1960年全国高考数学试题

1、1960年试题试卷上不必抄题，但须写明题号,例如I (1)、I (2)、H、田等.解方程:伉？ - 5 '苗-7 = 口不限定在实数范围内) (2)有5组篮球队，每组6队.首先每组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)， 然后各组的冠军再进行单循环比赛.问先后共比赛多少次？求使等式口 求证等比数列的各项的对数组成等差数列.(这里所说的等比数列的各项都是正数)=cos成立的冀值的范围&是(T到72IT的角)(5)如图，用钢珠测量机件上一小孔的直径.所用钢珠白中心是O,直径是12毫米.将钢珠放在 这小孔上,测得钢珠上端D®机件平面的距离C电9毫米.求这小孔的直径A由勺长

2、.(6)四棱锥 例BCD勺底面是一正方形.PA与底面垂直.已知PA3厘米,P点到BC勺距离是5厘 米.求PC勺长.Key 一、解:-5 - 7 = 0,J2?工=以门,2x2-5=5x-7,2x2-5x+2=0,(2x-1)(x-2)=0,二或227 ：使原方程无意义.舍去x=2Q)解5或+c；=5X段+建I心 J二=75+10=85答：共比赛85次.证明：设等比数列为a,aq,aq 2,aq n-1则各项的对数依次为loga,logaq,logaq 2,，logaq n-1,即 loga,loga+logq,loga+2logq, ,loga+(n-1)logq,;上面的数列是以loga为首

3、项，logq为公差的等差数列(4)解根据算术根的定义,85 | >0 ,A00 <-<90* 和270。<-<360° , 22即0° <x<180° 和540° <x<720°(5)解法一：设A斯x毫米，则AC =弓毫米.又直径DE=128米CD屋米.飞=12-9=旎米. A(2=DC- CE,.x2=9X 3X4.x = 6/(取正值)管小孔的直径是毫米.-a 可口工|;.|:.工|;.|:.|'.，|:.工|:.-ki;-1»i解法二：设A斯x毫米，则AC =|耕.又

4、CD=9S米，半径OD二毫米， . OC=9-6=3(4 米)连结OA,则OA=6t米在直角三角形OACP ,OA2=OC+A。=27,.X=入夙取正值)4答小孔的直径是6后毫米(6)解：PAL平面ABCD,又AB，BC,.-.PB± BC,即 PB=51 米又PA=3E米，因此AB=BC=4米J.PC= JPB' +BC、=历(厘米) 管FC是标厘米一二、有一直圆柱，高是20厘米,底面半径是5厘米.它的一个内接长方体的体积是800立方厘米. 求这长方体的底面的长和宽.Key 二、解：设底面的长和宽分别是x厘米和y厘米,则x2+y2 = 103)2Oxy - 800.上方程组

5、可变形为fx2+y2 -100,_2xy =SO.解这个方程组，得(x +y)2 - 180,+ y =渣而=6五(只取正值)(x -y)2 20, x -y - ± V20 = ± 2J5 分别解下面的两个方程组：宣+ y = 6后，x + y = 6有，4WX -y = 25r，芯.y = -2/%I就得出：% =4/5, 叼=2/5yt = 25;% :4后 答：底面的长和宽分别是4出厘米和厘米.、从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔.船以30工/小时的速度向正东南方向航行半小时后，看到这个灯塔在船的正西方.问这时船与灯塔的距离是多少涅？(精确到0.1辛里)

6、Key 三、解法一：如图人是原来船的位置旧是灯塔。是航行半小时后船的位置AC = 30X ；=15(涅、ZBAC = 450 -300 =15“，ZABC=120°.0一 AC . $皿15°弘nl2Oq_15(sm45" co/。” -gs45" sin30")sin60Q15X也(43.2 2 2亘T_ 572 (3-73)一 2=4.5()答:船与灯塔的距离是4.5桂.第6页共6页解法二：如图，过A引CB勺垂线与CB勺延长线交于D点.ADB 中,DB =DAtg30"_10意乂木_5的232'，BC=DC-DB_ 157

7、2 5n2_ 513值呵2=4.5()答:船与灯塔的距离是4.5%四、要在墙上开一矩形的大玻璃窗，周长限定为6米.(i)求以矩形的一条边长(x)表示窗户的面积(y)的函数式;(ii)求这函数图象的顶点的坐标、对称轴的方程；(iii)画出这函数的图象，并求出的x的允许值的范围.Key 四、解：(i)y=(3-x)x=-x2+3x.299(ii)y = - (k -%+7)+彳7 q=.”)七3 9 顶点的坐标:2 4、一 3对称轴的方程x = I(ini) -x2 +3x = 0, x1 = 0,x2 = 3.x的允许值的范围：0<x<3五、下列(1)、(2)两题选作一题.,求9和这

8、个方程的两个(1)已知方程2x2-x - 4sin 9 +3cos 9 =0的两个根相等，且8为锐角 根.(2)a是什么实数的时候，下列方程组的解是正数：2x +ay =4, :=8.Key(1)解：=16sin 2 0 -24cos 0 =0, 即2sin 2 9 -3cos 0 =0.由sin 2 o =i-cos2 9 ,上方程可变形为 2cos2 9 +3cos 0 -2=0,(2cos 0 -1)(cos 0 +2)=0, cos 0 +2=0,无解.由 2cos 0 -1=0,得cos 8=1.2v 9 为锐角,9 =60°. 4nn6(T .73-x = sinoU =42誉日是60：方程的两个根都是当解产十野=4 k +4y =8 X2-:(8-a)y=12,当aw8时，把代入中，得16