第一章 随机信号分析基础

1、信号处理基础信号处理基础硕士研究生硕士研究生2014级理论教学教案级理论教学教案 主讲教师：林金朝主讲教师：林金朝 教授教授 电子邮件：电子邮件：第一章第一章 随机信号分析随机信号分析u随机变量及其特征u随机过程及其统计特性u平稳及各态历经信号u随机信号的相关性与功率谱u时间序列及其模型随机变量及其随机变量及其特征特征0011021iiipp0001 .( )1,()0;2 .( )( )( );3 .( )FFF bF aP aXbF x 的图形呈非降型的阶梯状。000( )()0 (0,1,2,) ()(0,1,1)1 .()0 2 .()mmn mnnmmn mnmmBinomial D

2、istributionXXmmnXmP XmCpqp qpqP XmP XmCpq(1) 两种最常见的离散随机变量（分布）：二项分布随机变量的取值为 或有限正整数，即：的概率为：显然有，0()1nnpq00002( )()0 (0,1,2,) ()(0)!1 .()0 2 .()1!mmmmPoisson distributionXXmmXmP XmemP XmP Xmeeem( ) 泊松分布随机变量的取值为 或无限正整数，即：的概率为：为模型参数，显然有， ( )( )( )xF xp Xxp x dxp xX式中，为连续随机变量 的概率密度函数。概率密度函数的性质概率密度函数的性质：210

3、001201 .( )0;2 .( )()13 . ( )4 .( )( )( ( )( )xxp xxp x dxFP xXxp x dxF xp xF xp x 是的一个原函数常见的连续随机变量及其概率密度函数常见的连续随机变量及其概率密度函数：(1)( ) , ,1 ( )0 Uniform DistributionXa baxbp xbaothers均匀分布:连续随机变量 的取值 范围充满且在区间内每处的概率密度函数相同：2222(2)()(/ )()1 ( )01(0,1)ex22pxxxxxxxNormal Gaussian DistributiomNnxmp xm高斯分布 正态分

4、布一种最常见、最重要的连续分布。其中，和为当和均值和方差。时，记为标准正态分布。1(3)()0 ( )0 1 0 2 qqxWeibullq xexp xxqqq 韦布尔分布其中， 和 为常数（模型参数）指数分布瑞利分布22222(4)( ) ( )(0)4 ,var()22xxxxxxxRayleigh Distributionxp xexmX瑞利分布单参数（）模型。22(5)()log ()1( )exp2()2lnxxbxmLogarithmic Normal DistributionXcxcp xxcb对数正态分布随机变量 与一个常数 的差的对数值服从正态分布：3、二维随机变量及其分布

5、2222 ( )( )(, ) ( , )(,)( , ) (, )( ( ,), )ESXXYYSX YF x yX YX YP Xx YyF x ypx yxx yy 设随机试验 的样本空间为；、是的联合分布函数：的联合二维定义在 上的随机变量，则称联合概率密度函数是任意实概率密度函为二维随机数变量。数：的二元函数。二维联合概率密度的性质：二维联合概率密度的性质：020221 .( , )0;2 .( , )( , )xypx yF x ypx y dxdy 022023 ( )( , ) ( )( , )4 . ( )( , ) xyF xdxpx y dyF ydypx y dxp x

6、px y dy边缘分布变为一维分布函数，满足：二维概率密度函数包含一维概率密度函数的信息：2 ( )( , )p ypx y dx二维和二维和n维联合概率密度函数（以正态分布为例）：维联合概率密度函数（以正态分布为例）：22222222 ()()()()11( , )exp2(1)21xyyxxxyyxyr xmymymxmp x yrr 2121211221212120 ( , )( ) ( )( )( )(,)( ,),( ,)( ,)xyxynnnnnnnnnnmmrrpx yp x p yp xp ynXXXF x xxP Xx XxXxF x xxpx xxx xXY 其中，、和 为

7、常数（模型参数）。当时，有和为一维正态分布的概率密度函数。， 维随机变量的联合分布函数和联合概率密度函推和 统计独立数：而广之1212( ,)() ()()nnnnxpx xxp x p xp x统计独立二、随机变量的数字特征用概率分布描述随机变量，尽管完整，但很困难。需要通过其数字特征进行描述：u数学期望（统计平均值、均值）；u方差；u各阶矩。、数学期望（一阶矩）1 () ( )xkkkxE Xmx pE Xmxp x dx离散随机变量：按概率加权统计平均连续随机变量：.3.2.1 000YEXEXYEYXYEXEYXEXbEbXE统计独立，则和若主要性质：、方差（二阶中心矩）2122222

8、 () () ()( ) () kkkxxD XxE XpD XE Xmxmp x dxD XEXE XE XEX离散随机变量：连续随机变量：显然，00201 . 0 2 . 3 . D bbD bXb D XXYD XYD XD Y主要性质：为常数若 和 统计独立，则、各阶矩), 2 , 1( )()()( )( ), 2 , 1( )( 11kdxxpmxpmxmXEkkdxxpxpxXEmkkxiikxikxkkiikikk阶中心距：阶原点距：), 2 , 1,( )()(),( :)(), 2 , 1,( ),( :)(jimYmXEjijiYXjiYXEjimjiYXjyixxyji

9、xy阶混合中心距的和阶混合原点距的和22 1 ()() ()() () () xyxyxyxyxyxyxyxyijE XmYmrE XmYmrE XmE YmXY 特别地， 当时， 有协方差归一化协方差 ：归一化协方差也称为 和 的相关系数。00001 .12 .0 03 .0 1 1 4 .0 1 xyxyxyxyrXYrXYrXYE XYXYXYrXYXY关于随机变量的相关系数：；若 与 统计独立，则与 不相关；但注意： “”是 与 统计独立的必要条件。若， 则称 与 正交；与 以概率 线性相关与线性无关与 以一定概率相关4、协方差矩阵112212122111121222121222()

10、()()()() () xxxxxxXXE XmE XmXmE XmXmE Xm随机变量和存在四种二阶中心矩：nnn2n12n22211n1211ij2221121121 ), 2 , 1,( )( 阵：维随机变量的协方差矩维：矩阵形式可推广到随机变量间的协方差和的协方差矩阵：和nnjimxmxEnXXjjii)()()()( )( , 222112222112112121212121mXEmXmXEmXmXEmXEmXmXEXXmmmXXXTXXXXTT，则的协方差矩阵为和记列矢量学期望为矢量形式：记二维随机变量及其数)()()()( )( , 211112112121nnnnnnTXXTn

11、TnmXEmXmXEmXmXEmXEmXmXEmmmmXXXXn表示为：其协方差矩阵维随机矢量：同理，对于三、随机变量的变换1、一维随机变量之间的变换)()( )()()()( )()( )(.1)( 0yhpdydxypYhXXgYxpdydxypYdyypdxxpgXgYXY，则，且概率密度函数非负的反函数为再考虑的概率密度为随机变量为单值函数变换，则有若讨论：关系：之间存在以下函数变换和设随机变量011221122112212 .()()() () ( )()()()( )( ) ( )gYydyXxdxxdxp y dyp x dxp x dxYg XXh YXh Ydxp yp hd

12、y若为多值函数变换，则 落在小区间的概率与 落在多个小区间、 相对应，于是再考虑多值函数的反函数为、 ，且概率密度函数非负，则212( )( )dxyp hydyydydxdydxypypxpyyhxyyhxXYYxxpXXYXYxx21)()()( )()( )2exp(21)( 和 2122112222解：的概率密度函数。求即为正态分布随机变量，的变换关系为随机变量：例题分布。服从具有单个自由度的随机变量22121)0( )2exp(21 )(1 )(2 )()()( Yyyyypyypdydxdydxypdydxypypxxy2、二维及多维随机变量之间的变换有，由：的反函数也为单值函数和

13、关系：，且具有单值函数变换设二维随机变量 ),(),()()( )()()()( 21212212122122211121212221112121dxdxxxPdydyyyP,YYhX,YYhXgg,XXgY,XXgY,YY,XX变换行列式式中，Jacobianyhyhyhyhyyxxyyxxyyhyyhpyyxxxxpyyp ),(),( ),(),(),(),( ),(),(),(),( 221221112121212121221122121212212),(),(),(,),(),(),(),(),(),(21212121221121212121nnnnnnnnnnnnnyyyxxxyy

14、yhyyyhyyyhpyyyxxxxxxpyyypn维随机变量的变换：推广到将二维随机变量的变换nnnnnnnnyhyhyhyhyhyhyhyhyhyyyxxxJ2122212121112121),(),(四、随机变量的特征函数1、问题的提出000123N随机变量的变换复杂，分析困难；个独立随机变量求和的统计特性难以获得；求随机变量的高阶矩时，需要求概率密度函数的积分。12 ( )kj xj XXkkCE eep、定义离散随机变量： ( )cossin ( )j XXj xCE eEXjXep x dx连续随机变量：00012( )( )()1 ( )( )23 () j XXj xXXeXC

15、p xp xCedYg X显然：的特征函数是随机变量的数学期望；连续随机变量 的特征函数傅氏变换对 ；方便随机变量变换后新的随机变量概率密度函数的求取：()( ) ( )()( )1 ( )( )2j Yj g Xj g xYjyYCE eE eep x dxp yCedsin-sin2 2 C ( )( )1 ( ),(-)22 arj YjxYXYXE eep x dxp xxx 例题为， 上的均匀分布随机变量，求的概率密度函数。解：212211csin( 11)111 C ( )( )(1)11jyYydxdyyyedyp yyyy 0031( ) ( )1(0) ( )(0)=12()

16、Xj Xj XXXXXCCE eE eECCCYg XaXb、特征函数的性质总存在且有界， 即或设，则01221212112212 ( )()3 ( ,)() ()( )()( )() j bYXCCaeXXpx xp x p xCp xCp xYXX设和统计独立，即而，则对于有121200121121 ( )( )( ) ( )()()43 ( )( )( )( )( )YnnkknYnkkCCCp yp xp xnXXXYXCCCCC显然，将性质 推广到 个统计独立的随机变量、，设，则212122221011 ()exp()22 ( )()exp()(1,2,)2knxnkkkxxj xx

17、kkknkkXXXXXnxp xnCep x dxknYXC 例题设、为统计独立的正态分布随机变量，均值为 ，方差为，求它们算术平均的概率密度函数。解：由题设，个随机变量的特征函数为：设，则22122222( )( )exp()21( )()exp()20() () exp()22knxxYkkxxYXxnCXYCCnnnXnnpXnxx 而即，也是正态分布的随机变量，均值为 ，方差为明显变小的概率密度函数为：004( )( )( ) ( )( )( )( )( )() ( )=0j xXj xXXkkkkXkXCep x dxdCjxep x dxddCjxp x dxE Xdd CE Xx

18、 p x dxjdkCTay 、特征函数与原点矩的关系对特征函数求 的1阶导数有于是，同理，将在点矩阶点处原原矩000( )() ( )!kkkkXXkkklord CjCE Xkdk级数展开，可得特征函数与原点矩的关系：222222102222222002222222(0,)( )exp()22()exp()022( )()exp()22 exp()exp(22xxXxxxXxxxxxxXNXCE Xjd CE Xjd 例题设，求 的各阶矩。解：，则一阶矩：二阶矩：20344)2=0=31,3,5,(1) 0 xxkxkE XE XkkkE Xk三阶矩：四阶矩：为偶数阶矩：为奇数11221

19、12 212212121221212125( ,) (,)( ,) jXjXjxjxXXpx xCE epx xFourieredx dxXX 、多维随机变量的特征函数首先分析二维随机变量和。设它们的联合概率密度函数为，则二维特征函数定义为：和的二维变换联合概率1 12 21212212121212201212121122012121210(,)1 ( ,)(,)(2 )1 .(,)()()2 .(,)(,)(3 .jxjxCpx xCeddXXCCFourCCrCie 密度函数可由的得到：二维特征函数的性质：和统计独立的充要条件为：；在平面上一直连续；二维特征函数表征了一维特征函数：逆变换1

20、12122122)(,0)()(0,)CCC2211122212121212121222111122222221122(,)(,)(,)1( ,)21()2 ()()()1 exp2(1)XN mXN mrCpFourierpx xrxmr xmxmxmr 例如：正态随机变量，它们的归一化相关系数为 ，则它们的二维特征函数可直接通过求二维联合概率密度的变换得到。222212121111121222222211222222112212121 (,)exp(2)2(0,)(0,) (,)exp()2CjmrjmXNXNrC 若，且统计独立（ =0），则11221212121212121 12(,)

21、( ,)(,)( ,)(,)( ,) exp(nnnnnnnnnjXjXjXnnnnnnX XXp x xxnCp x xxFourierCE ep x xxjxjx 一般情况下， 维随机变量的联合概率密度为，其 维特征函数与是一对变换对：21212121 12212)1( ,)(,)(2 ) exp()nnnnnnnnnnnnjx dxdxdxp x xxCjxjxjx ddd 第一章第一章 随机信号分析随机信号分析u随机变量及其特征u随机过程及其统计特性u平稳及各态历经信号u随机信号的相关性与功率谱u时间序列及其模型随机信号（过程）u随机信号的概率密度函数和相关函数；u平稳随机过程的集平均

22、和时间平均；u随机过程的各态历经性；u随机信号的频域分析方法功率谱密度函数1、随机过程的定义及统计特性信号是时间的函数；确定信号：随时间的变化规律确定，任何时刻大小可知；信号随机信号：变化呈统计特性，采用统计的方法分析变化；常见的随机信号：语音、视频、数据、业务量、医学信号等。1( )x t2( )x t( )nx t1t1t1tmtmtmtttt( )nx t例如， 部性能相同的接收机上电后无输入时的输出噪声电压：12( )( ) (1,2, ) ( )( ) (1,2, )( ), ,( )(1,2,)kkmpnX tnx tknX tx tknX tmt ttX ttpm上图中， 个输出

23、中的任何一个均与其它输出不同，它们呈现随机性。：设用表示所有 个输出的集合，则定义为随机过程；：为随机过程的样本函数；：设在 个时刻对的各样本函数进行均匀采样， 随机过程样本函数状态 则任意时刻的1200( ),( ),( ) (1,2,) ( )()( )(1,2,)1 .(1,2,)2 .(1,2,)( )ppnppppppx tx tx tpmX tX ttX tXpmXpmmmXpmX t样本采样值： 称为的一个状态。记为： 。是随机变量（共 个）；显然， 若 足够大，则可精确描述。随机过程的分类：连续型随机过程(状态和时间均连续)离散型随机过程(状态离散、时间连续，如脉冲信号)随机过

24、程连续型随机序列(状态连续、时间离散，如抽样值)离散型随机序列(状态和时间均离散，如A/D后的数字序列)(1,2,) (1,2,) ( )pppntpmXmXpmX t 随机过程的统计分析方法：若，即样本函数足够多，则任意时刻采样后形成的状态为一连续随机变量；若，即采样间隔足够小，则可精确描述随机过程。也就是说，随机过程兼有随机变量和时间函数的双重特性，可用不同时刻采样得到的随机变量之间的统计特性进行统计分析。(1)( )( ) ()( )() () ()( )( , ) ( , )pppppppppXX tX tXF xP X txdF xp xdxF x tP X txF x tp x t

25、x时间的函一维概率分布函数和概率密度函数设是的一个状态，且连续，则概率分布函数：概率密度函数：将其推广到整个时间轴：概率分布函数：,概率密数时度函数：间的函数121122(2)( )( )( )ttX tXX tXX t二维及多维概率分布函数和概率密度函数设在 和 时刻采样得到的两个状态，形成两个随机变量、，并假设它们连续，则：12121122121212121212121122( , , ),( , , ) , , (1,2,)( )( )( , ,),pppmmmmF x x t tP Xx XxF x x t tp x x t tx xmtpmX tmmXX tmF x xxt ttP

26、Xx XxXxm 二维联合分布函数：二维联合概率密度函数：个时刻采样得到的 个状态，形成 个随机变量，设其连续，则有维联合分布函数：，二维联合概1212121212( , ,)( , ,)mmmmmF x xxt ttp x xxt ttx xx 率密度函数：，说明：工程中的随机信号视为平稳和各态历经，仅考虑二维。2、随机过程的数字特征u数学期望；u方差；u自相关函数；u自协方差函数。计算方法与分析随机变量相似，不同点是时间的函数。(1) ( )( )( , )( )( )()( )( )xxxE X tm txp x t dxm tX tX tm t数学期望：是随机过程的样本集合在时间上的统

27、计平均 集平均 ，随机过程以为中心上下起伏。以噪声电压为例，数学期望表示该电压的直流分量。22222121212121212(2) ( )( )( )( )( )( , )( )( )( )( )(3) ( , )( )( )( , , )xxxxxxxD X ttEX tm txm tp x t dxtX tm ttR t tE X t X tx x p x x t t dx dx方差：描述及其样本函数偏离均值的程度，以噪声电压为例，表示该电压瞬时噪声分量消耗在单位电阻上的瞬时功率的集平均。自相关函数：1212121212121212( , )( )(4)( , ,)( )( )()( ,

28、,)xxmmmmmmmR t tX tttmMt ttE X t X tX tx xx p x xxt ttdx dxdx 重描述在时刻 和 之间的关联程度。阶原点矩：12112212121212(4) ( , )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( , )( )( )xxxxxxxCov t tEX tm tX tm tE X t X tm t m tR t tm t m tCov显然，均值为随机过程的一阶原点矩，自相关函数为二阶原点矩。自协方差函数：1212012121122120121201212( , )( , )1( , , )( , ) (, )( )( ) 2(

29、 , )0( )3( , )0( )xxt tR t tp x x t tp x t p x tX tX tR t tX tttCov t tX ttt与无本质区别。几个重要的概念：与统计独立；在时刻 和 相互正交；在时刻 和 互不相关。( )1212 ( , )()1 ( , )( , )2 ( , )()(1,2,)( )(,; , ,) j X tj xxj xxxpxmmCtE eep x,t dxp x tCt edCtp x,tmtpmX tCt ttE 定义：推广至 维的情况：时刻的状态：11221 12 2( )()()()1212121212 ( ,; , ,)( ,; ,

30、,)1 (2 )mmm mjX tjX tjX tjxjxjxmmmmmmmeep x xxt ttdx dxdxp x xxt tt 1 12 2()121212 (,; , ,)m mjxjxjxmxmmmeCt ttddd 3、随机过程的特征函数随机过程X(t)统计特性的矩阵表达121212121212( )(1, 2,) (,;,)(,)( ) ()(1, 2,) pTmmmmTmTxmppX tmXpmXXXXp xxxtttp xxxp xxxxxmmmmmm tpm设 随 机 过 程在个 时 刻 的 状 态 为， 则状 态 的 矩 阵 形 式：概 率 密 度 函 数 的：式 中

31、，均 值 的 矩 阵 形 式：式 中 ，方 差 的 矩 阵 形 式：矩 阵 形 式2221222 ()(1, 2,) TxmpxpTxtpmRE XX式 中 ，自 相 关 矩 阵：), 2 , 1,(),( )( ), 2 , 1,(),( 212222111211212222111211mjittCovmXmXEmjittRrrrrrrrrrrjiijmmmmmmTxxXjixijmmmmmm式中，：自协方差矩阵式中，)()(.3),;,( ),;,(),(.2),()(),()(.1 ),;,()( 00212121221212121210021212121BCCXBYttCdxdxttx

32、xpxxttRtCjdxtxpxtXEtttCCXYxxnxnnnnTmmmxX 特征函数的主要性质：式中，：特征函数的矩阵形式1221 2222( )(1,2,),()1( )exp(2 )2 1( )exp()2TpmxxxxxxXXXX tmXpmXXXXxmp xCjmp 例如，正态分布的随机变量 和高斯随机过程的 个状态随机变量构成的随机矢量之间的概率密度函数和特征函数比较：概率密度：特征随机变函数：概率随机矢量密度：量11 2211( )exp()()2(2 )1( )exp()2TxxxmxTTxxXxxmxmCjm 特征函数：第一章第一章 随机信号分析随机信号分析u随机变量及其

33、特征u随机过程及其统计特性u平稳及各态历经信号u随机信号的相关性与功率谱u时间序列及其模型12121212121212( )1( ,; , ,)( ,;,)( ,; , ,)( ,mmmmmmX tmtF x xxt ttF x xxtttp x xxt ttp x x一、平稳随机过程定义：随机过程的维联合概率分布函数或联合概率密度函数 与时间 的起始位置无关，或随机过程的统计特性不随时间 的平移而变化。分类：狭义平稳随机过程、广义平稳随机过程、狭义平稳（严平稳）随机过程1212121221121212122112,;,)( , )( ,)( )( , )( ,)( )( ,; , )( ,;

34、0,)( ,; )( ,; , )( ,;0,)( ,; )mmxtttF x tF x tF xp x tp x tp xF x x t tF x xttF x xp x x t tp x xttp x x对于一维的情况：对于二维的情况：2221212121212( )( )( , )( )( )( )( , )( )( , )( ,; , ) xxxxxX tE X txp x t dxxp x dxmD X txm tp x t dxxmp x dxR t tx x p x x t t dx dx 严平稳随机过程的数字特征：均值：方差：自相关函数：121212002012 ( ,; )(

35、 )21 .( )( )2 .( )( )3 .( , )( )xxxxx x p x xdx dxRE X tmX tE XtX tR t tR 、广义平稳随机过程常数设满足：，则称是广义平稳的。这三个条件在工程上直接用于判断随机过程的平稳性。0002002202202( )cos(),0 2 cos()1cos()02cos () ( ) cos222( )(X tAtAE AtAtdE AtAAE X tE XtEt例题 ： 判断随机相位信号的平稳性， 其中，为常数， 为 ， 上的均匀分布。解： 常数 122220 10 2012202102) ( )( )1 cos()cos()2 c

36、os()cos22( , )( )xxE X t XtAttdAAttX tR t tR 随机相位信号是广义平稳的，简称平稳的。00012121122121 ( )( )1 .2 .3 .( )( ) ( )( , ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (sX tY tS tX t Y tR t tE S t S tE X t Y t X t Y tE X t X tE Y t Y t例题设和是统计独立的平稳随机过程，判断：它们乘积的自相关函数等于各自自相关函数的乘积；它们乘积的均值等于各自均值的乘积；它们的乘积也是一个平稳随机过程。解： 设，则02022222

37、20) 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ( )3)( )xyxysRRmE S tE X t Y tE X t E Y tE StE Xt YtE Xt ERYtm 综上，常数( )( )X tX t二、各态历经随机过程问题的提出：集平均是随机过程样本采样值的一种 统计平均，需要的样本函数数量大， 工程意义不大。若能找到一个能包含 随机过程全部可能信息的样本函数， 研究样本函数可代替研究。定义：对于观测时间足够长的平稳随机过程的一个 样本函数的时间平均，若以概率意义趋于该 平稳过程的集平均，则称该平稳过程为各态历经 随机过程，或称该平稳过程具 用时间平均

38、代替统计平均是讨论各有各态态历经历经型或遍历性。性的主要目的。00( )02200011( )lim( )1 lim ( )1( )lim( ) ()TxTX tTxxTTxTx tx tdtmTx tmdtTRx t x tdtT的样本、时间平均：1 .时间均值：2 .时间方差：3 .时间自相关函数：00( )110211 .( )lim( ) 2 .( )( )()( )( ) TxxTX txxmE X tmx tdtTRE X t X tRX t的样本以概率以概率、广义各态历经随机过程：定义：若随机过程是广义平稳的，且其均值和自相关函数具有各态历经性，则称该随机过程为广义各态历经随机过

39、程，均值各态历经自相关函 简称各态数各态历经历经随机过程。注：u各态历经随机过程一定是平稳随机过程；u平稳性仅是各态历经随机过程的必要条件。202200311“”“”1 lim( )( )011lim( )( )lim ( )1 limTTTTxTTTTEx t dtE X tTEx t dtE X tEx tm dtTTT、关于以概率 成立的含义以概率成立就是在 无限增大时，平稳随机过程的集平均 和 时间平均 之差在均方意义下等于零：而，121212200=2000 ( ) ( )11 lim( )lim( )0TTxxttTTTTTEx tmx tmdt dtdtCovdCovdTT 22

40、2 ( )cos() ( )1 2( )cos() cos()0( ,)( )()cos()cos()11 cos(22 )cos cos( )222xxX tAtApE X tE AtE A EtR t tE X t X tE AttE AE A EtRE例题讨论随机幅度和相位过程的各态历经性，和 统计独立，。集平均：2022022( )( )limcos()0( )limcos()cos()cos2( )cos( )cos2)2( )TxTTxXxxtTXXtmAtdtARAttdtE AARRX tt 是平稳随机过程时间平均：显然，与不以概率1相等，即不是各态仅当的幅度确定时历经的，才各

41、随机过程。态历经。第一章第一章 随机信号分析随机信号分析u随机变量及其特征u随机过程及其统计特性u平稳及各态历经信号u随机信号的相关性与功率谱u时间序列及其模型121212020021( )( )()( ,; ) 1 .(0)( )0 2 .( )()( )() 3 .(0)( )( )() 0 xxxxxxRE X t X tx x p x xdx dxRE XtRRCovCovRRE X tX tE 、自相关函数 定义： 主要性质：功率为非负；同理，；事实上，由，有220( )()2 ( )() 2(0)2( )0(0)( )(0)( ) 4 .( )()( )()xxxxTxxXtE X

42、tE X t X tRRRRCovCovX tX tTRRT为周期即：同理：012i=11i=11i=115 .( ), ,( ) () ( ) ( )0 () ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) xmmmxijijjmmmmxijijijijjjRt ttg tR ttg t g tR ttg t g tE X t X tg t g t对于任意时刻和任意函数，有事实上，i=112i=10( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )06 .( )() limmmiijjjmiiEX t g tX tg tEX t g tX tX t 若非周期平稳过程与其时延过程在时统计独立，则22(

43、)lim( )lim( )()lim( )() lim( )0 xxxxRmRE X t X tE X tX tmCov事实上，同理，0222222207 .( )( )( )( )(0)(0)( )(0)( )8 .( ) ( )0()xxxxxxxxxxxxxxjxCovRmRCovmCovRmRmRRRRed 或 ；的傅氏变换：非负22000002( )( )( )( )( )0()5%xxxxxxxRRCovrrr 、相关函数与相关时间相关函数： 归一化自相关函数或标准自协方差函数。，表明平稳随机过程采样间隔度够大，则状态不相关。相关时间 ：当相关函数满足时，为相关时间。：越小，过程变

44、化越剧烈的物理，反之意义，在于越缓慢。021212121231 .( , ; , )( ,; , ,;,n mnnpx y t tpx xx t tty yy、平稳过程的互相关函数问题的提出：有的工程问题，如信号检测、系统辨识等，不仅要 研究系统输入和输出过程各自的统计特性，而且需 同时研究它们之间的联合概率密度函数及相互关联特性。(1) 相互统计特性的表示联合概率密度函数： 二维： 多维：120001212; , ,)2 .1 ( )lim( ) ()( )( )1( )( )3 .( , )( ) ( )( )mmTxyTxyxyxyxyxyxyxt ttRx t y tdtTRRX tY

45、 tCovt tEX tmY tmRm mCov时间互相关函数：若与依概率相等，则和的互相关具有各态历经性。互协方差函数： ( )y012220204 .( )( , )( )1 .( )( ) ( , )( ) ( ); ( ); ( )0;2 .( )( )xyxyxyxyxyxyxyxyxyCovrt trX tY tpx yp x p yRm mCovRCov 互相关系数： 利用上述的定义，在特定条件下有以下几个重要结论：和统计独立，则当常数，且0210( )( )( )( )3 .( )0( )( )( )xyxyxyX tY tX tY tttRCovm mX tY t 时，和互不

46、相关；和不相关是统计独立的必要条件，高斯过程除外若,有,或,则和正交。0022222222.( )()( )( ) () ()( )().( )(0)(0)( )+() 0( )(0)2( ) ()() (0)(xyxyyxxyyxxyxyyxRRRE X t Y tE Y tX tRRRRE X tY tE XtX t Y tYtE XtRE YR（ ）互相关函数的主要性质1事实上，2事实上，构造不等式：对于，有：22222) 2( ) () (0)2( )(0)0( )(0)( )2( )( ) (0)(0)0(0)(0)(0) ( )(0)(0)( )(0)(0)yxyxxyyxyxyx

47、yxxyyyxyxyxyxytE X t Y tRRRRRRRRRRRRRRRRRRR 当时，有作业作业1：请证明：请证明22220 ( )( ) ( )( )13 .2( )(0)(0)(0)0(0)01 (0)(0)(0)(0)(2xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyCovCovrrRRRRRRRRRR 同理，于是有事实上，任意正数的算术平均大于等于它们的几何平均，而，于是有)2( )(0)(0)xyxyRRR故： 20 ( )( )exp()( )cos()( )( )( )( )( )( )nN tRBBX tAtN tN tY tX tN tY t例题已知零均值高斯噪声的

48、自相关函数，和 为常数。设随机幅度和相位信号和互不相关，但传输时与叠加合成随机过程，求的自相关函数。220( )( )( )()() ( )()( ) () ( ) ()( )() ( )( )1 cosex2yxnREX tN tX tN tE X t X tE X t E N tE N t E X tE N t N tRRE AB 解：p()( )( )( ) yxY tRR 即的自相关函数是两个叠加输时间间隔足够大入分量自相关函数的输出自相关与噪的叠加声信。当时，号无关。041()()()()122 ( )jntpnnnFourierCooleyTukeyFFTfta ea、平稳过程的功

49、率谱密度和互功率谱密度（）问题的提出法国科学家傅里叶： 傅氏级数、傅氏变换美国科学家库利和图基：快速傅氏变换问题 ：能否用傅里叶方法研究随机信号？问题 ：随机信号频域分析方法的特征？（ ）平稳过程的功率谱密度函数周期确定信号的傅氏级数（满足狄里赫条件）：001( )1 ( )( )( )( )2Tjntpj tj tft edtTFf t edtf tFed非周期确定信号的傅氏变换（满足能量有限条件）：20( )1 lim( )(,)2 2( ) TTTx tPx tdtTT TTx t 但是，对于平稳随机信号，因能量无限，不能直接进行傅氏变换。于是，考虑从功率分布的角度进行频域分析。设平稳过

50、程的一个样本函数为，其时间平均功率有限：将平稳过程的样本函数截短，时间间隔为，长度为 ，表示为：( ) ( )20 lim( )( )( )( )( )( )TTTTTTTTx ttx tothersx tx tx tXx tX显然，。设和为傅氏变换对（），则22222222 ( )( )( )1 ( )( )21( )( )( )2( )1 lim( )lTj tj tTTTj tTTTTTTTTTXx t edtx t edtx tXedx tdtx tdtXdx tPx tdtT考虑到：样本函数的平均功率为：22( )11im( )21 ( )21( )lim( )( )( ): ( )

51、( )()TTxTxTTTxxxTXdTSdSXTX tStE Sx样本的功式中，对样本功率谱密度取集平均，可得的功率谱密度S双边率谱度。功率谱密22( ) 0 ( ) ()0 others( ) ( )( )11 ( )lim( ) limxxxxxTTTSGX tRSSEXEXTT单边功率谱的自相关函数与双边功率谱是傅氏变换对：事实上，1212*2211222222()12122212( )( )1 lim( )( )1 lim ( ) ( )1 lim()TTTTj tj tTTTTTjttTTTxTXEx t edtx t edtTE x t x tedt dtTR ttT1222()

52、1222TTjttTTedt dt作业作业2：试推导：试推导1212222212121212022202-2,;,0, ,;22 22 2,- ,0,22 2221lim( )( ) ) (TTTjjxxTxTTTtt dtdt ddtTT TT TttTtTT TTTttTtReddReddTS 令在时，在时，。于是，00-1 lim()( )()( )1 lim(1)( ) lim(1)( )( )TjjxxTTTjxTTTjxjxTTTRedTRedTTRedTTRdTReed00001( )( )2(3)1 . ( )=()( )()( )2( )cos 1( )( )cos2 .jx

53、xxxxxxxxxRSedSSRRSRdRSd所以， 功率谱密度函数的主要性质偶对称性：考虑到自相关函数的偶对称性：，有非负函数2*0211 ( )lim( )( )lim( ) 03 .1( )( )( )2(0)2( )2xTTTTTjxxxxSE XXE XTTRSedSdRE Xt 特性：有限性（可积性）：00002022()()0200 ( )cos()0,2 ( )( )cos2 ( )cos24 ()()2xjjjxX tAtAX tARAASedeedA 例题已知随机相位信号， 和为常量， 为上的均匀分布。求的功率谱密度函数。解： 000( )( )( )( -)( )( )

54、( ) ()( )( -)()(-)yX tLTIY tX taX t tY tLTIRE Y t Y tEX taX t tX taX tt例题设平稳各态历经随机信号通过系统产生的输出为 ，求的功率谱密度函数。解：平稳各态历经信号通过系统的输出仍为平稳各态历经信号。2000020020 ( )()( -)(-)( -)() ( )(-) (1)( )()() ( )(1)( )()xxxyxxE X t X tE a X t tX ttE aX t tX tE aX t X ttaRaRtaRtSaRaRta000220() (1)( )( )( ) (12 cos)( ) ( )( )0

55、( )jxj tj txxxxTxxRtedaSaSeaSeaat SAX tSorthersR例题 ： 已知平稳随机信号的功率谱密度函数， 求其自相关函数。解： ( ) 0sin1( )22TTxTjjTTRTnxAASeded 既有正相关，也有负相关。当时，（出现正交点）0000 ( )( )( )( )( )( )cos( )sin( )( )( )() ( )cos- ( )sin xynX tY tRRN tX ttY ttN tRE N t N tEX tt Y tt例题 设和为均值等于零的平稳随机信号，互不相关， 其相关函数。对它们进行正交幅度调制后的 信号为。 求的功率谱密度函

56、数。解：0000000000 ()cos()- ()sin() ( )coscos()( )sincos() ( )cossin()( )sinsin()( )( )( )(xyxxyyxyyxxyX ttY ttRttRttRttRttRRRR考虑到：和)0 ，有作业作业3：222*25( )( )( )( )( )( )( )( )1lim( )( )111lim( )( )lim( )( )2 TTTxyTTTTTTTTTTTTX tY tx ty tx tytx ty tPx t yt dtTParsevelx t yt dtXYdTT、平稳过程的互谱密度函数 设实平稳随机过程和的样本

57、函数为和，其截短函数为和，则样本函数和的互平均功率为：由公式有：( )( )*1 ( )21 ( )lim( )( )TxyTxyTTx tyTtSdSXYT样本和的互功率谱密度函数式中，22*( )( )1 lim( )( )11 lim( )( )21 ( )21( )lim( )TXYxyTTTTTTTxyxyTTTX tY tPE PE x t yt dtTEXYdTSdSEXYT平稳过程和的互功率为样本功率的集平均：式中，*( )( )( )1( )lim( )( )( )( )( )( ) ( )( )1( )( )2yxTTTjxyxyxyxyjxyxyX tY tSEYXY t

58、X tTSRedSRRSed为和的互谱密度。同理，为和的互谱密度。根据维纳（美）辛钦（苏）定理： ( )( ) ( )( )1( )( )2jyxyxyxyxjyxyxSRedSRRSed0000061 .( )()2 .(0)(0)3 .( )( )( )( )04 .( )( )( )( )2( )5 .( )( )RexyyxxyXYyxYXxyyxxyyxxySSRPRPX tY tSSX tY tSSm mX tY t 、互谱密度函数的主要性质反对称性：；互功率相等性：；若与正交，则；若与互不相关，则；实联合平稳过程和的互谱密度函数是复函数， 其实部为 的偶函数，虚部为 的奇函数：(

59、 )Re()Re( )Re()Im( )Im()Im( )Im()xyxyyxyxxyxyyxyxSSSSSSSS 及022 ( )( ) 0 ( )0 0,( )( ) bxyjbjxyxyX tY taeRa baSRedaeedbjabb例题 设实联合平稳过程和之间的互相关函数为： 为常数，求互谱密度函数。解：22( )xyajbS显然，的实部为偶函数，虚部为奇函数。第一章第一章 随机信号分析随机信号分析u随机变量及其特征u随机过程及其统计特性u平稳及各态历经信号u随机信号的相关性与功率谱u时间序列及其模型 1( )(1,2,)( )( )( )“”“”( )nnnnnX ttpx tX

60、 tx tx nxx、定义 时间序列又称为（即对连续平稳随机过程进行等间隔采用所得的时刻的状态所构成的时间状态序列）、（连续平稳随机过程的状态序列是连续随机变量构成的序列）。将等间隔的时刻点量化为整数，记时间序离散随机列为或，简记过程随序为机列。0002( )1 .2 .3 . xnnmnmnnnnnnnnm nE xnE xxE xE xE axaE xxyE x yE x E y、时间序列的数字特征均值： 的函数（均值序列）主要性质若 和 统计独立，则 2222222200( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )1 . 2 .xnxxxxnxxnxxxxxxxnn m