4 - 10 1 3所以，n=

3、3, 绝对误差限:2X1有三位有效数字10 4,相对误差:12a10i102X20.3015 m=0*XX22104100 4X3X44、所以，n=4, 绝对误差限:31.50 m=2*XX3X1有四位有效数字1010 4,相对误差:102 412a10i103所以，n=4, 绝对误差限:5000 m=4*X X4X1有四位有效数字i10 2,相对误差:100所以，n=4, 绝对误差限:相对误差:12a10i103X114 4102有四位有效数字121r 2a100 0.5,10 n110310 22 5计算M的近似值，使其相对误差不超过解：设取n位有效数字，由定理1.1知,0.1%。1n 1

4、一 102a由 J10 10 0.3162 ，所以，a1 3由题意，应使1 10 n 1 0.1%,即10 10n66 10 3所以，n=4,即闻的近似值取4位有效数字近似值x 3.1626、在机器数系下F(10,8,L,U)中取三个数x 0.23371258 10 4 , y 0.33678429 102, z 0.33677811 102,试按(x y) z和 x (y z)两 种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较。(x y) z_4_22(0.23371258 100.33678429 10 ) 0.33677811 10_2_22解:(0.00000023371258 10

5、0.33678429 10 ) 0.33677811 10 2 _20.33678452371258 100.33677811 100.336784520.00000641x (y z) _ _40.23371258 10 4 _ _40.23371258 10102 0.33677811 1021020.64100000 10 32102)2(0.33678429 102 0.3367781130.61800000000 100.02337125810 30.61800000000 100.641371258 100.64137126 10 3x y z4_2_20.33678429 102

6、 0.33677811 1020.23371258 10 4 0.33678429 102 0.33677811 1020.00000023371258 102 _ _20.00000641371258 1020.64137126 10 3所以，x (y z)比(x y) z精确，且x (y z)与x y z相同；8、对于有效数x1因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数 尽量接近。x-x33.105, x2 0.001, x3 0.100,估计下列算式的相对误差限。y1 x1 x2 x3 , y1 x1x2x3 , y解：x13.105, m=1;*1311 4xx1 -

7、 10- 10221 3所以(x1)- 101c1c同理 (x2)10 3 (x3)10 32 2e(xi)10 3e（x1）e(xi)X1e(X2)10 3e（x1）e(X2)X2102或3.102513102或0.001r (X1 )r(X2)10 3100e（X3）10 3er(X3)e（X3）X31 10 32或0.100r（X3）10 3e（X1X2X3)e X1X2X3e X1e X2e X3X1X2 X3er(y1) er(y2) 所以,er(X1 X2 X3)0.49975 10X1X2X33er(Y3)所以,er(X1X2 X3) er(X1X2) er(X3) er(X1)

8、 0(X2)er(y2)0.50516er（X3）x2 er()X3e(y3)er(X2) er(X3)0.505综合得： r(y1)0.49975 10 3 ,©2) 0.50516,r(y3)0.5059、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中1表示X充分接近0, X1表示X充分大）(1)X2(2)(3)(4)ln x11xXxln x2,x1(5)答案:（1）院;(3)(4)法一：用1cosx.x31 2X2_2x 晨 x，得出结果为:法一. 1 cosxcosx sin x 1 cosx xx sin x sin x sin x1 cosx sin xsin x 1 cos

9、x(X 0)或 1 cosx sin x2sin2(.2 sg) cos(2)x tan21dx12、试给出一种计算积分In解：显然，In>0,n=1,2,1当 n=1 时，得，I10xeex dx近似值的稳定性递推算法当nA2时，由分部积分可得:1 n x 1In x e dx 1 nI n o另外，还有：I由递推关系In=1-nIn-1 In=2,3,1 1 n 1dx x dx 0 n 1,可得计算积分序列In的两种算法:1 nI n1 In1 n=2,3 n 2,3,，下面比较两种算法的稳定性 若已知In 1的一个近似值II n则实际算得的In的近似值为 n I n 1所以，In

10、)(In 1 In1)由此可以看出 步放大由In计算IiIn1的误差放大倍传到了 In,误差传播速度逐1 Innn N,N 1, 1若已知In的一个近似值是则实际计算的In 1的近似值为 1 I nn所以，In1 IIn(In n1i nn)由此可以看出 步衰减。的误差将缩小n倍传到了 In,误差传播速度逐综上可看出，计算积分In e110xnexdx的一种稳定性算法为1 In1nl n n N,N 1,N 2 ,1. n习题二1、利用二分法求方程x3 2x2 4s 7 03, 4的根，精确到10 3,即-10 3误差不超过2。解：令 f(x) x3 2x2 4x 7f (3)10 0, f

11、(40 9 0,说明在3, 4有根，利用二分法计算步骤得出 x10 3.632324219 , x113.63218359381b11 a- x- x10 0.4882181 10 3 - 10 3满足精度要求 2所以，x* xn 3.6321 ,共用二分法迭代11次。2、证明1 x sinx 0在0,1有一个根，使用二分法求误差不大于1 10 4的根。2证明：令 f(x) 1 x sin xf(0) 1 0; f (1) sin1 0,所以，f(0) f(1) 0由零点定理知，f(x)在0,1有一根根据计算得出：x* x15 0.98283,此时共迭代15次。4、将一元非线性方程2cosx

12、ex 0写成收敛的迭代公式，并求其在x0 0.5附近的根，精确到10 2 0解：令 f (x) 2cosx ex令f(x)=0,得到两种迭代格式xe1 arccos一22 ln(2cosx)(x)(x)2(x0)xL e ,不满足收敛定理。2 1ex222sin x , tanx2cosx2(0.5)0.008727 1 ,满足收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为xk 1ln(2cosxk)取初值为x0 0.5,得出近似根为：x* x2 0,693074175、为方程x3 x2 1 0在x。1.5附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1) x 1 4 ,迭代公式 xk

13、1 1 4 ； xxk(2) x3 x2 1,迭代公式 xk1 (xk2 1)1/3(3) x2, 迭代公式 xk 1 1172x 1(xk 1)解：(1)利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值x0 1.5附近的局部收敛(2)局部收敛(3)不满足局部收敛条件但由于| 1(x)|. | 2(x),所以1(x)比2(x)收敛的慢取第二种迭代格式xk1 (xk2 1)1/3取初值x0 1.5,迭代9次得x*x9 1.4667、用牛顿法求解x3 3x 1 0在初始值x0 2临近的一个正根，要求xk 1 xk 10解：令 f (x) x3 3x 1由牛顿迭代法知:Xk 1Xk_3f(Xk)3Xk 1迭代结

14、果为:k0123Xk21.881.87941.8788959392f (Xk)3(Xk1)满足了精度要求，X* X3 1.879398、用牛顿法解方程1 C 0,导出计算C的倒数而不用除法的一种简 X单迭代公式，用此公式求 0.324的倒数，设初始值X0 3,要求计算 结果有5位有效数字。1解：f(X)1 0.325 Xf (X) 工，由牛顿迭代公式Xk1 Xk包X2f (Xk)迭代结果为:k012333.03.08643.08Xk84186420满足精度要求 * xx3 3.0864所以，0.324的倒数为3.086411、用快速弦截法求方程x3 3x 1 0在X。2附近的实根，(取=1.9

15、, 要求精度到10 3)。解：f(x) X3 3x 1 ,迭代结果：k01234Xk2满足精度要求*x x4 1.879391.91.8810941.879411601.8793912、分别用下列方式求方程4cosx ex在刈一附近的根，要求有三位4有效数字(1)用牛顿法，取入 4(2)用弦截法，取小 为42(3)用快速弦截法，取 % 42解：求出的解分别为：x1 0.905 x2 0.905 x30.905习题三1、用高斯消元法解下列方程组2x x2 3x§1(1 )4x1 2x2 5x3 4x1 2x2711x1 3x2 2x3323x1 11x2 x3 0x1 2x2 2x31

16、解：(1)等价的三角形方程组为4x1 2x2 5x342x2 0.5x31 ,回代求解为721_ &84(2)x1又2*3(2)等价的三角形方程组为x31935723x1 11x2 x3 057x2 47x31 ,回代求解为2323193223x3xix241193106193223572、将矩阵10解：L 2001001020011150100010121110111作LU分解。1000010021503、用LU紧凑格式分解法解方程组011655675781071解：L 6/57/5111/5丫1/23/10011/202012530013/5000，1500072/50091086

17、94/55010975X1X2X3X410317/21/104、用列主元的三角分解法求解L方程组解:12/31/3用21001017/5追0121000赶00121法000300解17/30三角100 .00414/34方1111X12x22X313X1X24x372X13x22X30714/3 , X2组 Ax b211/2其中1102解：L11/2Y 1/31/41/511/26.用改进的12/313/414/5 113/214/315/416/55/62/31/21/31/6Cholesky分解法解方程组4x12x14x11解：L 1/21011/221602x217x210X21081

18、4x310X39x310377、用改进的cholesky分解法解方程组411013101152解：U4000111/400-1-3/450/110002，78/25725/4-6/11156/2500241212Xix2X3X478468、设x解:(1,n2,3)T ,求国,32和|乂X2n2Xi 114ma9、设Axx125解：Ai10、设 A8,1253124A12410, 0-3 ,1A2. (AT AT) 7.1417I ,计算国，|A| 及|Ax|2,并比较Ax和同?|A 的大小。解：帆 3,网=10, |Ax| =912010122 x111、给定方程111 X2221 X3(1)

19、写出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式；(2)证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散;(3)给定 x(0) (0,0,0)T , |x(k 1) x(k)| g 10 3。解：x1(1) Jacobi迭代公式x2x3用迭代法求出该方程的解，精确到2x22x3xx32x12x21210Gauss-Seidel迭代公式x1(k1)2x2(k)3x3(k) 12x2(k 1)2x2(k) x3(k) 12xn(k 1)8x2(k) 6 x3(k) 38(3)用 Jacobi 迭代得，X* X(4) (12, 46, 58)T5x1 x2 x3 x44迭代格

20、式和13、已知 x110x2x3x412,考察J28用x1x25x3x48x1 x2 x3z 10x4 34Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。14、方程组Ax b,其中a0 , x,b R311A 4aa利用迭代收敛的充分必要条件确定使 迭代法均收敛的a的取值围。Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel0 a a解:Jacobi迭代矩阵为Bj4a 00a 00当Bj 1得,、.55Gauss-Seidel迭代矩阵为:当Bs 1得,|a包 5430 x115、设方程组3 41 X2014 x30 a a_22Bj0 4a4a220 aa2430分别用Gauss-Seidel迭代法

21、和24w=1.25的SORfe求解此方程，准确到4位有效数字(取x(0) (1,1,1)T) 解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此时近似解为x* x(17)(3.000,4,000,5.000)TSOF& W=1.25时，迭代11次，此时的近似解为x* x(11)(3.000,4.000,5.000)T16、用SO昉法解方程组(分别取松弛因子 w=1.03, w=1, w=1.1 )4x1 x21x1 4x2 3x3 4 精确解 x*(1/2,1, 1/2),要求当 |x* x(k)|5 10x2 4x§3时，终止迭代，并且对每一个w值确定迭代次数。解：当 w=

22、1.03 时，迭代 5 次，x* x(5)(0.5,1, 0.5)T当 w=1 时，迭代 6 次,x*x(6) (0.5,1, 0.5)T当 W=1.1 时，迭代 6 次，x*x(6) (0.5,1, 0.5)T习题四1、设 x0 0, x1洱苦o1,写出f(x) ex的一次插值多项式L(x),并估计插值解：L1(x)y0y y。1(x x0) 1 (1)xx1 x0e|R(x)|R1(x)|M|(x x°)(x x1)，其中 M21|(x x°)(x x1)1 28max f (x)1x0 x x12、给定函数表xi-0.10.30.71.1f (Xi)0.9950.99

23、50.7650.454选用合适的三次插值多项式来近似计算 解：、求f(0.2),选用插值节点为X0 -0.1 插值多项式为：f (0.2)和f (0.8) °X10.3, x20.7 ,用 lagrangeL2(x) ,(x X1)(X X2)、y°(X0 X1)(X0 X2)(x X0)(X X2)(XiX0)(X1 X2)yi(x Xo)(X Xi)(X2X0)(X2 Xi)y2解得 f(-0.1)L2(-0.1)0.979、求f(0.8),选用插值节点L2(x)(X Xi)(X X2)(XX00.3 , X1X0)(x X2)y0 y1(X0 X1)(X0 X2)(X

24、1X0)(X1 X2)0.7 , (xX21.1 ,X0)(X X1)y (X2 X0)(X2 X1)解得：f(0.8)L2(0.8) 0.69754、给定数据(f(x) vx)Xi2.02.12.22.4f(Xi) 1.14214 1.449138 1.48320 1.54917(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差。(2)试用二次Newton插值多项式计算f (2.15)的近似值，并估计误差。解：(1)取 X0 2.2, X12.4L1(x)f(2.3)y0 (x x°)X1 X0L1(2.3) 1.5161950.32995X 0.75731|R1(x)|(X

25、X0)(X X1)M max f (x)0.0766X0 X X1|R(2.3)|0.0766 “2(2.3 22)(X2.4)0.0003831(2)写出二次Newton插值差商表Xi2.02.12.2f(Xi)1.142141.4491381.48320一阶差商0.349240.34062二阶差商-0.0431N2(x) 1.414214 0.34924(x 2) 0.0431(x 2)(x 2.1)f(2.15) N2(2.15) 1.4663R2(2.15) 0.0000041435、给出函数值x01234y01646880试求各阶差商，并写出Newton插值多项式和差值余项。 解：x

26、iy一阶差商一阶差商二阶差商四阶差商001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/6N4(x) 16x7x(x 1) 5/2x(x 1)(x 2) 7/6x(x 1)( x 2)(x 4)Q(x) f(x) N/x)f%,Xi,X2,X3,X4,xw5(x)f()H(x 0)(x 1)(x 2)(x 4)(x 5)6!6、给定数据表x 0.1250.250.3750.5000.6250.750f(x)10.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算f (0.158)和f (0.636)。解

27、：、求 f (0.158),取 x0 0.125, x1 0.25, x2 0.375, x3 0.500, h=0.125 差分表为xif(xi)一阶差分二阶差分三阶差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316kfi由公式 fXi,Xi 1,Xi 2, Xi k k k!h由牛顿插值公式有f(0.158) N3(0.158) 0.79061、求 f (0.636),取 x0 0.375, x1 0.500, x20,625, x30.750 , h

28、=0.125xif(xi)一阶差分二阶差分三阶差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得f 0.636)N3(0.636) 0.651799、给出sinx在0,pi的等距节点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为1 104,问该函数表的步长h应取多少才能 2满足要求？解：设插值节点为xi ih , (i=0,1 h) , h nth2h2由 Rn(x)|f (x) ym2F(x)=sinx , f (x) sin x ,所以 f (

29、x) 1,即 m2 1所以h 0.02步长h应取为0.02才能满足要求。14、已知实验数据如下xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式，并计算均方差解：设拟合多项式为a bx2则正规方程组为S0S1S2S1S2S3S2S3S4T0T1T2即:51575327157532719233153271923317277699271.49776.1369321.50.9680.05所以，经验公式为:y 0.9680.05x2均方误差为0.00301915、观测物体的直线运动，得出以下数据时t(s)间00.91.93.03.95.0距S

30、(m)离010305080110求运动方程。解：设拟合多项式为a bx2 cx,则正规方程组为S0SiS2SiS2S3S2aS30S4bT0T1T26 即：14.753.6314.753.63218.90753.63218.9079510302328010784533.2a=-0.5834 ,b=11.0814, c=2.2488所以拟合多项式为y0.5834 11.0814x 2.2488x2。习题五1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。1 x(1)。/dx (n=8)04 x解：用复合梯形公式 h 1,n 8,f(x) J 84 x2T80.11140用辛普森公式n 8, m 4, h 18I S80.11157精确值：1dx 0.111572 04 x2由上可看出复合辛普森公式更精确。,、1,、(4) oe dx (n=4)解：用复合辛普森公式 T4 0.6