量子力学课件(2+)

1、第二章第二章 波函数波函数和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释l2 2 态叠加原理态叠加原理l3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程l4 4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律l5 5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程l6 6 一维无限深势阱一维无限深势阱l7 7线性谐振子线性谐振子l8 8贯穿势垒贯穿势垒123456返回返回1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释（一）波函数（一）波函数（二）波函数的解释（二）波函数的解释（三）波函数的性质（三）波函数的

2、性质返回返回exp()iAprEt 3 3个问题？个问题？ 描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波(, )rt如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglieBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数

3、。(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数（二）波函数（二）波函数的解释的解释电子源电子源感感光光屏屏（1 1）两种错误的看法）两种错误的看法1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，

4、底片上增加呈电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 PPOQQO 波由粒子组成的看法：波由粒子组成的看法：显然夸大了粒子性的一面，显然夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。O 事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解才能理解氢原子氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能（只含一个

5、电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。量量子化这样一些量子现象。2. 粒子由波组成粒子由波组成 电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是平面波

6、描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实与实验事实相矛盾。验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是经典的，既不是经典的

7、粒子也不是经典的波，粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，但是我们也可以说，“ “ 电子电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一一。” ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ;粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的

8、空间分布作周期性的变化; ;波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。（2 2）Born Born 波函数的统计解释波函数的统计解释 几率波几率波1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; ;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计

9、结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底

10、片上照相底片上 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数微观客体运动的一种统计规律性，波函数 (r) (r)有有时也称为几率幅。时也称为几率幅。这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函波函数的几率解释数的几率解释，它是，它是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r) (r) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意义与经典描述，但意义与经典波不同。波不同。| (r)| (r)|2 2 的意

11、义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近几率点附近几率的大小，确切的说，的大小，确切的说， | (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 点处，体积元点处，体积元xx、 y y 、zz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，率成比例，返返 回回（三）波函数的性质（三）波函数的性质在在 t t 时刻，时刻，r r 点，点，d = dx dy dzd = dx dy dz 体积内，找到由体积内，找到由波函数波函数 (r,t)

12、 (r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d，其中，其中，C C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：( r, t ) = dW(r( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密

13、度。 在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为：W(t) = W(t) = V V dW dW = = V V( r, t ) d( r, t ) d= C= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d（2 2）平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为况），所以在全空间找到粒子的几率应为1 1，即：，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为：C

14、= 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若 | (r , t)| (r , t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。( , )exp()ir tAp rEt 注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。 （3 3）归一化波函数）归一化波函数 (r ,

15、t ) (r , t ) 和和 C (r , t )C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子处找到粒子的相对几率之比是：的相对几率之比是： 221122(, )(, )(, )(, )CrtrtCrtrt可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。这与经典波

16、不同。经典波波幅增大一倍（原来这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的的 2 2 倍），则相应的波动能量将为原来的倍），则相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。题。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，将波函数乘上一个常数后

17、，所描写的粒子状态不变，即即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态归一化常数归一化常数l若若 (r , t ) (r , t ) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )| (r , t )|2 2 d= A d= A （A A 是大于零的常是大于零的常数），则有数），则有l | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 d= 1 d= 1l也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )是归一化的波函数，是归一化的波函数，与与 (r , t ) (r ,

18、t )描写同一几率波，描写同一几率波， (A)(A)-1/2 -1/2 称为归一化因子称为归一化因子。l注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为模为1 1的因子不定的因子不定性，性，若若 (r , t ) (r , t )是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末， expiexpi (r , t ) (r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实常数），与前者描述同一几率波。是实常数），与前者描述同一几率波。（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac 函数函数 定义：定义： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxx

19、x或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻邻域连续的任何函数域连续的任何函数 f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 0 x0 x)(0 xx 函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则xxxpidpexxx)(0021)( 性质：性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，则则，作作代代换换：

20、II II 平面波平面波 归一化归一化EtipEtrpiperAetr )(),(写成分量形式写成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波考虑一维积分考虑一维积分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxtxtxxxpp),(),(* )(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，则，则 A A1 1= 2= 2 -1/

21、2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数)(xxpp )(xxpp dxeAxppixx21 ()1()2xxippxxxppedx)()()()(000 xxxfxxxf 三维情况：三维情况：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，这样归一化

22、后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。相同。2 2 态叠加态叠加原理一、态叠加原理一、态叠加原理二、动量空间（表象）的波函数二、动量空间（表象）的波函数返回返回一、态叠加原理一、态叠加原理l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，两个相，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。加波的干涉的结果产生衍射。l因此，同光学中波的叠加原理一样，因此，同光学中波的叠加原理一样，量

23、子力学中也量子力学中也存在波叠加原理存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为子力学的波叠加原理称为态叠加原理态叠加原理。考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状态，两种可能的状态， 是这两种状态的叠加。是这两种状态的叠加。= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则

24、是：|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C= (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + + CC1 1* *C C2 21 1* *2 2 +C +C1 1C C2 2* *1 12 2* * 电子穿过狭电子穿过狭缝出现在缝出现在点的几率点的几率密度密度电子穿过狭电子穿过狭缝出现在缝出现在点的几率点的几率密度密度相干项相干项正是由于相干项正是由于相干项的出现，才产生的出现，才产

25、生了衍射花纹。了衍射花纹。其中其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的态叠加是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。原理。态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述：若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C + .+ Cn nn n + .+ . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于

26、处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.态叠加原理：态叠加原理：如果如果1 1和和2 2 是体系的可能状态，那是体系的可能状态，那末它们的线性叠加末它们的线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态.例：例：exp()piAprE t了了求求和和。所所以以后后式式应应用用积积分分代代替替是是连连续续变变化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(电子在晶体表面反射后，电

27、子可电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具有确定动量的运动状态用有确定动量的运动状态用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可可表示成表示成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 dp p返回返回二、动量空间（表象）的波函数二、动量空间（表象）的波函数l (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，

28、为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数；lC(p, t)C(p, t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数；l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函数波函数 (r,t) (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。( , )( )( , )pc p trr t d同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子态态的的两两种种不不一一一一对对应应

29、，与与所所以以的的。变变换换式式，故故而而总总是是成成立立显显然然，二二式式互互为为),(),(tpctrFourier 展开展开系数系数pdrtpctrp)(),(),( 令令则则 可按可按p p 展开展开dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 若若 (r,t) (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t)C(p, t)也是归一化的也是归一化的pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 证证明明：pdrdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( )

30、 (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),( 体体积积元元内内的的几几率率；点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有类类似似的的物物理理含含义义与与),(),(trtrc 体体积积元元内内的的几几率率。点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在动动量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(返回返回作作 业业 补补 充充 题题12

31、/2/3/1232/(2)/2/456,3,(42 ).ixixi xixixixeeeeei e 1.请问下列波函数中，哪些与描写同一状态？返返 回回A axaxaxanAxn,0,2sindxex2 2 .求下列波函数的归一化常数：求下列波函数的归一化常数：（1 1） （2 2） 积分公式：积分公式：22( )exp(/2)xAxx 3 Schrodinger 3 Schrodinger 方程方程（一）引言（一）引言（二）引进方程的基本考虑（二）引进方程的基本考虑（三）自由粒子满足的方程（三）自由粒子满足的方程（四）势场中的（四）势场中的SchrodingerSchrodinger方程方程

32、（五）多粒子体系的（五）多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程返回返回 这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波提出了波动方程之后得到了圆满解决。动方程之后得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题

33、就是要解决以下两个问题：力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。（一）引言（一）引言返回返回（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒粒子的状态子的状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。方程。让我们先回顾一下

34、经典粒子运动方程，看是否能给我让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。们以启发。（1 1）经典情况）经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿（2 2）量子情况）量子情况3 3第三方面，方程不能包含状态参量，如第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, Ep, E等，等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。为各种可能的状态所满足。1 1因为，因为，t = tt = t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是

35、( r, t( r, t0 0) ) 且只知道这样一个初始条件，所以，描写粒子状态且只知道这样一个初始条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含的波函数所满足的方程只能含对时间对时间 的一阶导的一阶导数。数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若即，若1 1( r, ( r, t ) t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t )( r, t )也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也也应

36、是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含就是说方程中只能包含, , 对时间的一阶导数和对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。方项。返回返回（三）自由粒子满足的方程（三）自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量量 E E 。将。将对坐标求二次微商，得：对坐标求二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: :应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得

37、：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx(1)(2)(1)(2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量、动量关系式如果能量、动量关系式 E = pE = p2 2/2/2 写成如写成如下方程形式：下方程形式： 22224ppipptiE）（做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由粒子满足的方程（粒子满足

38、的方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti 22pE 对对自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(2)(1)(2)式式返回返回（四）势场中的（四）势场中的Schrodinger Schrodinger 方程方程该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22

39、)(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得：返回返回（五）多粒子体系的（五）多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成，质量分别为质量分别为 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N)体系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t); t)第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i) )粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1,

40、 r, r2 2, ., r, ., rN N) )则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb

41、吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：返回返回4 4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质返回返回（一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，而言，在全空间找到它

42、的几率总和应不随时间改变，即即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在率将怎样随时间变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：证证：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：将将)6()5(

43、 2222 titi22 ）（ti取共轭取共轭 dddtdi22 ）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：0 Jt 其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（ dJdtrdtd ),(2 iJ闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空，即让积分对全空间进行，考虑到任

44、何真实的波函数应该是间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为： 0),( dtrdtd的的表表面面。是是体体积积）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内的几率的几率SdS 使用使用 Gauss Gauss 定理：定理： 0),( dtrdtd讨论：讨论：表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物

45、理意义是粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。（1 1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2） 以以乘连续性方乘连续性方程等号两边，得到：程等号两边，得到：0 Jt量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0 eeJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(2| ),(|2iJJtr 质量密度质量

46、密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量 )(2| ),(|2 ieJeJtreeee电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量返回返回（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质1. 1. 由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即知道了粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|d (r, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也

47、就是说，描写粒子状态的一切力学量的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。（1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态（2 2）波函数标准条件）波函数标准条件1. 1. 根据根据BornBorn统计解释统计解释 (r, t) = (r, t) = * *(r, t)

48、 (r, t)(r, t) (r, t)是是粒子在粒子在t t时刻出现在时刻出现在 r r点的几率，这是一个确定的数，所以点的几率，这是一个确定的数，所以要求要求(r, t)(r, t)应是应是 r, tr, t的单值函数且有限。的单值函数且有限。l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任是任意选取的，所以意选取的，所以S S是任意闭合面。要使积分有意义，是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。数亦连续。l概括之，波

49、函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为三个条件，该条件称为波函数的标准条件波函数的标准条件。( , )2SSdr t dJdSdtidS 2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 : :（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定 I I、 IIII量子力学基本假定量子力学基本假定 I I微观粒子的运动状态完全由波函数描述。微观粒子的运动状态完全由波函数描述。量子力学基本假定量子力学基本假定 IIII波函数随时间的演化遵从波函数随时间的演化遵从 Schrodinger Schrodinger 方程。方程。返回返

50、回5 5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质（四）定态的性质返回返回（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 现在让我们讨论有外场情况下的定现在让我们讨论有外场情况下的定态态 Schrodinger Schrod

51、inger 方程：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：若若V(rV(r) )与与t t无关时，则无关时，则可以分离变量可以分离变量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互独立的变量，一独立的变量，一般不相等，除非般不相等，除非它们同等于一个它们同等于一个与与 t, r t, r 无关的无关的常数。常数。 该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r(r) )也也可称为定态波函数，

52、或可看作是可称为定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r,0)的定的定态波函数。态波函数。 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角的关系是正弦型的，其角频率频率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t(r,t) )所描写的状所描写的状态时的能量。也就是说，此时态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的体系能量有确定的值值，所以这种状态称为定态，波函数所以这种状态称为定态，波函数(r,t(r,t) )称称为定态波函数。为定态波函数。Etiertr )(),( )

53、()(222rErV 空间波函数空间波函数(r(r) )可由方程可由方程和具体问题和具体问题(r(r) )应满足的边界条件得出。应满足的边界条件得出。返回返回（二）（二）HamiltonHamilton算符的本征方程算符的本征方程（1 1）Hamilton Hamilton 算符算符),()(2),(22trrVtrti 算算符符。亦亦称称量量，称称为为与与经经典典力力学学相相同同，HamiltonHamiltonH )()(2)()(22rErVtEftfdtdi EVEti22 二方程的特点：二方程的特点：都是以一个算符作用于都是以一个算符作用于(r(r, t), t)等于等于E(rE(r

54、, t), t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 HVti222 是相当的。这是相当的。这两个算符都称两个算符都称为能量算符。为能量算符。也可看出，作用于任一波函数也可看出，作用于任一波函数上的二算符上的二算符)(r ，得得：注注意意到到/expiEt /expiEt 再由再由 Schrodinger Schrodinger 方程：方程：（2 2）本征方程）本征方程（1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与 数学物理方法中的本征值方程相似。数学

55、物理方法中的本征值方程相似。数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； （2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函数本征函数。（3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所

56、描写的）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称状态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 EH EV 22 将将改写成改写成返回返回（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数( r, t)( r, t) 和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下：。其具体步骤如下：)()(222rErV ,2121nnEEE ，本本征征

57、函函数数本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|2 drCnn（1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个标准）根据波函数三个标准条件求解能量条件求解能量 E E 的的本征值问题，得：本征值问题，得：（3 3）写出定态波函数即得）写出定态波函数即得到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C Cn n返回返回（四）定态的性质（四）定态的性质（2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关nnntr ),( 2

58、),(nnnnnitrJ （1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn 综上所述，当综上所述，当满足下列三个等价条件中满足下列三个等价条件中的任何一个时，的任何一个时，就是定态波函数：就是定态波函数：l1. 1. 描述的状态其能量有确定的值；描述的状态其能量有确定的值；l2. 2. 满足定态满足定态Schrodinger

59、Schrodinger方程；方程；l3. |3. |2 2 与与 t t无关。无关。( , )( , )nnFr t Fr t d（3 3）任何不显含）任何不显含t t的力学量平均值与的力学量平均值与t t 无关无关( )exp(/ )( )exp(/ )nnnnriE tFriE td( )( )nnr Fr d2.6 一维无限深势阱返回返回 从这一节起，我们将用薛定谔方程处理几从这一节起，我们将用薛定谔方程处理几个简单的定态问题，研究这些问题，不仅因为个简单的定态问题，研究这些问题，不仅因为它们简单，容易得到严密的结果，而更重要的它们简单，容易得到严密的结果，而更重要的是因为这些问题具有典

60、型性，处理方法带有一是因为这些问题具有典型性，处理方法带有一般性，是研究各种复杂问题的基础。此外，微般性，是研究各种复杂问题的基础。此外，微观体系的许多特性，可以在这些问题中明显地观体系的许多特性，可以在这些问题中明显地表露出来，通过学习，可以进一步加深我们对表露出来，通过学习，可以进一步加深我们对微观现象所具有的特性的认识。微观现象所具有的特性的认识。（一）一维无限深势阱中粒子的势能（一）一维无限深势阱中粒子的势能l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程l（2 2）解方程求通解）解方程求通解l（3 3）使用波函数标准条件求定