双曲线的渐近线和离心率问题

1、百度文库让每个人平等地提升自我第30练 双曲线的渐近线和离心率问题题型分析高考展望双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的 重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为 中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一双曲线的渐近线问题例1 (1)(2015重庆)设双曲线点一白=Q0)的右焦点是F,左，右顶点分别是A，4,过尸作4A2的垂线与双曲线交于8, C两点，若A归J_A2C,则该双曲线的渐近线的斜 率为.(2)(2014江西)如图，已知双曲线C： '一产=1(>0)的右焦点为F.点A,

2、B分别在C的两条 渐近线上，AF_Lx轴，AB1OB, 8/。4(0为坐标原点).求双曲线C的方程：过。上一点尸(内), yo)(yoWO)的直线/： %,voy= 1与直线从产相交于点A7,与直线x=|相MF交于点M证明：当点P在。上移动时，好恒为定值,并求此定值.点评 在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由尸切涓=0蜡-於0，所 以可以把标准方程点= 1(</>0 ,历>0)中的“ 1 ”用“0”替换即可得出渐近线方程.by2 v»2已知双曲线渐近线方程：y 二夕，可设双曲线方程为方= A (2W0),求出2即得双曲线 方程.变式训练1 (2014山东改编

3、)已知心>0,椭圆G的方程为，+，=1,双曲线C2的方程为 3£=1, G与C2的离心率之积为半，则Cz的渐近线方程为. 题型二双曲线的离心率问题例2 (1)(2015湖北改编)将离心率为c的双曲线G的实半轴长“和虚半轴长b(“Wb)同时增 加机(>()个单位长度，得到离心率为62的双曲线C2,则下列命题正确的是.对任意的"，b, e>eix当 a>b 时,ei>e2；当 a<b 时，e<ei;对任意的4，b, 6«2；当 a>b 时，e<e2 当 u<b 时，e>ei.(2)已知。为坐标原点，双曲

4、线点一色历>0)的右焦点为F,以8为直径作圆交双曲 线的渐近线于异于原点的两点A、8,若(茄+#)历'=(),则双曲线的离心率e为. 点评在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要 内容；双曲线的离心率涉及的也匕限多.由于e4是一个比值，故只需艮据条件得到关于"、 /人C的一个关系式，利用=/ -/消去b ,然后变形求e ,并且需注意"L同时注意双曲变式训练2(2014.湖南)如图，。为坐标原点，椭圆Ci：7十层线方程中x Q的范围问题.13泌>0)的左、右焦点分别为一、尸2,离心率为ei：双曲线C2： 三一£=

5、 1的左、右焦点分别为F3、R,离心率为62.已知e伫呼, 且尸2尸4 =小一 1.过Q作G的不垂直于)，轴的弦A8, M为A3的中点，当直线0M与C2交于P,。两点 时，求四边形AP8。面枳的最小值.题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3 （2014.福建）已知双曲线氏历>0）的两条渐近线分别,、伙为 h： y=2x, 72： y=-2x. /7求双曲线E的离心率：一（2）如图，O为坐标原点，动直线/分别交直线小6于A, B两点（A, B /分别在第一、四象限），且OA8的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线/有且只有一个 公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请

6、说明理由.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形 结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3 （2014浙江）设直线-3），+川=0（讳0）与双曲线会一忘=1（“>0,历>。）的两条渐近线分别交于点A, B.若点PW.0）满足用=尸8,则该双曲线的离心率是.高考题型精练1 .（2015课标全国【改编）已知M（xo, yo）是双曲线C，一）2=1上的一点，Fi, B是。的两 个焦点，若加加2<0，则比的取值范围是.2 .（2015.镇江模拟）已知。峙则双曲线G：岛一品=1与小 扁一点湎=1的 相等.（填序号）实轴长：虚轴长

7、：离心率：焦距.3 .已知双曲线於一g=1（>0, /»0）的两条渐近线均和圆C：炉+）,2-&+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆。的圆心，则该双曲线的方程为4 .以椭圆煮+代=1的右焦点为圆心，且与双曲线*一*=1的渐近线相切的圆的方程是 1 Ox 1y 105.已知双曲线'一%= l（t/>0,">0似及双曲线，号1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线接一W=1的离心率为-6 .（2015镇江模拟）已知双曲线C：宗一%=1 （a>0,历>0）的左，右焦点分别为人，过B作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H,若A”的中点M在双曲

8、线。上，则双曲线。的离心率为.7 .已知抛物线产8x的准线过双曲线%一1=13>0,">0）的一个焦点，且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为.8 .已知双曲线。的中心在原点，且左，右焦点分别为三，以F正2为底边作正三角形， 若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为.9 .已知a, a分别是双曲线/一1=i 3>o, >o）的左，右焦点，过点b与双曲线的一条渐 近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点时，若点M在以线段为直径的圆外，则双 曲线离心率的取值范围是.10 .过双曲线3>0,历>0）的左焦点F作圆炉+产=夕2

9、的切线，切点为后 直线所 交双曲线右支于点尸，若唬赤+分），则双曲线的离心率是.11 .已知双曲线/一£=1（>0, >0）的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离 为手.求此双曲线的方程： 设P为双曲线上一点，A, 3两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若而=丽，求AO8的面积.12.(2015盐城模拟)已知双曲线宗一萦=1 (>0,比>0)的右焦点为E(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且。=2,求双曲线的方程：(2)以原点。为圆心，。为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切 线，斜率为一小，求双曲线

10、的离心率.16答案精析第30练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析例 1 (1)±1解析 双曲线力-，二1的右焦点F(c,0),左，右顶点分别为A1(-a , 0) , 43.0) /易求人与,为则b2b2kAzC =r kAB =r 又 AB 与 A2c垂直，a - ca + c则有 kAB kA2C= - 1 ,即/一.，一二-1 , a + c a - c此 crA-；= 1 , J.u2 = b2 ,即 a二，l - cr.渐近线斜率k=I=±1.解 设F(c,0),因为b= ,所以c =52+1 ,直线OB的方程为)，=- %,直线BF的方程为y = 1

11、- c),解得蛇,七).又直线。4的方程为)，二、，c ;(-5 3贝II A(c , ") , kAB =-.c2又因为A8_LOB ,所以H)= - 1，解得/二3 ,故双曲线C的方程为会-y2=L由知二小,则直线I的方程为xqx"d _ 3M-yoy=l(wHO) r 即y =.因为直线AF的方程为八二2,2x o - 3所以直线/与AF的交点为M(2 , -)；3、44- 3直线I与直线a =；的交点为N( , _ 3Vr)-(Ivo - 3)2的一酶(2一 3尸人与尸一32-9yo 9 (2xo - 3)4 十X。一2)十 -4(3 州 产4。3)2一'3

12、M + 3(xo.2)2因为P(xo ,州)是C上一点，贝吟->,0=1 ,/a 一白乂/ 4代入上式得标 二 ?(功-3产xo - 3 + 3(x()- 2)24o - 3尸 4一焉-0十9一？即所求定值为能二宗二岁.变式训练1 A±y2y=0解析由题意知ei=：82二；. 门C2 门巫 / 二一,一二丁二彳. a a cr 2又.,“2 二及十 日, ci = a2 + b2 t令3-今二。，解得bx±ay = 0 ,.9.x±l2y = 0.例2单解析（1）由题意ei =/勺匕=yj1+Q ；双曲线°2的实半轴长为“十小，虚半轴长离心率的二(

13、a + m)2 + (h + m)2 (a + m)2b + m b - b)因为-一二,且 a>0 t b>0 , m>0 , a=h ,a + m a a(a + m)所以当ci>b时,m(a - h) b + m b->0,即>"a(a + m) a + m u所以由不等式的性质依次可得十令，所以+(%m(a - h)即 ei>e ；同理，当a<b时,<0 ,可推得a(a + m)综上，当cob时，e<ez ；当a<b时，色>62.如图，设。尸的中点为丁，由（公十能）涝”0可知4T_LOF, 又A在以OF为

14、直径的圆上一"卷,§ ,又A在直线产力上，变式训练2解 因为“2二冬所以,即小二%，因此"2 =2b2 ,从而尸2(瓦。),F式小b,0) r 于是巾b - /? = F2F4 二十-1 ,所以 /? = 1 t a2 = 2.故G , G的方程分别为袅户1 ,5-V二1. (2)因A8不垂直于y轴，且过点Fi(- L0), 故可设直线AB的方程为x=my-.x = my - 1 ,由, 2得(加+ 2)2 - 2/ny -1=0.2十易知此方程的判别式大于0.设 A3 , yi) , B(X2 , yi),2m所以VI + V2 =则W,V是上述方程的两个实根,

15、-,V1V2 = -nr + 2 -，/+ 2_ 4因此x +x2 = Myi + >2)- 2二;nr + 2-2于是A8的中点为M(;, nr + 2 nr + 2故直线PQ的斜率为号，P。的方程为产-%.尸子由1得（2-加*二4,怎-八14,n所以2 - ，>0 ,且二丁，丁二十"2 - nr2 - nr从而 PQ = 2yjx2+y2 = 2-nr + 42 - ，设点A到直线PQ的距离为d , 则点B到直线PQ的距离也为d ,mx 十 2yd + ntX2 + 2y2I所以2d =%、 yjnr + 4因为点A , B在直线mx + 2y=0的异侧，所以(加Xi

16、 + 2yi)(/w.¥2 + 2”)<0 ,于是 l?xi + 2yli + mx2 + 2y?l=l/n.ri + 2yi - mx2 - 2y,从而2cl =(nr + 2)lyi - ”1，n2 + 4又因为1户-”二 N(y + yz)2 - 4yyi2吸1+加m2 + 212x/2a/1 +/n2 广故四边形APBQ的面积S = 5,PQ 2d = 一件二2，5 - m2而0<2 - 尸W2 ,故当，二。时，S取得最小值2.综上所述，四边形AP3。面积的最小值为2.例3解（1）因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,产-2-所以江2,xlc2 - a2所以二2 ,

17、故c二小a ,从而双曲线E的离心率e=彳二小.(2)方法一 由(1)知，双曲线上的方程为5 -g=1.设直线I与a轴相交于点C.当ILx轴时，若直线/与双曲线E有且只有一个公共点，贝！I OC = a , AB = 4a.又因为048的面积为8 ,所以;OCA8 = 8 ,因此;= 8 ,解得u = 2 , 此时双曲线E的方程为?-第二1.若存在满足条件的双曲线E .则E的方程只能为:那1.以下证明：当直线/不与x轴垂直时， 双曲线E ： ?4二1也满足条件.设直线I的方程为y = kx + m ,依题意， 彳导 >2 或 kv-2,贝 UC(-£,0).记 A3 , .V1)

18、，仇必，yi) .y二日十利,22i 得“m'同理得"二百 由 SoAB = OC-y -竺1 ,得2m2 + k即 m2 = 414 - k2 = 4伏2 - 4).y = kx + m , 由/ V "16=1，得(4 -标)/-2hnx-m2- 16 = 0.因为 4 - k2<0 ,所以 A = 4Mm2 + 4(4 - k2)(m2 + 16)=-16(4R - ni2 - 16).又因为 m2 = 4(k2 - 4),所以:0 ,即/与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与I有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为、- 5二L 方法二 由知，

19、双曲线E的方程为5/二1.设直线 I 的方程为 X 二r 十，,A(xi , >' ) , B(x2 , V2).依题意得-x = my + t f力由得乃二v = 2x r1 - 2m-2f同理，得V二二一.1 + 2m设直线/与X轴相交于点C ,则C(t0). 由 S30AB - oc y - pl = 8 ,得所以尸二 411 -43|二4(1 -4，).x = my +1 ,得（4r-l）v2 + 4（产-a2） = 0.因为4皿2 - 1<0 ,直线/与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当二64加平-16（4加2 - 1）（产 -a?) = 0 ,即 4m2a2 +

20、 t2-a2 = 0 r即 4m2a2 + 4(1 - 4m2) - a2 = 0 f因此，存在总与/有且只有一个公共点的双曲线E , 且E的方程为? 4=1.变式训练3坐由1解析 双曲募-/ 1的渐近线方程为y=A-bm3h - aba + 3”y=力，由x - 3y 十7 二 0所以AB的中点C的坐标为（产一，3边9/?" - cr 9tr - a设直线 I ： x - 3y + m = 0(机WO),因为以二尸8,所以尸CLL 所以丘二-3,化简得“2二4户在双曲线中,c2 = a2 + lr = 5b2 , 所以M二坐 常考题型精练百度文库让每个人平等地提升自我1 .(一孝,

21、切解析 由题意知a = y(2 , b= , c = y3 ,Q(小，0) , R(小，0),：.MF1 = (-木 70 , - yo) , MF?二(4 - Xo , - yo).9：MFvMF2<0 ,(-小-xo)(V3 -刈)十 W<0 ,即扁-3十.vo<O.点Mxo,yo)在双曲线上，Ay - M= 1 ,即需=2 + 2v8 ,:.2 + 2网-3 +)衣0 , /. - ¥<泗乎.2 .sinW + cosW isin2 十 sin?a an?。解析 双曲线a：片二cosW 二五石，双曲线02：4二 后两二1十taife二cos2 '

22、G ,。2的离心率相等.3Hl,5 4 1解析V双曲线a-p=l的渐近线方程为y=±7 ,圆C的标准方程为(X - 3)2+V = 4 ,，圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C相切，即直线bx - ay = 0与圆C相切，； / /= 2 / 二 5b2 - 4tyj a2 + b2又,官-*1的右焦点F2(ja2 + b2 , 0)为圆心C(3.0),由得屏=5 ,济=4.双曲线的标准方程为5-7=1.4 .r+炉一 10x+9=020 解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4.r - 3y = 0的距离J = y = 4 ,所以所求的圆是圆心坐标为(5.0),半径为4的圆.即圆的方

23、程为+ /- 10x+9 = 0.5 .竽或2解析 由题意，可知双曲线5-£二1的渐近线的倾斜角为30。或60。，贝心二专或小.6 .建解析 取双曲线的渐近线)，=，则过F2与渐近线垂直的直线方程为。，可解得 点H的坐标为仁，则的中点M的坐标为I匕产，羽，代入双曲线方程捻-p = (2 + c2)271可得-篝二L整理得/=2，产，即可得弋二迎7 . =1解析 由 二 8x,2P=8 , = 4 ,.其准线方程为工二-2 ,即双曲线的左焦点为(-2,0) , c = 2,又 e = 2 , *.a - 1 , b1 = c2 - a2 = 3 ,故双曲线的方程为F-二L J8 .73+1解析 设以FiF2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M ,则在RtAMFjFz中,可得FE = 2c , MFi = <3c , MFi = c ,由双曲线的定义有MFx - MFi二”,即5c - c二2,，所以 c 7双曲线。的离心率二点十1.“小-19. (2, +8)18百度文库让每个人平等地提升自我AT*h 一h解析 双曲线a -*1 30 ,，>0)的渐近线方程为y = A,设直线方程为V=加-C),与)， 二-3联立求得加右，-给，因为M在圆外,所