高中数学-平面向量应用举例练习

1、高中数学-平面向量应用举例练习基础巩固题组（建议用时：40分钟）、填空题1 .（-邵阳模拟）已知 a=（1 , sin 2x） , b= （2 , sin 2 x）,其中 xC （0 ,冗）.若| a b| = | a| b| ,贝U tan x 的值等于. 解析 由|a b| =|a| b| 知，a/ b.所以 sin2 x = 2sin2x, 即 2sin xcos x=2sin2x, 而 x e（0,冗），所以 sin x=cos x,即 x="4",故 tan x=1.答案12 . （南昌模拟）若| a| =2sin 15° , | b| =4cos15

2、° , a 与 b 的夹角为 30则a b的值是.a b=|a| b|cos 30° =8sin 15° cos 154X sin30 2解析8 一一冗 冗 . ._.一一. ._3 .（ 扬州模拟）函数y = tanx 万的部分图象如图所小，则（O/ OE） AB=解析由条件可得B（3,1） , A（2,0）,.(O得 OB AB= (O& OB (OB- OA = OB OA= 10-4 = 6.答案64 .已知| a| =2| b| , | b| wo且关于x的方程x2+1 a| x a b = 0有两相等实根, 则向量a与b的夹角是.解析由已知可得

3、A = |a|2+4a b = 0,即 4| b| 2 + 4X2| b| 2cos 8=0,1cos 8 = - 2p2九又< 0< 9 < tt , . 9 =-.35 . （ 安庆二模）在AABC, a, b, c分别为角A, B, C所对应的三角形的边长,若 4aBJ 2bCA 3cAB= 0,贝 U cos B= 解析 由 4aBG 2bCA 3cAB= 0,得一 一 一 一 一 一4aBG 3cAB= 2bCA= 2b( BA- BC) = 2bAB+2bBQ 所以 4a=3c = 2b.由余弦定理得cosB=b2 4, 2.2a2+c2- b2 7 9b b2a

4、cb2 一2 21124.a, b, c,若AB- AC= BA- BC= 1,6 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为那么c =解析由题意知AB AJ BA- B堤2,77gpAB- AC-AB- BC= AB-(AC+ CE)=AB2= 2? c= | AB| = 1'y2.答案 27 .已知在平面直角坐标系中，O(0,0) , M(1,1) , N0,1) ， Q2,3),动点P(x,y)满足不等式 0&OPOMc 1,0&OPONc 1,则z = OQ- OP勺最大值为解析 OP= (x, y), O阵(1,1) , O*(0,1),.,OP- O阵x

5、 + y, OP- ONky,00 x + y w 1,即在c条件下，求z = 2x+3y的最大值，由线性规划知识知，0< y<l当 x=0, y=1 时，Zmax= 3.答案38 . (东北三校一模)设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若(3bc)cos A= acos C,S AB户 业则BA-A最解析依题意得(3sinB sin C)cos A= sin Acos C,即 3sin Bcos A= sinAcos C+ sin Ccos A= sin( A+ C) =sin B>0,I ,1于是有cos A=w3sin A= 1 cos2A=,3f

6、 f1所以 bc = 3, BA- A最bccos(九一A) = bccos A= -3X-=- 1.3答案 1 二、解答题9 .已知圆C: (x 3)2+(y3)2=4及点A(1,1) , M是圆C上的任意一点，点N在线段MA勺延长线上，且M是2AN求点N的轨迹方程.解设 Mx。，y。)，N(x, y).由M是2AN 得(1 xo,1yo) =2(x1, y1),xo= 3-2x, yo 3 2y.点 M(xo, yo)在圆 C上,.(x。 3)2+(y。一 3)2=4,即(32x 3)2+ (32y 3)2 = 4. .2+丫2=1.所求点N的轨迹方程是x2+y2= 1.10. (北京海淀

7、模拟)在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若AB-AC= BA- B捻k(k R).判断ABC勺形状；若c=也，求k的化又ABAO BABG,bccos A= accos B,解 . AB- AG= cbcos A, BA- BG= cacos B, .sin Bcos A= sin Acos B,即 sin Acos B sin Bcos A= 0, . sin( A B) =0,b2+ c2 a2 c22bc = 2=k,Tt<A EK tt，.二 A= B,即ABCJ等腰三角形.(2)由知，AB- AObccos A= bc 能力提升题组(建议用时：25分钟)一

8、、填空题一一一LL1.已知向量 OB= (2,0),向量。热(2,2),向量 GA= (V2cos 民,/sin a),则向量OAf向量OB勺夹角的取值范围是 .一一 一LL解析由题意，得。是oa GA= (2+ V2cos a, 2+加sin a), 所以点A的轨迹是圆(x 2)2+ (y 2)2 = 2,如图，当A位于使直线OA与圆相切时，向量OAf向量OB勺夹角分别达到最大、最小值.2ad-ab2,九 5-Z -Z 兀12，121 2. （北京东城区期末）已知 AB久等边三角形，且AB+ 2AA AG 网=中,那么四边形ABCD勺面积为f f f 1- f f解析 如图所示，C*AD-A

9、G= 2AD-AB,.CD=f f f f即 3 = 1AD+A4一AD- AB,. |AD = |AB, 5| AD2| AD| ABcos 60 0 = 3, . .| AD =2. 1 1又BC= AC-AB= 2AD |BC=2|AD = 1,1+ -X 1 X2也=2取.|BC2+|CD2=| BD2, BCLCD12. S 四边形 abcd= Saabd+ Sabcd= 2 X 2 乂 sin 603 答案2 133.如图， ABC的外接圆的圆心为 O, AB= 2, A最3, BG=干，则AO-BCR"解析 AO- BG= AO- (AC-A§ = AO- A

10、G-AO- AB, 1 因为OA= OB所以AOEAB1的投影为2l AB. 1 所以AO- A五21AB - |AB =2, 1 9同理AO. AG= 21Aq . I AC =2,95故AO, BC= 2 2=2.5答案2二、解答题4. ( 南通模拟)已知向量mn= >/3sin 4, 1 ,n= coscos2：.44(1)若 m n= 1,求 cos 27 x 的值； 3(2)记f(x) = m-n,在AABC中，A A, B, C的对边分别是a, b, c,且满足 (2 ac)cos B= bcos C,求函数f( A)的取值范围.x x x x解 (1) m n = sin 4 - cos 4+ cos4xX 1 + cos 2x 12+-6 +2，2 +2-sinm. n= 1,.x,冗sin 2 + j12.冗cos x+ =37tsin2 2+百2'cos 2-x = - cos x +A = 1. 332(2) . (2 a c)cos B= bcos C,由正弦定理得(2sin A sin C)cos B= sin Bcos C, . 2sin Acos B sin Ccos B= sin Bcos C. . 2sin Acos B= sin( B+ C). A+ B+ C=兀, . sin( B+