安徽省长丰县高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推

1、2.5.1等比数列前 n 项和公式的推导与应用项目内容课题2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用（共1课时）修改与创新教学目标一、 知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；VJ4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、 过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；42.发挥学生的主体作用，作好探究性活动埜三、 情感态度与价值观L1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的 探究精神和严肃认真的科学态度，、培养学生的类比、

2、归纳的能力；y2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系， 激发学生学习的兴趣.A教学円重、难点T教学重点1.等比数列前n项和公式的推导：2.等比数列前n项和公式的应用.教学难点等比数列前n项和公式的推导.教学准备多媒体课件教学过程导入新课师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个2故事大家听说过吗?生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个 格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上

3、述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求师 假定千粒麦子的质量为40 g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见动笔，列式，计算生 能列出式子：麦粒的总数为2631+2+2 +2 -师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们 一下课件展示：j W1+2+22+263=?师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个 等比数列.它的首项是1，公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+b+23+263，式中有64项，后项与前项的比为

4、公比一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消V课件展示:S=1+2+F+23+2632S=2+22+23+263+264-得2S-S=264-264-1这个数很大，超过了1.84X1019，假定千粒麦子的质量为40 g，那起来分析2,当每34么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识”推进新课合作探究师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：

5、2n1+q+q +q =?师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请冋学们注意观察生观察、独立思考、合作交流、自主探究.师若将上式左边的每一项乘以公比q,就出现了什么样的结果呢？八2nn+1生q+q +q +q ”生 每一项就成了它后面相邻的一项”师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记S=1+q+q2+q：2nn +1那么qS=q+q+q +q .要想得到Sn,只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn= 1-q：师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值，1n生如果qz1,则有S=二-1 -q师当然，我们还要考虑一下如果q=1冋题是什么样的结果.生如果q=1，那么S=n.师 上面

6、我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般 情形我们怎样思考？课件展示：a1+ +a2+ +a3+ +an= =?教师精讲5意，就是只有当等比数列的公比qzi时，我们才能用上述公式师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果 什么样的结果呢?生独立思考、合作交流.生如果q=1,Sn=na师完全正确如果q=1,那么S=nan.正确吗？怎么解释?师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法我们将这种方法简称为错位相减法师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记S=ai+a2+a3+an.那

7、么qS=aiq+a2q+a3q+ an要想得到Sn,只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=ai-an .师再次提醒学生注意q的取值如果qz1,则有Sna1- anq1 -q师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程:1112n 1如果记S=a1+aq+a1q +口 -jr 1那么qS=aiq+aiq2+ aiqn-1+aiqn.要想得到Sn,只要将两式相减，就立即有（1-q） Sn=a1-aqn如果qz1,则有Sn6(1 -qn)1 -q师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”形式上，前一个ai,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；

8、后者出现的是a,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地值得重视的是：上述结论都是在“如果qz1”的前提下得到的言下之q=1问题是67生 正确.q1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍，师 对了，这就是认清了问题的本质.师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来 探讨一下：合作探究思路一：根据等比数列的定义，我们有：恥_比an_qTaia2a3an_j再由合比定理，则得a?+a+a +an _qai+a? p+. + an即Sn-ai=q,Sn an从而就有(1-q)Sn=ai-anq.(以下从略)思路二：由Sn=

9、ai+a2+a3+an得Sn=ai+aiq+a2q+an-iq=ai+q(ai+a?+an-i)=ai+q(Sn-an),从而得(1-q)Sn=ai-ant.(以下从略)师探究中我们们应该发现，S-Sn-j=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？生n1”师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S-Sn-i=an,nl.师综合上面的探究过程，我们得出：=1,=1,Sn=怙(1 -qn) _或者怙-a.q q式1，q*1虫,L1-qJ q例题剖析【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：1 1 1(1),；24 88【例题2】某商场今年销售计算机

10、5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%那么从今年起，大约几年可使总销售量达到z/TO30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是 个已知S=30 000求n的问题生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式, 计算 解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列an,其中a1=5000,q=1+10%=1.1,SnViL(2)a1=27,ag=丄，qv0.243合作探究师生共同分析:由(1)所给条件，可得a11 , q 1,求门=8时的和，直接用公式即可.

11、22由(2)所给条件，需要从ag中获取求和的条件，才能进一步求n=2438时的和.而a9=aiq8，所以由条件可得q8=別1，再由qv0,a1243 271可得q，将所得的值代入公式就可以了3写出解答：(1)1 1因为印=2，q =2，所以当n=8时,S81 121-(2)255256由ai=27,ag243， 可得aga1243 27 又由qv0,可得1q_3于是当n=8时,(1-S2T_243 27)16401“3)819于是得到5（1一1.1）=300001-1.1整理得1.1n二两边取对数，得nlgl. i-lg|P6,用计算器算得n=lg6-0.2-5（年Llg1.10.041答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.练习：教材第66页，练习第1、2、3题，课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了 “错位 相减法”,2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是