集合论-集合恒等式

1、复习上次课内容复习上次课内容 一、集合的基本概念一、集合的基本概念( (不可精确定义的概念不可精确定义的概念) ) 1 1、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合 集合的成员可以是另一个集合集合的成员可以是另一个集合 元素元素b b属于集合属于集合S bS S bS 元素元素b b不属于集合不属于集合S S （bSbS） 2 2、集合的表示形式、集合的表示形式 列举法：列举法：1 1）集合的元素是无序的（）集合的元素是无序的（无序性无序性） 2) 2) 重复的元素应该认为是一个元素（重复的元素应该认为是一个元素（互异性互异性） 3 3）集合中的元素可以是

2、一个集合，但不能是该集合本身）集合中的元素可以是一个集合，但不能是该集合本身 描述法描述法（谓词表示法）：是用谓词来概括集合中元素的属性谓词表示法）：是用谓词来概括集合中元素的属性 3 3、集合之间的关系、集合之间的关系 包含关系：包含关系：设设A A，B B为集合，为集合，如果如果B B中的每个元素都是中的每个元素都是A A中的元素中的元素，则称，则称B B是是A A的子集合，简称子集这时也称的子集合，简称子集这时也称B B被被A A包含，或包含，或A A包含包含B B，记作，记作B BA A B BA A x ( x ( x B x Ax B x A ) ) 隶属关系和包含关系隶属关系和包

3、含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系成立这两种关系 相等关系：相等关系：设设A A，B B为集合，如果为集合，如果A A B B且且B B A A，则称，则称A A与与B B相等，相等， 记作记作 A AB B A AB B x ( x A x B )x ( x A x B ) x ( x B x A )x ( x B x A ) 注：判断两个集合的相等应从注：判断两个集合的相等应从相互包含相互包含来证明来证明真包含关系真包含关系: :设设A A，B B为集合，如果为集合，如果B B A A且且B AB A，则称，则称B

4、B是是A A的真子集，记作的真子集，记作B BA A x ( x ( x B x A )x B x A ) x ( x A x B )x ( x A x B ) 4 4、空集、空集 （非常重要的集合）（非常重要的集合） 不含任何元素的集合称为空集，记为不含任何元素的集合称为空集，记为 性质：性质： | | | |0 0 空集是任何集合空集是任何集合A A的子集的子集: : x ( x x ( x x A ) x A ) 空集是唯一的空集是唯一的 5 5、全集、全集 E:E:任何集合看成是全集任何集合看成是全集E E的子集，的子集， A A E E二、集合的幂集二、集合的幂集 幂集定义：设幂集定

5、义：设A A为集合，把为集合，把A A的全体子集构成的集合的全体子集构成的集合叫做叫做A A的幂集，的幂集， 记作记作P(A)(P(A)(或或2 2A A) ) 幂集的符号化表示为：幂集的符号化表示为： P(A) P(A) x | x x | x A A P(A) P(A) 2 2|A| |A| 二项式定理二项式定理 任何集合任何集合A A一定有二个平凡子集一定有二个平凡子集 ： 和和 A A 幂集是以幂集是以子集合子集合为元素的集合为元素的集合 任何集合任何集合A A一定有二个平凡子集一定有二个平凡子集 ： 和和 A A 例：设例：设 S Sa,a, a,a, 求求P(S)P(S)对于隶属关

6、系和包含关系要明确对于隶属关系和包含关系要明确 例：证明例：证明 A A B B 的的充要条件是充要条件是 P P（A A） P P（B B） 注意注意包含包含和和隶属隶属的转换的转换 例：设：例：设：A A B B P P（P P（A A） 判断真假判断真假: : B B 、 B B 、 B B 、 B B 、 B B 、 B B ， B B 、 ， B B 三、三、 集合的基本运算集合的基本运算1、交运算、交运算 1） 定义：定义： 任何两个集合任何两个集合A和和B的的AB，是由集合，是由集合A和和B所共有的全部元素构所共有的全部元素构成的集合，并可规定成成的集合，并可规定成 A B =

7、x| （x A）（x B） 2）性质）性质 （a）A B = B A （b）（）（AB） C = A（B C） （c）A A = A （d） A = (e ) A B = 表示表示A与与B无公共元素无公共元素 3) 交运算的文氏图表示交运算的文氏图表示2、并运算、并运算 1）定义）定义2 设设A和和B是两个任何集合。是两个任何集合。A和和B的并集的并集AB，是由那些或属于，是由那些或属于A或属于或属于B或同时属于二者的所有元素构成的集合，并可规定成或同时属于二者的所有元素构成的集合，并可规定成 A B = x |（xA）（xB） 2）性质）性质 （a）A B = B A （b）（）（A B）C

8、 = A （B C） （c）A A = A, A = A , A E = E （d）A （B C）=（A B）（A C） （e）A （B C）=（A B）（A C） 3) 并运算的文氏图表示并运算的文氏图表示 证明：证明：P P（ A B A B ） P P（A A） P P（B B） 对于并运算也成立吗？对于并运算也成立吗？ P P（A A） P P（B B） ？ P P（ A A B B ） 3 3、相对补集、相对补集 全称量词对析取可合并全称量词对析取可合并 1 1）定义）定义3 3 设设A A和和B B是任何两个集合。是任何两个集合。B B 对对A A的的相对补集相对补集 AB， 是由

9、属于集合是由属于集合A A的但不属的但不属 于集合于集合B B的所有元素构成的集合，并可规定成：的所有元素构成的集合，并可规定成： A B = x |（xA）（x B） = x|（xA） （xB） 2 2）相对补集的文氏图表示）相对补集的文氏图表示 3 3）性质）性质 （a）A = A （b）A （B-A）= （c）A（BA）= AB （d）A（BC）=（AB）（A C） （e）A（BC）=（AB）（AC） （f）A （AB）= A B (g) A B的等价形式：的等价形式： A BA AB AB B 可以循环证明可以循环证明 利用：利用： 主要证明主要证明 A A B A-B=A-(AB)

10、A - A= AB=(A-B)B A AB = B4 4、补集、补集 1 1）定义）定义4 4 给定全集给定全集E E，对于任何集合，对于任何集合A A来说，来说，A A对对E E的相对补集，的相对补集，称为称为A A的绝对补集或简称为的绝对补集或简称为A A的补集，并记作的补集，并记作A A。对于。对于E E和和A A所进所进行的差分运算通常称为求补。行的差分运算通常称为求补。 A x | x A） = E -A = x|（x E） （x A） = x | （x A） 2）补集的文氏图：）补集的文氏图： 3）性质）性质 （a）AA=E （b）AA = （c）（）（AB）=AB （d）（）（A

11、B）= A B （e）AB A B5、对称差、对称差 1） 定义定义5 设设A和和B是任何两个集合。是任何两个集合。 A和和B的是集合的是集合 A B，并可规定成，并可规定成 A B =x|（xA）（xB） 排斥或（异或）排斥或（异或） 或或 A B=（A- B）（B - A） 2）对称差的文氏图表示）对称差的文氏图表示 3）性质：）性质： （a）A B=B A （b）（）（A B） C=A （B C） 结合律成立结合律成立 （c）A B=（AB）（BA） （d）A A= （e）A = A (f) A B= A C B=C 利用结合律利用结合律 6.3 6.3 集合恒等式集合恒等式 集合运算的

12、恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方集合运算的恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方 即将：即将： 看成看成 、看成看成 、 看成看成 空集空集看成看成 F F 、全集、全集E E看成看成 T T 那么那么命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式一、下面给出对照的公式：一、下面给出对照的公式： 1）等幂律）等幂律 AA= A PP P AA= A PP P2）结合律）结合律（AB）C=A（BC） （PQ）R P（QR）（AB）C=A（BC） （PQ）R P（QR）3）交换律）交换律 AB=BA PQ QP AB=BA PQ QP4）分配律）分配律 A（

13、BC）=（AB）（AC） A（BC）=（AB）（AC） P（QR） （PQ）（PR） P（QR） （PQ）（PR）5）同一律）同一律 A =A PF P AE=A PT P 6）零律）零律 AE=E PT T A = PF F 7）补余律）补余律 AA=E PP T AA= PP F 8）吸收律）吸收律 A（AB）=A P（PQ） P A（AB）=A P（PQ） P 例：证明例：证明:AB= AC AB=AC B=C 由由B= B(AB） 9）德）德摩根定律摩根定律 （AB）= AB （PQ） PQ （AB）= AB （PQ） PQ 10）双重否定律）双重否定律 （A）=A P P 11） =

14、 E F T E = T F 12） AB A P Q P AB B P Q Q A AB P P Q B AB Q P Q A-B A13） AB A B 二、证明方法介绍二、证明方法介绍 集合部分的证明内容一般为：集合的包含关系集合部分的证明内容一般为：集合的包含关系和集合的相等关系和集合的相等关系 A AB B 和和 A AB B 证明证明 AB任取任取 x A 利用所给的性质利用所给的性质 xB 1、采用谓词演算方法采用谓词演算方法 x(xAxB )成立成立 例：已知例：已知 AB ，证证明明 B A 证：证：x xB xB 因为因为x ( x A x B ) xB xA xA x A

15、 2、利用、利用AB的等价形式的等价形式 ABB 、 ABA 、 AB 例：例： 证明：证明： A C 且且B C的充要条件是的充要条件是A B C 证：必要性证：必要性 利用利用1将将（A B） C （A C )( B C）C C C 充分性：看充分性：看A C与与 B C是否是是否是C的子集（的子集（ A C c ？）？） A C （A C ) B （A B ) C C CC B C （ B C ) A （A B ) C C CC证明证明:A:AB B A A 的充要条件是的充要条件是 AB AB 充分性：充分性： 必要性：必要性：化简化简 (A B C) (A B) ) - (A (B -C)A) 3.3.利用集合的运算和恒等式利用集合的运算和恒等式例：证明：例：证明：已知已知A BA C 且且 AB AC 则则 BC 利用恒等变形利用恒等变形 B B(B A) 利用吸收律利用吸收律 B(A B) B(A C) (BA)(BC) (AC)(BC) (A B)C (A C)C C 证明证明 (AB)C （AC)(BC) 利用谓词演算利用谓词演算x （AB）C x （AB） x C（x A