二次函数透视汇总

1、1.抛物线y =ax2bx c中，a,b,c的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与y = ax2中的a完全一样.(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y二ax2 bx c的对称轴是直线x，故：b = 0时，对称轴为y轴；一.0(即a、b同号)时，对称轴2aa在y轴左侧；b: 0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.a(3)c的大小决定抛物线y = ax2亠bx c与 y 轴交点的位置.当x=0时，y=c,抛物线y = ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0,c):c = 0,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c：0,与y轴交于负半轴.0.2.几种特殊的二次函数的

2、图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y =ax当a a 0时开口向上当a 0,所以 k0，所以a=号，即EM的长为号米说明本题是一道以几何图形为背景的应用题，求解时常常需要我们依据题意， 灵活运用几何知识，构造出函数模型，进而使问题获解三、双二次函数型例 3(江苏省)如图 1,已知二次函数 y= x2 2x 1 的图象的顶点为 A.二次函数 y= ax2+bx 的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C,它的顶点 B 在函数 y= x2 2x 1 的图象的对称轴上(1) 求点 A 与点 C 的坐标；(2) 当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 y= ax2+bx 的关系式图 1 o

3、o分析(1)由二次函数图=x2 2x 1 可直接确定其顶点坐标图2 而由二次函数 y= ax2+ bx的图象与 x 轴交于原点 O 及另一点 C,它的顶点 B 在函数 y= x2 2x 1 的图象的对称轴上 的条件可求得点 C 的坐标(2)由四边形 AOBC 为菱形可求得点 B 的坐标，进而利用待定 系数法求得 y= ax2+bx的解析式(1)(2)(3)分析解 如图 2. ( 1)因为 y= x2 2x 1 = (x 1)2 2,所以顶点 A 的坐标为(1, 2).又因为二次函数 y= ax2+bx 的图象经过原点，且它的顶点在二次函数 y= x2 2x 1 图象 的对称轴 I 上，所以点

4、C 和点 O 关于直线 I 对称，所以点 C 的坐标为(2, 0)43ry X 6, x =3,解得15所以 C(3,).5 y = .4y x./445(2)根据题意，得 AE=t, OE = 8 t 所以点 Q 的纵坐标为一(8 t)，点 P 的纵坐标为所以 PQ =5(8 t) 3t = 10 2t.当 MN 在 AD 上时，10 2t = t，解得 t =443当 0t10时，S= t(10 2t),即卩 S=- 2t2+10t3(2)因为四边形 AOBC 是菱形，所以点 B 和点 A 关于直线 OC 对称，因此，点 B 的坐 标为(1，2).因为二次函数 y= ax2+bx 的图象经

5、过点 B(1, 2), C(2, 0),所以a b解得a所以二次函数 y= ax2+bx 的关系式为 y= 2x2+4x.4a+2b=0. b = 4.说明本题是以两条抛物线为背景，求解时要能充分发挥二次函数的知识，利用数形结合、待定系数法的数学思想方法.四、运动变化型35例 4 (长春市)如图，直线 y=-x+6 分别与 x 轴、y 轴交于 A, B 两点，直线 y= x44与 AB 交于点 C,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D.点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单 位的速度沿 x轴向左运动.过点 E 作 x 轴的垂线， 分别交直线 AB、 OD 于 P、 Q 两点， 以 P

6、Q 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与厶 ACD 重叠部分(阴影部分)的面积为 S(平方单位).点 E 的运动时间为 t (秒).(1)(2)(3)求点 C 的坐标.0 0 时，直接写出点(4,)在正方形 PQMN2内部时 t 的取值范围.b 4ac - b22a 4a 分析(1)由两条直线的解析式可直接求得点C 的坐标.(2)若 AE = t，贝 U OE= 8 t,53于是所以点 Q 的纵坐标为一(8 t)，点 P 的纵坐标为一 t,于是可构造方程求得 t，进而分情44况求解.(3)由二次函数的性质并利用配方分别求解，并加以比较确定 合图形可求得.【参考公式：二次函数 y=

7、 ax2+bx+c 图象的顶点坐标为】S 的最大值.(4)结解(1 由题意，得*3t,4yBCO ED25当10WtV5 时，S= (10 - 2t)2,即即 S= 4t2- 40t+100.3105255(3)当0Vtw时，S= 2(t- )2+，所以 t= 时，S 最大值=3222当10wtV5 时，S= 4(t 5)2，因为 tV5 时，S 随 t 的增大而减小，所以31002510025大值=.而，所以 S 的最大值为 .929222(4)依题意，结合图形可知， 4VtV，或 t 6.5说明 本题意在考查平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式(组)的 简单应用二次函数与一元

8、二次方程根之间的内在联系，是一道比较好的动态的二次函数综合题1 .求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例1若 a, b 为实数，且，求鼻的值。思路注意 a, b 为方程-! IH-I-T!的二实根；(隐含匸二)。解(1 )当 a=b 时，b aa b(2)当时，由已知及根的定义可知,韦达定理得b呻a扌卜 M -(召护-2ababdbi方程的系数表达出来。一般地，设忑，刈为方程衣+b讣心的二根，九*和煜，则有递推关系。_?i几+卫1人二1+I -02a, b 分别是方程 -1的两根，由说明此题易漏解 a=b 的情况。根的对称多项式等都可以用丄25其中 n

9、为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a, b 值进而求出所求多项式值，但计算量较大。例 2 若用空= m+i，用：h且姐丫讯，试求代数式用，+/的值。思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为朋科丹，由根的定义知 m，n 为方程-k-1-C 的二不等实根，再由韦达定 理，得刚+ 川=1v(m=-U?一(加)292.构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。例3设一元二次方程的二实根为空和(1)试求以；和刁为根的一元二次方程;x22x 0,x2-1=0，其中

10、x20无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。71(2)若以；和为根的一元二次方程仍为 +。求所有这样的一元二次方程。解(1 )由韦达定理知a3+0 j & 彳 0 尸-3c(jc 丰 0)=p 弓亠3 pg(2,1)，(-2,1)或(0,-1)。于是，得以下七个方程xa=0 x2+x=- 0 x2+ 1 = 0 x2- 2v + l = 03.证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。例 4 已知 a, b，c 为实数，且满足条件：彳*1 训 2，求证 a=b。证明由已知得金+ 0，血彳/ + 9。根据韦达定理的逆定理知，以a，b 为根的关于 x 的

11、实系数一元二次方程为屮bT+p *1*4 由 a，b 为实数知此方程有实根。二/ =0，故 c=0,从而 44。这表明有两个相等实根，即有a=b。说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式M 卄阀可得? - 4 耳0，即玄岂。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。4研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。 关于方程= o（H ）的实根符号判定有下述定理：方程有二正根二-， ab0;方程有二负根二 I 二，ab0， ac0;方程有异号二根，ac0,% 1）（x2_1） =6 _a _（-2a） +1 cO.解之得。a ： -7。说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。5 求参数的值与解方程韦达定理