高中数学第八章三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦教案新人教B版

1、第1课时 两角和与差的正弦(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式 的正弦公式进行简单的恒等变换.教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程及运用.教学难点：两角和与差的正弦公式的灵活运用I核心概念掌握I【知识导学】.2.能运用两角和与差知识点一两角和与差的正弦公式S” + e ： sin( a + 3 )=巴 sin a cos 3 + cos a sin 3 ；S” e ： sin( a 3 )=且 sin a cos 3 cos a sin 3 .知识点二有关点(向量)的一组旋转公式已知点P(x, y),与原点的距离保持不变，绕原点逆时针旋转0 角到点

2、P (x , y),x = EEL xcos 0 ysin 0 ,则Jy =g2xsin 0 + ycos 0 .知识点三函数y= asin x+ bcosx的最值和周期_.22a函数 y= asin x+bcosx 可化为 y= .a + bsin( x+ 0 )的形式，其中 cos 0 = .2-2,bsin 0 = P2 , 22,取大值是口03 x/a + b ,取小值是口04 (a + b ,周期是C5 2 7t.7ab【新知拓展】1 .公式C” B与S” B的联系四个公式 C士 B, S” 士 B虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为以一 3换3cos(民3 )

3、 cos( a + B )以方(口+m换口+0以一 3换3sin( a + 3 )sin( a - 3 ),这样我们只要牢固掌握“中心”公式 cos( a 3)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.2 .注意公式的结构特征和符号规律(1)对于公式Clb, C + B,可记为“同名相乘，符号反”.(2)对于公式Slb, Sa + B,可记为“异名相乘，符号同”.3 .两角和与差的正弦公式中a , 3的特征a , 3可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.4 .应用两角和与差的正弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.

4、(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的正弦公式的结构形式，然后逆用 公式求值.5 .求形如asin a + bcos a的最值公式公式 asin a + bcos a =42+ b2sin( a + 4 )(或 asin a + bcos a =a2+ b2cos( a () 将形如asin a+bcosa(a, b不同时为零)的三角函数式收缩为一个角的一种三角函数式.6 .三角函数化简求值的注意点在三角函数化简求值时，要注意“三看”，即：(1)看角.把角尽量向特殊角或可计算的角转化，如果条件中的角不是单角. 要把它看作一个整体，用它表达目标中的角；(2)看名称.把 一道题中出现

5、的三角函数名称尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相 应的弦；(3)看式子.看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接运用，如果不满足，用 诱导公式转化一下角或转换一下名称，然后再运用.1 .判一判(正确的打“，”，错误的打“x”)(1)sin( a + 3 )= sin a +sin 3 一定不成立.()(2)对任意实数 a , 3 , sin( a - 3 ) = sin a cos 3 cos a sin 3 都成立.(3)sin54 cos24 - sin36 sin24 = sin30 .()答案 (1) X (2) V (3) V2 .做一做(1)sin47 cos

6、43 +cos47 sin43 等于 ()A. 0B. 11C. 1D-2(2)已知 0 为锐角，且 sin 0 =3,则 sin( 0 +45 )=()5A.7 .210B.ZJ10C.,210D.二10(3)函数f(x) = 2sin xcosx的最大值为 答案(1)B(2)A(3) 5核心素养形成题型一给角求值例1计算：(1)cos285 cos15 - sin255 sin15(2)sin7 cos37 - sin83 cos307 ;(3)sin( x + 60 )+2sin( x60 ) - 3cos(120 x).解(1)原式=cos(270 +15 )cos15 - sin(2

7、70 -15 )sin15 = sin15 cos15 +cos15 sin15 = sin(15 +15 ). o 1=sin30 = 2(2)原式=sin7 cos37 - cos7 cos(270 +37 )= sin7 cos37 cos7 sin37 = sin(7 37 )1=sin( 30 ) = 3(3) 原式 =sin xcos60+ cosxsin60 + 2sin xcos60 2cosxsin60cos120 cos x ;Z3sin120 sin x=3sin xcos60 cosxsin60 + /3cos60 cosx 木sin60 sin x=?sin x史co

8、sx+史cosxgsin x= 0.2222金版点睛解决给角求值问题的策略解决此类问题一般是先用诱导公式把角化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的 关系以及式子的结构特征，选择合适的公式进行求值.sin47 sin17 cos30跟踪训练1求值:注意角之间的关系，特别是与特殊角之间的关系是解题的关键.cos17原式=si -1+17-sin17cos17cos30sin30 cos17 +cos30 sin17 sin17 cos30 cos17sin30 cos17cos17= sin30题型二给值求值一12例 2 (1)已知 sin 0 = , 0(2)已知sin -4)需3 兀、i,

9、求 sin。.解(1) ; 0 7t2兀)sin120 =13cos 0 =晨13sin 1 0 + -3-芦 sin 0兀cos+ cos 0 sin7t312 1=X |-13 226p兀又 sin 0 7.,210 兀cos。一了一.2 一sinsin 0 = sin Ji 0 =sin兀、 兀。一了 cos-+ cos 0二逑x旦旦亚=4102 + 1025.金版点睛给式(值)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角” 一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时， 此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,后应用诱导公式把“所求角

10、”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.0,-f；, 3 e2，兀若 cos 3 = sin( a + 3 )=：,贝U sin a 2 t39的值为()1A. 275B.271 C.323D.27答案 C解析a + 3 ) =d可得 sin 3 =93 ，COS( a + 3 )=芈.所以9(-1?(-笔 x =3.30 , 60 至ij OP, OP的位置,1.52.xi= r cos(a +30 ) = r(cos a cos30 sin a sin30yi=rsin( a +30 ) = r(sin a cos30 + cos a sin30所以点Pi的

11、坐标为)=5cos30 2sin30)=2cos30 +5sin305,3一2V3+7sin a = sin( a + 3) 31=6*9题型三利用三角变换研究旋转变换例3已知向量0已(3,4),绕原点逆时针旋转 30。到加 的位置.求点P (x，y) 的坐标.解设/ xO鼻 a , | Op=r,则 r = 5, cos a = - = -, sin a =-=r 5r 5 . x = rcos( a +30 ) = r(cos a cos30 sin a sin30 )J31 3J3-4=xcos30 - ysin30 = 3X 一4X 万=_；y = rsin( a +30 ) = r

12、(sin a cos30 + cos a sin30 )31 4 :3+3=4X + 3X 2= -2.，点p的坐标为号，智F ;金版点睛对于旋转变换要结合任意角的三角函数的定义求解.跟踪训练3已知向量OP= (5,2),绕原点逆时针旋转求点Pi, P2的坐标.解 设 Pi(xi, yi) , P2(x2, v2 , | Op = r, / xOP= a ,则 cos a =r, sin a由任意角的三角函数的定义，得x2= rcos( a 60 ) = r(cos a cos60 + sin a sin60 )=5cos60 + 2sin60,3;y2= rsin( a 60 ) = r(s

13、in a cos60 cos a sin60 )=2cos60 5sin60 =1 5,32 .所以点P2的坐标为 2+.3,1-芋.题型四asin a +bcos a ”型函数的最值问题例4 已知RtAACB,两垂直边 AC= b, BC= a,斜边AB= c,周长为定值l ,求斜边c 的最小值.解 在 RtAACB, / C= 90 , AC= b, BC= a, AB= c.贝U a= csin A, b= ccos A,1. l = a+ b+ c= c(1 + sin A+ cosA),c= ：7：1 + sin A+ cosA,sin tA+i 六 1，7-G=l 他T)1+ 2s

14、in jA+ 宁+，即当sin JA+-4 i= 1, A=4时，余边c最小，最小值为l(J2 1).金版点睛辅助角公式及其运用(1)应用三角函数解决实际应用题的最值问题，必须先写出函数关系式(三角形式)，再求最值.(2)型如f(x) = acosx+ bsin x的函数均可化为f (x)=寸a2 + b2sin( x+ 0 )( 0为确定数彳t),或化为f (x) = 1a2 + b2cos( x- 0)( 0为确定数值)，再利用三角函数的值域求最值.跟踪训练4 求函数f(x) =sin x+43cosx的最值、周期.解 f(x)=sin x+V300sx=22sinx+坐cosx)=2(s

15、in xcos60 + cosxsin60 )=2sin( x + 60 ).f(x)max=2,f(x)min =2,周期T= 2兀.题型五 证明三角恒等式例 5 已知 sin(2 a + 3 ) = 5sin 3 ,求证：2tan( a + 3 ) = 3tan a .证明sin(2 a + 3 ) = 5sin 3 ? sin( a + 3 )+ a = 5sin(a + 3) a ? sin(a+ 3 )cos a + cos( a + 3 )sin a = 5sin( a + 3 )cosa 5cos( a +3 )sina ? 2sin( a+3 )cos a = 3cos( a

16、+ 3 )sin a ? 2tan( a + 3 ) = 3tana .金版点睛证明三角恒等式的常用方法(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”着 目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；(3)把要证的等式进行等价变形；(4)作差法，证明其差为 0.跟踪训练5求证：Sn 2a + 3-2cos( a + 3)=且.sin asin a证明 sin(2 a + 3 ) 2cos( a + 3 )sin a=sin(a + 3 ) +a 2cos(a+3 )sina=sin(a + 3 )cosa+ cos(a+3

17、)sina 2cos( a + 3 )sin a=sin(a + 3 )cosa cos(a+3)sina=sin(a + 3 ) a = sin3,sin 2a + 3sin 3sin a2cos( a + 3 ) - sin a .随堂水平达标1 .计算 sin43 cos13 cos43 sin13 的结果等于()A.一bVD.答案 A解析 sin43 cos13 cos43 sin13=sin(43-13 ) =sin3012.2. 2cosx，6sin x 等于(A. 2 2cos7t6B.D.答案解析啦cosx msin x= 2啦2cosx sin x)2j2 2cosx 2si

18、n x2/sin %一3.卜面各式中，不正确的是 (A.B. 一兀5兀 cos-127t7t一cos 4 cos-3C.cos7t7t7t行 r cos7cos-+,64D.兀 cos7t7t12=cos cos一答案解析. sin 工=432 A正确;cos 5- = cos127兀7t7tcosA 1= cos1212B 正确；.C 正确；.7t7t7tcos 12= cos3 一 了广cos 万一c0s 了,D不正确.45, a是第三象限角，则 sin兀 Tt 兀)兀 兀 、/3 兀sin & + - i= sin -cos-3- +cos-a +1=4答案7 210解析由题意，知sin a35, ,sin7t7t7ta + 4- i=