无限脉冲响应数字滤波器设计

1、本章主要内容本章主要内容 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器第第6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器数字滤波器(DF)的定义的定义 输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(数值运算数值运算)，改变输入数字信号所，改变输入数字信号所含含频率成份的相对比例频率成份的相对比例或或滤除某些频率成份滤除某些频率成份的器件。的器件。 数

2、字滤波器的特点数字滤波器的特点(相对模拟滤波器相对模拟滤波器)： 精度高、稳定、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配。精度高、稳定、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配。 数字滤波器处理模拟信号数字滤波器处理模拟信号 通过通过A/DC和和D/AC，使用数字滤波器对模拟信号的处理。，使用数字滤波器对模拟信号的处理。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念(1) 一般分类一般分类经典滤波器经典滤波器：输入信号中的有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频：输入信号中的有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带，通过带，通过选频滤波器选频滤波器达到滤波的目的。达到滤波的目的。现代滤波器

3、现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。(2) 从滤波器的功能上来分类从滤波器的功能上来分类 分为分为低通、高通、带通、带阻低通、高通、带通、带阻滤波器滤波器1、数字滤波器的分类理想滤波器幅度特性理想滤波器幅度特性 w0-|H(ejw)|低通(LF)频率响应2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)频率响应2-2w0-|H(ejw)|带通BF频率响应2-2w0-|H(ejw)|带阻BS

4、频率响应2-2特点：(1)h(n)是非因果且无限长，不可能实现，只能尽可能逼近；(2)DF的传输函数是以2为周期，低通的中心频带处于2的整数倍 处，高通的中心频带处于的奇数倍附近。(3)从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应分类从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应分类 无限脉冲响应无限脉冲响应(IIR)数字滤波器数字滤波器 有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)数字滤波器：数字滤波器：在数字滤波器中，一般考察其半个周期=0，的频域特性；在模拟滤波器中，通常考察其=0，范围内频率域的特性。 N阶IIR滤波器函数N1阶FIR滤波器函数这里介绍的数字滤波器属于这里介绍的数字滤波器属于选频滤波器选频滤波

5、器(1) (1) 数字滤波器的传输函数数字滤波器的传输函数H(eH(ejwjw) )|H(ejw)|系统的幅频特性系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成：表示信号通过该滤波器后各频率成 分衰减情况。分衰减情况。Q()系统的相频特性系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时：反映各频率成分通过滤波器后在时 间上的延时情况。间上的延时情况。()()()jjjH eH eeQ()2、数字滤波器的技术要求(2) (2) 数字滤波器的幅频特性数字滤波器的幅频特性|H(e|H(ejwjw)| )|的指标的指标过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(ejw)|通带阻带21-1p0.70701

6、CS指标说明：p：通带截止频率，通带频率范围：0p ；S ：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； C ：3dB截止频率； P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围； 通带内和阻带内允许的衰减用通带内和阻带内允许的衰减用dB数表示数表示 如将如将|H(ej0)|归一化为归一化为1，上两式则表示成，上两式则表示成 当幅度衰减到当幅度衰减到 2/2倍时，所对应频率倍时，所对应频率 c，此时此时 P 3dB，称，称c为为3dB截止频截止频率。率。20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 20lg()20lg()psjpjsH edBH ed

7、B p和s的定义IIRIIR滤波器设计方法滤波器设计方法 (1)先设计模拟滤波器先设计模拟滤波器(AF)的传输函数的传输函数Ha(s)；然后按某种变换，将；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数转换成数字滤波器的系统函数字滤波器的系统函数H(z)。 (2) 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计；借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计；FIRFIR滤波器设计方法滤波器设计方法 (1)采用的是采用的是窗函数设计法窗函数设计法和和频率采样法频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。3. 数字滤波器设计方法 理论和设计方法相当成熟，有

8、若干典型的模拟滤波器可以选择。如：理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器滤波器、切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器、椭圆椭圆(Kllipse)滤波器滤波器、贝塞贝塞尔尔(Bessel)滤波器滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。使用。 6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计1、各种理想模拟滤波器的幅度特性低通设计指标：低通设计指标： p和和s分别称为分别称为通带截止频率通带截止频率和和阻带截止频率阻带截止频

9、率; c称为称为3dB截止频率截止频率 p是通带是通带(=0p)中的中的最大衰减系数最大衰减系数， s是阻带是阻带s的的最小衰减系数最小衰减系数，|Ha(j)|0.707ps通带阻带过渡带10Cps通带过渡带阻带(dB) 衰减pS02、模拟低通滤波器的设计指标p和和s一般用一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj|

10、Ha(j0)|22222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()papsasHjHj 2210lg()10lg()papsasHjHj 如果=0处幅度已归一化到1，即:|Ha(j0)|=1图中c称为3dB截止频率()1/2, 20lg()3acacHjHjdB()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdB实际滤波器的幅频特性只能实际滤波器的幅频特性只能采用某种函数（曲线）采用某种函数（曲线）去逼近理想幅频特性去逼近理想幅频特性，逼近函数不同就得到不同的，逼近函数不同就得到不同的逼近幅频特性，该滤波器就被称作某某逼近函数滤逼近幅频特性，该滤

11、波器就被称作某某逼近函数滤波器。波器。常用的逼近函数有：巴特沃斯常用的逼近函数有：巴特沃斯(Butterworth) (Butterworth) 函数、切比雪夫函数、切比雪夫(Chebyshev) (Chebyshev) 函函数、椭圆数、椭圆(Ellipse)(Ellipse)函数和贝塞尔函数和贝塞尔(Bessel)(Bessel)函数等。在本课程只对巴特沃斯滤波函数等。在本课程只对巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法作简介。器和切比雪夫滤波器的设计方法作简介。各类滤波器由于其逼近函数的特点，其特点各异各类滤波器由于其逼近函数的特点，其特点各异: : 巴特沃斯滤波器在通阻带具有巴特沃斯滤波

12、器在通阻带具有单调下降单调下降特性；特性；切比雪夫滤波器在通带或阻带具有切比雪夫滤波器在通带或阻带具有等波纹波动等波纹波动特特性；性；贝塞尔滤波器在通带内有较好的贝塞尔滤波器在通带内有较好的线性相位线性相位特性；特性；椭圆滤波器具有较好的椭圆滤波器具有较好的选择选择特性。特性。v在实际工作中可根据具体要求选择不同类型的滤波器。在实际工作中可根据具体要求选择不同类型的滤波器。 给出模拟滤波器的技术指标给出模拟滤波器的技术指标 ； 设计设计传输函数传输函数 Ha(s)：使其：使其幅度平方函数幅度平方函数满足给定指标满足给定指标ap和和as，|Ha(j )|2 = Ha(j ) Ha*(j ) =

13、Ha(s) Ha(-s)|S=j 确定确定Ha(s)：系统系统Ha(s)应是应是稳定稳定的的系统系统，因此，因此，极点极点应位于应位于3、 用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤巴特沃斯低通滤波器的巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：用下式表示： c，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，过渡带越窄当=0时， |H(j)|=1；当=c时，| H(j)|= 所示c是3dB截止频率。()1/2, 20lg()3acacHjHjdB N: 滤波器阶数。4、Butterworth 低通滤波器的设计方法将幅度平方函数将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：

14、的函数：此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje 其中，k=0,1,(2N-1)2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间隔是/N rad，左半平面N个点构成Ha(s)传输函数，右半平面N个点构成Ha(-s)传输函数。Ha(s)表示为：由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对3dB截止频截止频率率c归一化归一化，归一化后的，归一化后的Ha(s)表示为表示为 ：只要知道滤波器的阶数N，可得归一化的传输函数，去归一化p=j=s/ c ,可得到

15、实际的传输函数Ha(s)令s/c = j/c，=/c，称为归一化频率，令p=j，p称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：归一化极点 ，k=0,1,N-1。Nkjkep21221(1) (1) 根据给出的技术指标根据给出的技术指标 P P、 S S、 p p、 S S，求滤波器阶数，求滤波器阶数N N221()1()aNcHj/10/10101()101psapNas/10/10221()101()10psapNcaNsc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/,101psaspspspak 设:lglgspspkN 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于

16、等于N的最小整数。20lg()20lg()psjpjsH edBH edB 10lg|H(jp)|2/10/10101()101psapNas巴特沃斯滤波器的设计步骤(2) (2) 求归一化极点求归一化极点p pk k，确定归一化传输函数，确定归一化传输函数Ha(p)Ha(p) 根据求极点公式：根据求极点公式： ，k=0,1,N-1。再带入：。再带入： 或根据阶数或根据阶数N，查表，查表P157 表表6.2.1得到极点和归一化传输函数得到极点和归一化传输函数10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 阻带指标有富裕度10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs

17、 通带指标有富裕度(3) 求3dB截止频率c由:|H(j)|2=1/1+(/c)2N，= p时：1+(p/c)2N=10p/10。Nkjkep21221 将将p=s/ c，代入代入Ha(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/ c。 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 表示两极点P1、PN-2(4)将Ha(p)去归一化，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)例：例：已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12kHz，阻，阻带最小衰减带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。，按照以

18、上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解：(1) (1) 设计模拟滤波器的指标为设计模拟滤波器的指标为 p=2 fp=104(rad/s)， ap=2dB s=2 fs=2.4 104(rad/s)， as=30dB (2) (2) 确定滤波器的阶数确定滤波器的阶数N N0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspa

19、ssppkffNN 取N为5lglgspspkN =(3) (3) 求极点求极点3455016523754,jjjjjseseseseseP03455016523754,jjjjjseseseseseP1P23455016523754,jjjjjseseseseseP33455016523754,jjjjjseseseseseP43455016523754,jjjjjsesesesese代入归一化传输函数公式5432432101( )aHppb pb pb pb pb)1)(1618.1)(1618.0(1)(1)(2240 ppppppppHakk)1)(1618.1)(1618.0(1)(

20、1)(2240 ppppppppHakk最简便的方法：由N=5，直接查表得到：极点形式：-0.3090j0.9511；-0.8090j0.5878; -1.0000分母多项式的形式：分母因式的形式：Nkjkep21221(4) (4) 将将H Ha a(p)(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB3dB截止频率截止频率c c10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads 5554233245432( )10cac

21、ccccHssbsbsbsbsbb0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(5) 将p=s/c代入Ha(p)中得到：利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIRIIR数字滤波器设计过程数字滤波器设计过程6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器设计技术成熟有相当简便的公式和图表模拟滤波器)(sHaAF由此设计数字滤波器)(zHDF要求DF特性模仿AF的特性实际上是个映射问题Mapping离散时间域(Z平面)转换关系连续时间域(S平面)(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳

22、定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定因果稳定的。的。 (2)数字滤波器的频率响应数字滤波器的频率响应模仿模仿模拟滤波器的频响，模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射平面的虚轴映射z平面的单位圆，平面的单位圆，相应的相应的频率之间成线性关系频率之间成线性关系。Re(z)jIm(z)0z平面1z1z2j0S平面S1xS2x满足上述转换关系的映射方法有：脉冲响应不变法和双线性变换法对转换关系的两点要求：1、设模拟滤波器、设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于，且分母多项式的阶次高于 分子多项式的阶次，将分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示：

23、 Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样h(n)ZTh(n)H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法1( )NiaiiAHssssi为Ha(s)的单阶极点1( )( )iNs ntaiihtAeu t1( )( )iNs n taiihtA eutLT-1Ha(s)U(t)为单位阶跃函数脉冲响应不变法一、基本思想：使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值二、变换方法对对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：，得到：对上式进行对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：结论结论:(1)

24、 S平面的平面的单极点单极点s=si映射映射到到Z平面的平面的极点极点z=esiT。 (2) Ha(s)部分分式的系数与部分分式的系数与H(z)部分分式的部分分式的系数相同系数相同。 2、Ha(s)有共轭复数对极点有共轭复数对极点 Ha(s)的极点的极点si一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放一般是一个复数，以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。在一起，形成一个二阶基本节。 AF二阶基本节形式二阶基本节形式1：21211)s(s)s(Ha:+=形式一极点-1j1对ha(t)进行等间隔采样h(n)=ha(nT)= e- nTcos(1nT)u

25、(nT)，进行Z变换1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze)(cos)()(111tutesHLTthtaaAF二阶基本节形式二阶基本节形式2：ha(t)=LT-1Ha(s)=e- tsin1tu(t)，对ha(t)进行等间隔采样1h(n)=ha(nT)= e- nTsin(1nT)u(nT)，进行Z变换121211)s()s(Ha:+=形式二极点-1j1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eT

26、z eTz e 1 1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z Z变换之间的映射关系变换之间的映射关系(1) 设设ha(t)的采样信号表示为的采样信号表示为:(2) 对对 进行拉氏变换，得到进行拉氏变换，得到( )( ) ()aanhth ttnT( )aht( )( )()()staastansnTHsh t edth tnT edtnT e nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()(

27、)()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()( nsnTnsnTanstastnaaenhenThdtenTtthdtenTtthsH)()()()()()()(nnznhzH)()()()(sHzHaezsT三、S平面和Z平面之间的映射关系 模拟信号模拟信号ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号和其采样信号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系满足：之间的关系满足：结论：结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以平面沿虚轴以s=2/T为

28、周期为周期进行的周期延拓；进行的周期延拓；( )aht( )aht1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT ()aHj将s=j代入上式，得：2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：说明：说明：采用脉冲响应不变法将采用脉冲响应不变法将AF变换为数字变换为数字DF时时 Ha(s)沿虚轴以沿虚轴以 s=2 /T为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓; 再经过再经过Z=eST的映射关系映射到的映射关系映射到Z平面上，从而得到平面上，从而得到H(z)上面的这种转换是否满足对转换关系提出的上面的这种转换是否满足对转换关系

29、提出的2点要求点要求:设：设：S=j ，Z=r ejw 脉冲响应不变法标准映射关系：脉冲响应不变法标准映射关系： Z=eST频率域的坐标变换是线性的因果稳定模仿频响由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT TjTTjjeeeer)(r= eT w=T 0时，时，S平面的平面的左半平面左半平面映射到映射到Z平面的平面的单位圆内单位圆内(r=|z|0时，时，S平面的平面的右半平面右半平面映射到映射到Z平面的平面的单位圆外单位圆外(r=|z|1)结论：若结论：若Ha(s)是因

30、果稳定的，则转换后的是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。也是因果稳定的。r= eT因果稳定的分析j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面 当当 不变，模拟角频率不变，模拟角频率 变化变化2 /T整数倍，整数倍，映射值不变映射值不变，S平面上每一条宽度为平面上每一条宽度为2 /T的水平横带都重迭地映射到的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上平面的整个全平面上 每条水平横带的左半部分映射到每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内；平面单位圆内； 水平横带右半部分映射到水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外平面的单位圆外 j 虚轴上每虚轴上每2 /T段都

31、对应着单位圆一周段都对应着单位圆一周j0-/T3/T-3/T/TS平面1Re(z)jIm(z)0Z平面2(),jM TsTTj TTTeeeeeM由于z=esT是周期函数由上面分析结果：由上面分析结果： S平面与平面与Z平面的映射关系满足转换条件；平面的映射关系满足转换条件； 但存在着但存在着多值多值(s)单值单值(z)映射关系映射关系(3) DF的频响是AF频响的周期延拓)(jeH0T0T)( jHa频率混叠sTez (1)虽然)(sHa)(zH直接映射但并非)(sHa而是)(zH映射注意：只有AF频响限于/T之内，DF频响才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。

32、(2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，沿虚轴进行周期化。脉冲响应不变法的应用受限脉冲响应不变法的应用受限 只适合设计只适合设计带限滤波器带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。器的设计。假设 没有频率混叠现象，即满足： ()aHj()0,/aHjT 按照上式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：1()()1( )()1( )()sTaaskaaskasz ekHjHjjkTHsHsjkTH zHsjkT 1()(),jaH eHjTT数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响四、四、

33、脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点优点：优点： 1、频率变换是、频率变换是线性关系线性关系; w= T ，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性； 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；缺点：缺点： 1. 有频谱混迭失真现象；有频谱混迭失真现象；(S平面到平面到Z平面有多值映射关系平面有多值映射关系) 2. 由于频谱混迭，使应用受到限制。由于频谱混迭，使应用受到限制。(T失真失真 ，但运算量但运算量 ,实现困难实现困

34、难)【例例】 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为为用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)解：解：首先将首先将Ha(s)写成部分分式：写成部分分式：极点为：极点为：根据：根据： ，H(z)的极点为：的极点为：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze按照：按照： ，经过整理，得到，经过整理，

35、得到当：当：T=1s时用时用H1(z)表示，表示，T=0.1s时用时用H2(z)表示，则：表示，则：将将Ha( j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：度特性曲线，如下图所示：11( )1iNis TiAH zez111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz26449. 01

36、1T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=-很轻的混叠现象严重的混叠现象 脉冲响应不变法的主要缺点脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。产生频率谱混迭现象。 原因原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率模拟低通的最高频率超过了折叠频率 /T，数字化后在，数字化后在w= 形成频谱混叠形成频谱混叠现象。现象。 解决方法：解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T 之间，之间，而后再用而后再用 Z=eST 转换到转换到 Z 平面上。平面上。 一

37、双线性变换法消除频谱混迭的原理一双线性变换法消除频谱混迭的原理1、非线性压缩：、非线性压缩：(S平面平面S1平面平面映射映射)双线性变换法用双线性变换法用正切变换正切变换实现非线性频率压缩，设实现非线性频率压缩，设Ha(s)，s=j，经，经过非线性频率压缩后用过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=j1 表示。则：表示。则：上式表明：上式表明：当当1从从/T经过经过0变化到变化到-/T时，时，则由则由经过经过0变化到变化到-，这样实现了，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的平面上虚轴的/T之之间的转换。间的转换。6.4 6.4 用双线性变换法设计用双线

38、性变换法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器121tan()2TT 0/T-/T1T：时域采样间隔；由上面可得：由上面可得：(- ，+ )， 1 (- /T，+ /T) ；6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器)2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCee

39、eeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 121tan()2TT )2(

40、11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj )2(11)2tan(jS12/2/2/2/1111111TSthCeeCeeeeCjjTjCTSTSTjTjTjTj 2、S1平面到Z平面的映射将S1平面映射到Z平面上，用标准映射Z=eS1T。代入上式SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTSTS ,111111111即即121tan()2TT SCSCzzzCeeCSTSezTS

41、TS ,111111111即即112 1122zsTzsTzsT推出3、双线性不变法的映射关系、双线性不变法的映射关系映射过程：映射过程：从从s平面映射到平面映射到s1平面，再从平面，再从s1平面映射到平面映射到z平面。平面。 S平面与平面与Z平面是平面是一一对应的单值映射一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。系，消除了频谱混迭现象。 只要模拟滤波器只要模拟滤波器Ha(s)因果稳定，其极点应位于因果稳定，其极点应位于S左半平面，转换成的左半平面，转换成的H(z)也是因也是因果稳定的，位于单位圆内。果稳定的，位于单位

42、圆内。6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器001j1j/T-/T2/T tan(1T)Z=es1TS平面S1平面Re(z)jIm(z)0z平面S 2/T th(S1T)二、模拟频率二、模拟频率和数字频率和数字频率之间的关系之间的关系将：将：Z=ej ，S=j ，代入，代入SZ平面映射关系式：平面映射关系式：6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器112 1122zsTzsTzsT-0W)2(2wtgT 说明：s平面上 与z平面的成非线性正切关系，当增加时， 增加得很快，当 趋于 时，趋于，由于这种非线性关系，消除了

43、频率混叠现象。代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。2 1121tan2jjejTeT )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2/cos(2)2/sin(221122/2/wwjeeTeeTjSjwjwjwjw )2(2)2(2wtgTwtgTj 2 1121tan2jjejTeT 三、双线性变换法特点三、双线性变换法特点1、优点

44、、优点 消除了频谱混迭失真；消除了频谱混迭失真；频率映射频率映射 表明表明S平面与平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱“混迭混迭”现象。现象。2.缺点缺点 以以频率变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其频率变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应瞬时响应不如不如脉冲响应不变法好。脉冲响应不变法好。6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器2 1121tan2jjejTeT 四、双线性变换法的幅度失真和相位失真情况四、双线性变换法的幅度失真和相

45、位失真情况 如果如果的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的平面的刻度不均匀，随刻度不均匀，随增增加越来越密，即边界频率发生畸变。加越来越密，即边界频率发生畸变。 如果模拟滤波器具有如果模拟滤波器具有片段常数特性片段常数特性，则转换到，则转换到z平面仍具有平面仍具有片段常数特性片段常数特性。适于适于片段常片段常系数滤波器系数滤波器的设计。的设计。6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器幅度特性失真相位特性失真五、双线性变换法的预畸变五、双线性变换法的预畸变对对边缘临界频率点产生的畸变边缘临界频率点产生的畸

46、变，可通过频率的，可通过频率的预畸变预畸变加以校正。加以校正。例例：数字低通滤波器的两个截止频率：数字低通滤波器的两个截止频率： p和和s，如果按照线性变换所对应的模拟滤如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频率分别为：波器的截止频率分别为：再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率再利用非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原来的频率 。解决方法：解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变的处理数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变的处理：6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器pp /Tss /T

47、2 1121tan2jjejTeT 例例：例例6.4.1，已知，已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求，求H(z)。解：解：1、用脉冲响应不变法时用脉冲响应不变法时，先确定极点：，先确定极点：s= a，则，则 2. 用双线性不变法时用双线性不变法时6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器11)( zeazHaTT为采样间隔1111112)2()2()1(112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS1111112)2()2()1(112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS111121212112(1)(

48、 )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT111121212112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT其中：设设:a1000,T=0.001和和T=0.002，H1(z)和和H2(z)的归一化幅频特性如图所示的归一化幅频特性如图所示6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器双线性变换法脉冲响应不变法模拟滤波器幅频特性250Hz500Hz存在混叠不存在混叠，曲线形状差别大五、用模拟滤波器设计五、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器步骤数字低通滤波器步骤(1)确定数字低通滤波器的性能指标；确定数字低通滤波器的性能指标；(Wp

49、，ap，Ws，aS)(2)确定相应模拟低通滤波器的性能指标；确定相应模拟低通滤波器的性能指标；o 脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： = W /To 双线性变换法：双线性变换法： =2/Ttan(W)预畸变；预畸变；(3)设计模拟低通滤波器的传输函数设计模拟低通滤波器的传输函数Ha(S)；(4)将将Ha(S) 转换成数字滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数 H(z)；o利用脉冲响应不变法设计时，应先确定利用脉冲响应不变法设计时，应先确定Ha(s)极点，极点，按按 Z=eST 映射极点，并根据映射极点，并根据P171页公式表示出页公式表示出H(z)。o 若利用双线性变换法，设采样间隔为若利用双线

50、性变换法，设采样间隔为T，则，则6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器, | )()(11112 zzTsasHzH例例1：要求设计一数字低通滤波器，指标为：在通带内频率低于要求设计一数字低通滤波器，指标为：在通带内频率低于0.2 rad/s时，容许幅度时，容许幅度误差在误差在1dB以内；在频率以内；在频率0.3之间，阻带衰减大于之间，阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。分别用沃斯低通滤波器。分别用脉冲响应不变法脉冲响应不变法和和双线性变换法双线性变换法设计设计H(z)。6.4 用双线性变换法设计用双线性变

51、换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器(dB)w11500.30.2数字域指标图对应模拟域指标图(dB)1150 sp解：解：采用脉冲响应不变法采用脉冲响应不变法(1)数字域指标数字域指标: P=0.2 rad， p=1dB ， S=0.3 rad， S=15dB(2)模拟域指标模拟域指标：取：取T=1， 则：则： p=Wp/T=0.2 rad/s， s=0.3 rad/s， P=1dB， s=15dB。(3) 设计模拟低通设计模拟低通AF：要求采用巴特沃斯低通滤滤器要求采用巴特沃斯低通滤滤器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器,884. 5lgl

52、gN 1.5; ;092. 0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP ,884. 5lglgN 1.5; ;092. 0110110SPSP1. 01. 0 SPPSspkkSP ,884. 5lglgN 1.5; ;092. 0110110SPSP1 . 01 . 0 SPPSspkkSP 取N=6，查P167页表6.2.1，得归一化传输函数Ha(p)=(P180页）去归一化：去归一化： c = p(100.1ap 1) 1/2N=0.7032 rad/s将将p=s/ c代入代入Ha(p)得到得到去归一化传输函数去归一化传输函数(4)求求DF的的H(z)求出求出Ha(S)的极点的极点Si由映射由映射Z = esit 确定出相应数字滤波器的传输函数确定出相应数字滤波器的传输函