高中数学专题讲义-函数的单调性

1、典例分析题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义法【例1】 试用函数单调性的定义判断函数f(x) 二在区间(0, 1)上的单调性.x 1【例2】 证明函数y X3在定义域上是增函数.【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数f(x) X3 1在(,)上是减函数.【例4】 证明函数f(x) 4在定义域上是减函数.【例5】 讨论函数f(x) -2( 1 x 1)的单调性.x 11【例6】 求函数f(x)=x+'的单调区间。【例7】 求证：函数f(x) x a(a 0)在函,)上是增函数. xx a【例8】(春季北乐、安徽，12)设函数f (x) = (a>b>0),求

2、f (x)的单调x b区间，并证明f (x)在其单调区间上的单调性。x【例9】(天津，19)设a 0, f (x)。是R上的偶函数。 a e(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0,)上为增函数。【例10】已知f(x)是定义在R上的增函数，对 xC R有f(x)>0,且f(5)=1 ,设F(x尸f(x)+ -1-,讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。f(x)【例11】已知函数f(x)对任意实数x, y均有f(x y) f (x) f(y),且当x >0时,f(x) 0,试判断f(x)的单调性，并说明理由.【例12 已知给定函数f(x)对于任意正数x, y都有f(xy)= f (

3、x) f (y),且f(x) WQ当x 1时，f(x) 1 .试判断f(x)在(0,)上的单调性，并说明理由.2.图象法【例13 如图是定义在区间5, 5上的函数y f(x),根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例14 求函数y 1 2x 2 x的单调减区间【例15 【例16 求下列函数的单调区间：1 y | x 1| ； y x 一( X 0). x求下列函数的单调区间： y |x 1| |2x 4| ; yx2 2|x| 3【例17作出函数y |x2 x|的图象，并结合图象写出它的单调区间.【例18】画出下列函数图象并写出函数的单调区间2 y x 2

4、|x| 1一2 一 一(2) y | x 2x 3|3.求复合函数的单调区间2【例19】函数y人(x R, xwl)的递增区间是( x 1A. x > 2 B. x<0 或 x>2C. x< 0【例20】已知y f x是偶数，且在 0,上是减函数，求f 1 x2单调增区间【例21】求函数y一一的单调区间. x x 2【例22】讨论函数y Jx2 2x 3的单调性.【例23】求函数f(x) log0.5(x2 8x 7)的单调区间【例24】(1)求函数y log o.7(x2 3x 2)的单调区间；(2)已知f(x) 8 2x x2,若g(x) f(2 x2)试确定g(x

5、)的单调区间和单 调性。题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例25 设函数f(x) (2a 1)x b是R上的减函数，则a的范围为()B.C.D. a【例26】函数y x2 bx c(x 0,)是单调函数的充要条件是()A. b 0 B. b 0C. b 0D. b 0【例27】已知f(x) T- (ax a 2范围是().A. (0,1)C.板,ax)(a 0且aw1)是R上的增函数.则实数a的取值B. (0 , 1)U 友,D. (0, 1)U 衣，【例28】设2是实数，f (x) a r2(x R), 21试证明对于任意a, f(x)为增函数;试确定a值，使f(x)为奇函数.【例2

6、9】设定义域为R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数，若f klog2t f log2t log2t 20对一切正实数t成立，求实数k的取值范围【例30】已知f (x)是奇函数，在实数集 R上又是单调递减函数且 0V 8 V 2时，f (Jsin231-tsin )f (-)0,求t的取值也围【例31】已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在0, +8上是增函数，是否存在实数m,使 f(cos28 -3)+f(4m-2mcos>0 )>f(0)对所有 9 C ：0,-都成立？若存在, 求出符合条件的所有实数 m的范围，若不存在，说明理由。题型三：函数的单调性与方程、不等式【例

7、32】比较log2(x 1)与log2(2x 3)的大小.【例33】已知f(x)在区间(，)上是减函数，a, b R且a b 0 ,则下列表达正确的是()A.f(a)f(b)f(a)f(b)B.f(a)f(b)f( a)f( b)C. f(a)f(b)f(a)f(b)D.f(a)f(b)f( a)f( b)【例34 若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0, 3)和点B(3, 1),则不等式| f(x 1) 1| 2的解集为().A. (,3)B. (,2)C. (0, 3) D. (1,2)【例35】解方程J3x 6 J9 5x ，2 x.【例36】设f(x)在R上是偶函数，在

8、区间(个0)上递增，且有f(2a2+a+1)<f(3a 2-2a+1), 求a的取值范围。【例37】设f (x)是定义在R上的函数，又m、n R恒有f (m n) f (m) f (n),且当x 0时，0 f(x) 1。(1)求证：f(0) 1;(2)证明：x R时恒有 f(x) 0；(3)求证：f(x)在R上是减函数；(4)若f (x) f (2 x) 1 ,求x的范围。【例38】设f(x)是定义在(0,)上的单调增函数，满足 f(xy) f (x) f(y), f(3) 1求：(1) f (1); (2)当f(x) f (x 8) 2时x的取值范围.【例39】已知f(x)是定义在R上

9、的增函数，且f(?) f(x) f(y). y求证：f(1) 0, f(xy) f (x) f(y);若f (2) 1 ,解不等式f (x) f () 2 .x 3【例40】已知偶函数f(x)在(0, +8)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f log2(x2+5x+4)>CL【例41】已知a、b、c R ,c【例42 已知 x>-1,且 xw0, n N,n 2,求证：（1 x）n 1 nx【例43】设门1, f(x)是定义在有限集合 A 1, 2, 3, L , n上的单调递增函数，且对任何 x, y A,有f(x) f(x)f(y).那么，()f(y)A. n 2B. n 3 C. n 4 D. n > 5【例44】已知f(x)是je 乂在(0,)上的增函数，且当n N时，f(n) N , ff(n) 3n ,则 f(1) f(2) .题型四：函数的最值【例45 求函数f(x) x - , x 0的最小值. x【例46 求函数y Vx1 瓜1的最小值.【例47 求函数y Jx1 vX1的最值.【例48(全国理，21)设a为实数，函数f (x) =x2+|x a|+1, xC R(1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值。【例 49设 m