2015届九年级数学上册 拓展资源 与矩形相关的折叠问题 （新版）北师大版

1、与矩形相关的折叠问题在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，bc、bd为折痕，则cbd的度数为( )(a)60° (b)75° (c)90° (d)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕bc和折痕bd就充当了角平分线的角色，即abc=a/bc,ebd=e/bd。oacbed例2 如图，把一张矩形纸片

2、abcd沿bd对折，使c点落在e处，be与ad相交于点o。（1）由折叠可得bcdbed，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。（3）若ab=6,bc=8,则o点到bd的距离是 。分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰obd。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕bd可以找到obd=cbd，由于在矩形中，adbc，odb=cbd，经过等量代换obdodb，然后等角对等边ob=od。这是在矩形中折叠比较常见

3、的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。因为adbc，bcbe，因此在abo中可以设aox，则bood8x，因为ab6，即可以列勾股定理的等式：ab2ao2bo2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。例3 已知：如图，矩形aobc，以o为坐标原点，ob，oa分别在x轴、y轴上，点a坐标为（0,3），oab60°,以ab为轴对折后，使c点落在d点处，求d点的坐标.例4 一个矩形纸片如图折叠，使顶点b和d重合，折痕为ef。（1）找出图中全等的三角形，

4、并证明。（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。（3）连接be，并判断四边形bedf是什么特殊四边形，bd与ef有什么关系？并证明。f132cbaedf132cbaedoabcdef分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着ef垂直平分bd，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明eodbof，则有edbf，且edbf，首先四边形ebfd是平行四边形，由于bd、ef互相垂直，所以就可说明四边形ebfd是菱形。例5 在矩形abdc中，把a沿cf折叠，点a恰好落在矩形的对称中心e处，若aba，acb，请你计算 的值。分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。即点e是对角线的交点。由矩形的性质可以说明aede，因为折叠可知acce，因此可得：cae是等边三角形，即acb60°，进而在直角acb中解决两直角边的关系为：。abcdef总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直