次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题

1、二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1. (2014?北京)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A (0, -2), B (3, 4).(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为 C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A, B之间的部分为图象 G(包含A,D纵坐标t的取值范围.B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点3考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值.专题：计算题.分析：(1)将A与B坐标代入抛物线解析式求出 m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可；(2)由题意确定出 C坐标，

2、以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线 BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围.解答： 解：(1)二.抛物线 y=2x2+mx+n经过点 A (0, -2), B (3, 4),代入得：一2,L18+3ini-n=4CnT - 4解得：，b=-2，抛物线解析式为 y=2x2- 4x-2,对称轴为直线x=1;(2)由题意得：C ( -3, -4),二次函数y=2x2 - 4x - 2的最小值为-4,由函数图象得出 D纵坐标最小值为-4,设直线BC解析式为y=kx+b ,将B与C坐标代入得:解得:，b=0,直线BC解析式为 当 x=1 时，y=二,4则t的范围为-4wt

3、w .点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解本题的关键.2. (2011?石景山区二模)已知：抛物线与 x轴交于A (-2, 0)、B (4, 0),与y轴交于C (0, 4).(1)求抛物线顶点 D的坐标；(2)设直线CDX x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线 CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式.专题：探究型.分析：(1)先设出

4、过A (-2, 0)、B (4, 0)两点的抛物线的解析式为 y=a (x+2) (x-4),再根据抛物线与 y轴 的交点坐标即可求出 a的值，进而得出此抛物线的解析式；(2)先用待定系数法求出直线 CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到( 1)中抛物线向下平移 m各单位 所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位.解答：解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x+2) (x-4), C点坐标为(0, 4), a= , (1 分)2解析式为 y= - x2+x

5、+4,顶点D坐标为(1)；(2分)(2)直线CD解析式为y=kx+b .b二 4直线CD解析式为y=x+4, (3分) .E ( 8, 0), F (4, 6),若抛物线向下移 m个单位，其解析式 y=-gx2+x+4-m ( m0),_Lx2+lx - m=0 2 2圻-4工沁由 消去y,得-U+4|二2m 0,40V,3，向下最多可平移 1个单位.(5分)8若抛物线向上移 m个单位，其解析式 y=-lx2+x+4+m ( m 0),2方法一：当 x= - 8 时，y= - 36+m，当 x=4 时，y=m,要使抛物线与 EF有公共点，则-36+mCO或m 6, .0mc 36; (7 分)

6、方法二：当平移后的抛物线过点E ( -8, 0)时，解得m=36当平移后的抛物线过点 F (4, 6)时，m=6由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，(7分)综上，要使抛物线与 EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移 工个单位.3点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函 数与一次函数的交点问题，有一定的难度.3. (2013?丰台区一模)二次函数 y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M (1, -4).(1)求二次函数的解析式；(2)将二次函数的图象在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不

7、变，得到一个新的图象，请你结合 新图象回答：当直线 y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围.考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换.分析：(1)确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式.(2)求出两个边界点，继而可得出n的取值范围.解答： 解：(1)因为M (1, -4)是二次函数y= (x+m) 2+k的顶点坐标, 所以 y= (x-1) 2- 4=x2- 2x - 3,(2)令 x2 - 2x - 3=0,解之得：x1=- 1, x2=3,故A, B两点的坐标分别为 A(- 1, 0), B (3, 0).如图，当直线 y=x+n (nvl),经过A点

8、时，可得n=1,当直线y=x+n经过B点时，可得n= - 3,.n的取值范围为-3nl,4由图可知，符合题意的n的取值范围为：n_1或-3vnv1.4点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值.4. (2009?北京)已知关于 x的一元二次方程 2x2+4x+k - 1=0有实数根，k为正整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k - 1的图象向下平移 8个单位，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新

9、的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线yx+b (bvk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.2洋8 -6 -4 2 -424-2 - 4 - 6 - 8 -考点：二次函数综合题.专题：综合题.分析：(1)综合根的判别式及 k的要求求出k的取值；(2)对k的取值进行一一验证，求出符合要求的k值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；(3)求出新抛物线与 x轴的交点坐标，再分别求出直线y=1x+b经过点A B时的b的取值，进而求出其取n值范围.本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的k值.解答： 解：(1)由题意得，=16- 8(k-1) 0. .k3. k为正整数, k=1

10、, 2, 3;(2)设方程2x?+4x+k 1=0的两根为xi, X2,贝U, c o k -1x1+x2=一 2, x1？ x2=2当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零；当k=2时，x1？ x2=1,方程2x2+4x+k - 1=0没有两个不同的非零整数根；2当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个相同的非零实数根-1.综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意.当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6;(3)设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A (-3, 0),

11、 B (1, 0).依题意翻折后的图象如图所示.当直线yx+b经过A点时，可得b=!?;22当直线yx+b经过B点时，可得b=-二.22由图象可知，符合题意的b (b3)的取值范围为 -abv型.22(3)依图象得，要图象 yx+b (b小于k)与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段.2而因式分解得 y=2x2+4x - 6=2 (x-1) (x+3),第一段，当y=x+b过(1，)时，有一个交点，此时 b=W当y=x+b过(-3, 0)时，有三个交点，此时 bN.而在此中间即为两个交点，此时-工vbv型.2222第二段，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折后，开口向下的部分的

12、函数解析式为y=-2 (x - 1) (x+3).显然，当y=4x+b与y=-2 (x-1) (x+3) (- 3v xv 1)相切时，y=x+b与这个二次函数图象有三个交点，若直 线再向上移，则只有两个交点.因为b 0,所以方程有两根, 点.这种情况故舍去.综上,点评： 考查知识点：一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的 结合等问题.不错的题目，难度不大，综合性强，考查面广，似乎是一个趋势或热点.5. (2012?东城区二模)已知关于 x的方程(1 -河)x2+ (4 - m) x+3=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2)若

13、正整数 m满足8- 2m 2,设二次函数y= ( 1 - m) x2+ (4-m) x+3的图象与x轴交于A B两点，将此图象 在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直 线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出 k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可).考点：二次函数综合题.分析：(1)根据方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式可求m的取值范围；(2)先求出正整数 m的值，从而确定二次函数的解析式，得到解析式与x轴交点的坐标，由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A、B.从而求出k的值.解答： 解：(1

14、)4=(4m) 212(1 m) =( m+2)2,由题意得，(m+2)2。且 1 - nrnt0.故符合题意的 m的取值范围是 m - 2且mFM的一切实数.(2) .正整数 m满足8-2m 2,.m可取的值为1和2.又二次函数 y= (1 - mj) x2+ (4-mj) x+3,m=2 (4 分)，二次函数为 y= - x2+2x+3.二.A点、B点的坐标分别为(-1, 0)、(3, 0).依题意翻折后的图象如图所示.由图象可知符合题意的直线y=kx+3经过点A B.可求出此时k的值分别为3或-1.(7分)注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案.点评：本题考查了二次函

15、数综合题.(1)考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：0?方程有两个不相等的实数根.(2)得到符合题意的直线 y=kx+3经过点A B是解题的关键.6.在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+Wmx+m- 3m+2与x轴的交点分别为原点 。和点A,点B (4, n)在这22条抛物线上.(1)求B点的坐标；(2)将此抛物线的图象向上平移 工个单位，求平移后的图象的解析式； 憎(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=ix+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围.2考点：二次函数综合题

16、.专题：压轴题.分析：(1)把原点坐标代入抛物线，解关于m的一元二次方程得到 m的值，再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式，再把点 B坐标代入函数解析式求出n的值，即可得解；(2)根据向上平移纵坐标加解答即可；(3)把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉 y得到关于x的一元二次方程，根据 =0求出b的值，然后 令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与 x轴左边交点的b值，然后根据图形写出 b 的取值范围即可.解答：解：(1) ;抛物线经过原点 O,.m2- 3m+2=Q解得 m=1, m=2,当 m=1 时， -=-=0,22m=2抛物线的解析式为 y=- gx2+3x,;

17、点B (4, n)在这条抛物线上，.n=- -X4 2+3X4=- 8+12=4,2，点 B (4, 4);(2)二抛物线的图象向上平移 得个单位，平移后的图象的解析式 y=-1x2+3xJ；22(217(3)联立， 上七,y=x+b消掉 y 得，-x2+3x+=Ax+b,22 2整理得，x2- 5x+2b - 7=0, 二 (- 5) 2-4X1X ( 2b- 7) =0,解得b=呈，8令 y=0,贝卜x2+3x+I=0,整理得，x2- 6x - 7=0,解得 xi=- 1, x2=7,，抛物线与x轴左边的交点为(-1,0),当直线yx+b经过点(-1, 0)时，X (- 1) +b=0 2

18、2，当直线yx+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围为bbvL点评:本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于(3)求出直线与抛物线有三个交点时的b值，作出图形更形象直观.7.关于x的二次函数y=x2+2x+k - 1的图象与x轴有交点，k为正整数.(1)求k的值；(2)当关于x的二次函数y=x2+2x+k - 1与x轴的交点的横坐标均是负整数时，将关于 x的二次函数y=x2+2x+k - 1 的图象向下平移 4个单位，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其

19、余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y4x+b (b0. .k2. k为正整数, k=1, 2;(2)设方程x?+2x+k - 1=0的两根为xi, X2,贝Uxi+X2= 2, x1？ x2=k - 1.当k=1时，图象y=x2+2x+k - 1与x轴有一个交点为(0, 0),不合题意；当k=2时，图象y=x2+2x+k - 1与x轴有一个交点为(-1,0),符合题意；综上所述，k=2符合题意.当k=2时，二次函数为y=x2+2x+1,把它的图象向下平移 4个单位得到的图象的解析式为：y=x2+2x-3;(3)设二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴交于 A B

20、两点，则A ( - 3, 0), B (1, 0).依题意翻折后的图象如图所示.当直线yx+b经过A点时，可得bB;22当直线yx+b经过B点时，可得b=-二.22由图象可知，符合题意的 b (b 1).(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为 xi, X2(其中xiX2),若y是关于m的函数，且y=x-3x2,求这个函数的解析式;(3)将(2)中所得的函数白图象在直线m=2的左侧部分沿直线 m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围.45 -考点：一次函数综合

21、题.专题：压轴题.分析：(1)列式表示出根的判别式4,再根据0,方程有两个不相等的实数根证明；(2)利用求根公式法求出 x1、x2,然后代入关系式整理即可得解；(3)作出函数图象，然后求出 m=2时的函数值与以及 m=1时的翻折图象的对应点的坐标，再代入直线解析 式求出b值，然后结合图形写出 b的取值范围即可.解答： (1)证明： = ( 4m+1) 2 4m (3m+3 =4n2- 4m+1= (2m 1) 2, m 1, ( 2m- 1) 20,，方程有两个不等实根；铲 W1 V ( 2id - 1)(2)解：x=21Tl两根分别为 电工坦匚工=3, |41d4 - 211H4 . 1=1+4,m 1,0V 1,rr1 x2 ,x 1=3, x2=1+,ITy=x 1 3x2,=3-3 (1+-),二，IT所以，这个函数解析式为 y=-in(m 1);(3)解：作出函数y=-： (m 1)的图象，并将图象在直线m=2左