高数下册(同济六版)复习资料

1、高等数学（一）教案期末总复习第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表小向量有大小、有方向.记作a或ABa =axi+ayj+azk = (ax，ay,az) ax= prjxa,ay = prjyaa = prjza模向量a的模记作t/222a = Jax +ay +az和差c =a +bc =a bc = a + b = H ±bx, ay ±by, az ± bz单位向量八 一aa 00 ,则 e = - aaa(ax,ay,az) ea -值 +ay +az力向余弦设a与x, y, z轴的夹角分别为a, P, '<

2、 , 则方向余弦分别为 cosa, cos P, cos /cos。=ea =( co2cos a +axR aya az,cos P =,cos / = aaa)sa, cosP, cos'Ocos2P +cos2"，=1点乘（数量积）a b=a |b|cos6 ,日为向量a与b的夹角a b = axbx +avbv + azbz x xy yz z叉乘（向量积） c =aybc| = a |b sin日为向量a与b的夹角 向量c与a , b都垂直a父b =ijkaxayazbxbybz定理与公式垂直a_Lbg a b = 0a_Lbn axb+avbv +azb = 0

3、x xy yz z平行abu aMb = 0a a ax ayazabu - 一 bxbybz交角余弦一 一 ， 一一 a b两向里夹角余弦 cosH - I a baxbx+ayby + azbz co3 jJax2+a”az2 1bx2 + by2+bz2投影向量a在非prjba = a零向量b上的投影1 cos（a b） = abbaxbx +ayby +azbz 孙”+小平面亘线法向量 n =A, B,C点 Mo(Xo,yo,Z0)方问向量 T = m,n, p点 M 0(x0, y0 ,Zo)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax +By +Cz + D = 0一般式

4、<A1x+B1y+C1z + D1 = 0A2x + B2y+C2z + D2 = 0点法式A(x-Xo) +B(y yo) +C(z4) =0点向式X x0y y0Z z0mnp三点式x -X1 y -y1z-zx 2 - x1y2 y1z2 _ zlX3 X1V3 Z3 - 4=0参数式J% = x0 + mt y = y0 + nt z = z0 + pt截距式xy z .=1ab c两点式x X0 _ y-y0 _ zzoXi x 0y1 一 y。Zi zo卸回垂直A1A2 +B1B2 +C1C2 =0线线垂直mimh + nn2 + p1p2 = 0囿囿平行& = _B

5、l = C_ A2 B2 C2线线平行m=2=_p_m2 n2 p2线圆垂直ABCm n p线面平行Am + Bn +Cp = 0点面距离M o(Xo, yo ,Z0)Ax +By +Cz + D = 0向向距离Ax + By + Cz + D =0 Ax+By + Cz+D2 =0AX0 +By0 +CZ0 +Dd =D1-D2IVA2 +B2 +C2Va2 +b2 +c2向向夹角线线夹角线向夹角n1=AB,Gn2=A2,B2,C2到=叫,4, pj S2 =m2,n2, P2s =m,n, p n =A,B,Cq|A4 +BB 兄1心 |cos中m1m2 +例2 +P1P2sin* ,Am

6、 + Bn+CpCOs-1 2221 222仍 +B -+Ci 7A +B2 %2im； +n； +p；、；m； +n； +p2A2 +B2 +C2 ,Jm2 +n2 + p2空 间 曲1x =邛(t), y =w(t)， Z =Rt)，切向量T=(邛(to),中 (t0),6'(t0)切“线”方程：x-x0 .y-y0 -z-z0中'(to)(to)-(to)法平“面”方程："(to)(xx0)+W '(to)(y yo) +(y(to)(z Zo)=o（豆 <t < P）线r：切“线”方程：x-xo _ y-yo _ z-zojy = *(x)

7、切向量1(%) u(x°)|Z =W (x)T =(1，(x)N'(x)法平“面”方程：(x-x0) + 甲,(x。)(y-y0)+节 r(xo)(z-zo) = o法向量切平“面”方程：Fx(x°, yo, zo)(x x°) + Fx(x°, yo, zo)(y - y0)空F(x, y,z) =0n=( Fx(xo,yo,Zo),Fy(xo, yo,Zo),+ Fx(xo,yo,zo)(z zo) =0法”线”方程：间Fz(xo,yo,Zo)x -xoy - yoz-zo曲Fx(xo, yo, zo) Fy(xo, yo,zo)Fz(x&#

8、176;, y°,zo)面n = ( fx(xo, yo),切平“面”方程：工：-fy (x0 , y0 ) , 1 )fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo,yo)(y yo)(zzo) = 0z = f (x,y)或n =( fx(x°,yo),法”线”方程：x-xoy-yoz-zofy(xo,yo), -1)fx(xo,yo)fy(xo, yo)-1-6 -第十章重积分积分类型计算方法典型例题二重积分I =fx,y dcrD(1)利用直角坐标系b(x)X一型ff f (x, y)dxdy =dx f (x, y)dy/七,qj(x)d隼(y)丫一型H f (

9、x, y)dxdy = c dy %(y) f (x, y)dxDP141一例 1、例 3（2）利用极坐标系使用原则重积分平面薄片的质量质量=面密度黑面积（1）积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示（含圆弧，直线段）；（2）被积函数用极坐标变量表示较简单（含（x2 + y2）",为实数）I l f （: cos1, ：sin ） ： d ： d1D-2（3二.di ：（F f（：cosi, DsinD 'd：_尸=w曰）j* 一0 < - < 2 7：0- - 1 _ 2二（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论

10、）0f (x, y)对于x是奇函数，即f (-x,y)= -f (x,y)I = " 2 JJ f (x, y)dxdy f (x, y)对于 x是偶函数,Di即 f (-x,y) = f (x,y) Di是D的右半部分1 .画出积分区域2.选择坐标系标准:域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离3.确定积分次序原则:积分区域分块少，累次积分好算为妙4.确定积分限方法:图示法先积一条线，后扫积分域5.计算要简便汪思:充分利用对称性，奇偶性计算步骤及注意事项P147 例 5P141 例 2 应用该性质更方便高等数学(一)教案期末总复习-10 -(1)利用直角坐标)投影法截面

11、法bP159一例 1y2（x）Z2（x,y）投影 mf（x,y,z）dV = adxd（x）dyL（xy）f（x,y,z）dz-1,三重积分I =inf (x,y,z)dvQ空间立体物的质量质量=密度义面积x = r cos 日(2)利用柱面坐标y=rsin<31lz = z相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围：积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体2222.被积函数 用枉面坐标表示时 变量易分离.如f(x +y )f(x +z )bPr2(0JJ f (x, y, z)dV = dz ( d6 f 口 f (PcosF, Psin 8, z)PdP'a&#

12、39;a(t)QP161 例 3x = Pcos日=r sin 中 cos日 !cr(3)利用球面坐标y = PsinH = rsin中sin 8z = rcos中dv = r2sin 中drd 邛d日适用范围：积分域表面用球面坐标表示时 方程简单；如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时 变量易分离.如，f(x2+y2+z2)d Bg田2I =1 dhdj0a3 f (Psin中cos1, Psin中sin, PcosP)P sin中dPP165 10-（1）P160 例 2(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题A类曲

13、线积分I = f (x, y)ds曲形构件的质量质量二线密度黑弧长参数法(转化为定积分)(1) L:y=Wx)I = f F(t)W(t)、，e (t)+中'(t)dt(2)L :；=：(；) (a <t <P ) I = j f(x, y(x)Jl + y'2(x)dx'x=r(H)cos8(3) r = r(6) ( a <0 < P ) L :y = r(0)sin 0B.cc入门2 c20cI = (f (r(8) cos9, r(e)sine)r (6) + r' (0)d0P189-例 1P190-3平面第二类曲线积分I =

14、Pdx+Qdy变力沿曲线所做的功(1) 参数法(转化为定积分)L：x=*(t) (t单调地从口到P)y = MPPdx+Qdy = Pg W (t)怦'(t) +QP W (t)W'(t)dtP196-例 1、例2、例3、例4(2)利 条件：a d结论：C应用：用格林公式(转化为二重积分)DL封闭，分段光滑，有向(左手法则围成平面区域D)P, Q具有一阶连续偏导数-一启先, .Pdx+Qdy=仃()dxdyLD私火满足条件直接应用有瑕点，挖洞、不是封闭曲线，添加辅 助线P205例 4P214-5(1)(4)(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件： 四_ =空.Pdx+Qd

15、y=0L( Pdx +Qdy与路径无关，与起点、终点有关Pdx + Qdy具有原曲数u(x, y) (特殊路径法，偏积分法，凑微分法)P211-例 5、例6、例7(4)两类曲线积分的联系I = (Pdx+Qdy =.；(Pcosa +QcosP)ds空间第二类曲线积分I = (Pdx4Qdy+Rdz变力沿曲线所做的功(1)参数法(转化为定积分)Bpdx +Qdy+ Rdz= MP&t)W(t)声(t)H'(t) +QF(t)W (t)声芦'(t) + R(t)¥ (t),«(t)pt)dt(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)条件：L封闭，分段

16、光滑，有向P, Q, R具有一阶连续偏导数，Pdx +Qdy + Rdz结论：r乐地上印织上FQ和=H( - , )dydz+( - - - )dzdx + (一)dxdy£ Rzz. exex cyP240-例 1应用：福足条件直接应用、不是封闭曲线，添加辅 助线A类曲面积分I = 口f(x,y,z)dv曲面薄片投影法Z ： z 二= z(x, y)投影至ij xoy面P217-例 1、 例2Z 的质量 质量=向密度父面积I =fff(x,y, z)dv= f f(x, y,z(x, y)v1+z2 +z2dxdy ZD<y类似的还用投影到 yoz面和zox面的公式第二类曲面

17、积分I = fPdydzQdzdXRdxdyZ流体流向曲面一侧的流量(1)投影法® JJPdydz=土口 p(x(y,z),y,z)dydzZDyz£： z = z(x, y),丁为工的法向量与x轴的夹角前侧取 “+”，cos?>。；后侧取“cos¥<0 JQdzdx= 土 口 p(x, y(x, z), z)dzdx£Dyz£： y=y(x,z), P为Z的法向量与y轴的夹角 右侧取 “ +”，cosP a0；左侧取 “ "，cosP <0 JJQdxdy=± JJQ(x, y, z(x, y)dxdyZ

18、DyzZ： x=x(y,z), a为Z的法向量与x轴的夹角 上侧取“+”, cosa >0 ;下侧取“"，cosa <0P226-例 2(2)局 条件：a(2结论：t应用：，斯公式 右手法则取定Z的侧)£封闭，分片光滑，是所围空间闭区域 Q的外侧)P, Q, R具有一阶连续偏导数. cP cO cR仃 Pdydz + Qdzdz 十 Rdxdy= f(+)xq excy cz满足条件直接应用、不是封闭曲面，添加辅 助面P231-例 1、 例2(3)两类曲面积分之间的联系ffPdydzQdzdxRdxd/ 二爪Pcosx +QcosP +Rcos')dSEE转换投影法： dydz =(一红)dxdy dzdx =(一红)dxdy excyP228-例 3所有类型的积分：定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限；(2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；对