数竞平面几何讲义教师版

1、平面几何（四点共圆）冲刺讲义_班 _ 号 姓名 _一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1. 欧拉线： 的垂心，重心，外心三点共线 . 此线称为欧拉线，且有关系：2. 九点圆定理： 三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点九点圆的半径是的外接圆半径的.3. 三角形内心与旁心的性质： 的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；，；（角平分线定理） ；（“鸡爪”定理）.二、例题分析例

2、1. 是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证： .证明： 过作的平行线分别交、于、，则.取中点，连接、.，四点共圆 .，而由，有 .，四点共圆 .，而， .而是的中点，是的中点，.例 2. 等腰梯形中，分别是，的内心，是直线上的一点，的外接圆交的延长线于 . 证明：证明：，故共圆，则，因此，而，所以，由此，例 3.在中，内心为，内切圆在，边上的切点分别为，设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆.证明： 设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以，且相似比为，熟知：。又，所以，即是的中点进而，所以都在

3、以为圆心的同一个圆周上例 4. 设 A、B为圆 上两点， X为 在 A和 B处切线的交点，在圆 上选取两点 C、D 使得 C、D、 X 依次位于同一直线上，且CA BD，再设 F、 G分别为 CA和 BD、 CD和 AB的交点， H 为 GX的中垂线与的交点证明：、 、 、H四点共圆BDX F G证明： 设 O为圆心， ABXO=M XOA XAM， OX· XM= XA 2 = XC· XD O、 M、C、 D四点共圆 XMO= OCD= ODC= OMC CMG= GMD在 CM上选取一点 E使 MX DE，则 MD= ME在 GX上取点 X，使 GFD= DFX，在

4、X F 上取 W使CFGW由得CG·X D = X C· GD由上面两式得=，故 X = X GFD= XFD又 = < 1和 XPB=CDF< 1 H和 B在 CX的同一侧设 H为直线 BF与 GFX外接圆的交点，则 H XG= HFG= H FX= H GX HG= HX， H = H X、 F、G、 H四点共圆，得证注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证 .例 5. ABC中， E、 F 分别为 AB、 AC中点， CM、 BN为高， EF交 MN于 P， O、H

5、 分别为三角形的外心与垂心求证： AP OH证明： 由 BMC= BNC= 90 °知 B、 C、N、 M四点共圆 AM· AB= AN·AC又 AE= AB, AF = AC， AM· AE= AN· AF，即 E、 F、N、 M共圆注意到由 AMH= ANH= AEO= AFO= 90 °知AH、 AO分别为 AMN、 AEF外接圆的直径过 AH中点 H与 AO中点 O分别为 AMN与 AEF的外心，且易知 O H OH 只需证 AP OH，只需证 A、 O为 AMN、 AEF外接圆的等幂点即可注意到 A为两圆公共点，而由 E、

6、F、N、 M共圆知 PM· PN= PE·PF故 P也为等幂点综上所述，原命题成立例 6. 设 ABC内接于圆O，过 A 作切线 PD，D 在射线 BC 上， P 在射线 DA上，过 P 作圆 O 的割线PU， U在 BD上， PU交圆 O于 Q、 T 且交 AB、 AC于 R、 S证明：若 QR= ST，则 PQ= UT证明： 过 O作 OK PU= K， OFBU= F，连结 AK延长交 O于另一点 E，过 C作 CH PU交 AE于 G，交 AB于 H，连 GF、OP、 OU、 OA、 OE由垂径定理知 BF = FC, QK= KT，且 QR= ST RK= KS

7、即 K是 RS的中点，且 CH PU =?=1?HG= GC由中位线定理知FG BH FGE= BAE= BCE? F、 G、 C、 E 共圆 EFC= EGC= AGH= UKG EFO+ OKE= OFC+ CFE+ OKE= 90 ° + ( UKG+ OKE)= 90° +90 ° =180 ° K、 O、F、 E 四点共圆又 OKU+ OFU= 2 × 90° = 180 °， K、 O、F、 U四点共圆结合知K、 O、F、 E、U五点共圆， KUO=KEO又PA为 O切线 ?OA PA，且 OK PU ? KEO

8、= KAO KPO= KUO?OP= OU又OKPU， PK=UK而 QK= TU， PQ= UT，得证例、为切线，为一条割线，为中点，P为一动点，满足、 、P三点共线，P为以ACOADEMDEM OP 点为圆心、 PD为半径的圆证明：C点在 BMP外接圆与 P 的根轴上证明： 作 PR AC，其延长线交BC延长线于 S OMA= OBA= OCA= 90 °， A、 C、O、 M、 B五点共圆 BMP= BMA+ 90 ° = BCA+ 90 ° = 180 ° RSC B、 M、P、 S 四点共圆 C对 BMP外接圆的幂为 CB· CS=

9、2CA· CR而 C对P的幂为CP2PD2 =CP2 (AP2·)=CP2AP2+AC2AD AE=CR2 +RP2 PR 2AR 2 +AC 2=CR2( CR+ CA) 2 + CA 2= 2RC· CA C点对 P 的幂等于 C点到 BMP外接圆的幂 C点在上述两圆根轴上，得证例 8. 设 H为 ABC的垂心， D、 E、 F 为 ABC的外接圆上三点，使ADBE CF， S、 T、 U分别为 D、E、 F 关于边 BC、CA、 AB的对称点求证：S、 T、 U、 H四点共圆证明：先证引理： ABC外接圆 O与它的九点圆 V 关于 ABC的垂心 H位似，且位

10、似比为引理的证明：设、 、分别交边、于、，交O于、AH BH CHBC CA ABO EFDEF易知 HD= HD,HE= HE , HF= HF DE F与 DEF关于 H位似，位似比为 外接圆与外接圆关于H位似，D E FDEF即 O与 V 关于 H位似，位似比为回到原题：设 BC、CA 、 AB中点分别为 X、 Y、Z，过 D作 DP BC，交 O于 P，设 PH中点为 W易知 SDBC，设 PS交 BC于 X，则由 SD关于 BC对称知 SX = X D X为 BC中点，即 X 与 X重合，即 P 与 S关于 X对称同理 P与 U、T 分别关于 Z、Y对称 四边形 USHT与四边形 Z

11、YWX对称由引理知 Z、 X、 Y、W四点共圆 U、 T、H、 S 四点共圆，得证例 9. 给定锐角 ABC，过 A 作 BC的垂线，垂足为 D，记 ABC的垂心为 H，在 ABC的外接圆上任取一动点 P，延长 PH交 APD的外接圆于 Q求 Q点的轨迹解： Q点轨迹为 ABC的九点圆如图，取 AH、 BH、PH的中点 M、 N、 K，延长 AD交 ABC外接圆于 G则熟知 HD= DG，连接 KN、MN、 KD、PB、 PG因为各取中点有 NKD= BPG, NMD= BAG K、 N、M、 D四点共圆又 Q在 APD的外接圆上， PH· HQ= AH·HD，即 2 KH

12、· HQ= 2 MH· HD KH· HQ= MH·HD于是有 K、D、 Q、 M、 N五点共圆又 DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上反之，在如上所述九点圆上任取一点Q，设 Q H延长线交 ABC外接圆于 P，取 P H中点R，同上可证R在九点圆上故 2 RH·HQ = 2 MH· HD，即 P H· HQ = AH· HD因此 Q在 AP D外接圆上得证例 10. 在中，D是边上的一点，设1、 2 分别是、的外心， 是经过、 1、ABCBCOOABDACDOA OO2 三点的圆的圆心求证： O D BC ?A

13、D恰好经过 ABC的九点圆心证明： 连 AO1、 BO1、 AO2、 CO2，作 AB、 AC垂直平分线交于点O 2=2=1,1 =1,2 =2，AOCADBAOBAOBOAOCO AOB AOC AOO ABC1212 AO1O = 180 ° AO1B = 180 ° AO2C = 180 ° AO2O故 O在 O上， O是 ABC的外心，故 AOO AO1B又 ADB= 1, O1AB = O AO= O OA O DBC ? BAO1= ADO ? ADO = O DA? A、 O、 O、D共圆? AO O= 180 ° ADO= ADB+ OD

14、C? ADB= ODC( AO O= 2 ADB)如图，设 OH与 AD交于点 K，作 BC中垂线 OM，交 AD延长线于点 M， OM与 BC交于点 L由 ADB= ODC? DL = LM ? OM= 2 OL = AH? AKH MKO? OK= KH? K 为九点圆心 ? AD经过 ABC的九点圆心综上所述，命题得证例 11.内接于 , 自作的切线 , 又以为圆心 , 为半径作交直线于，交直线于；则四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心.以下，我们仍按情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明 : 、如图 , 设的平分线交于，因，则点关于直线对称，又因在上,则，因此共

15、圆,由于为的切线，则，又由，所以，因此为的内心.、据条件知，为矩形, 设角平分线交直线于，连，由 (1) 知 , 点关于直线对称，故，则为的外角平分线，因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，由，则共圆.故共线 ,因此为边外的旁心.、设的外角平分线交直线于，连，因故共圆 .所以共线 ,即是的外角平分线,因此为边外的旁心例 12. 三角形中，是的中点，分别是边上的点，且 的外接 圆 交 线 段于若点满足：证明：证明： 在圆中，由于弦故圆周角，因此，与分别共圆，于是设点在边上的射影分别为，则 ，故由得， 1设 的内心为今证四点共圆：连 因分别共圆，则，又由 1，所以 因此而所以因为故得，因此四

16、点共圆，于是延长交的外接圆于则为该外接圆的直径,于是且因此 ,点 O是所在圆的圆心,从而为的切线.延长交于 T,则 , 所以 ,又由 ,得,因故.延长到 , 使，则为平行四边形,.由得.由 、得所以， ,即.三、巩固训练1. 为正三角形的边上的任意一点，设与的内心分别为，外心分别为；证明：证明： 如图，据内心性质，有，所以共圆，即点在上，而，得点也在上，即五点共圆此圆的圆心即为的圆心；注意的平分线也是的中垂线，即共线，因此；同理有五点共圆，圆心为，因此，且由于，则；又在中，；在中，；所以，于是从而，由于在直角三角形中，所以有2. ABC内切圆与 BC切于 K， AD是 BC边上的高， M为 A

17、D中点， MK与 ABC内切圆交于 K、 N求证： BNC外接圆与 ABC内切圆切于 N证明： 设 ABC关于 BAC的旁切圆为 I A，半径为 r A， ABC内心为 I ， I 半径为 r ， I A切 BC于 T， KI 交 I 于 K、S，则 = =，I AT IS ( 均垂直于BC)，A、 S、 T 共线 I 为 SK中点， M为 AD中点， SK AD， T、I 、 M共线 = = = ,IKI AT， M、 K、 I A三点共线设 I 关于点 K、 N切线交于 Q，则 QI NK设 QI 交 NK于 R，则 IB 平分 ABC，I AB 平分 ABC外角， IBI A = 90

18、°又 IRIA= 90 °，I、 、A、R共圆B I同理 I 、R、C、 IA共圆，I 、B、I、 C、R共圆A QB· QC= QR·QI IQ KN, IK KQ， QR· QI = QK2 QB· QC= QK 2 = QN 2， BNC外接圆有切线 QN又 QN为 I 切线， BNC外接圆与 ABC内切圆切于 N，证毕3. 已知 ABC的三边分别交 O 于 X、 X、 Y、 Y、 Z、 Z若 AYZ、 BXZ、 CXY的外接圆交于一点 M， AY Z、 BXZ、 CY Z的外接圆交于一点 M求证： OM= OM证明： 设 M的等角共轭点为M1，在 BC、 AC、 AB上分别取点X1、 Y1、 Z1 使 M1X1B = M1Y1C = M1Z1A =MXC= MYA= MZB A、 Y1、Z1M四点共圆 AZ1Y1 = AM1Y1 = M1Y1C M1AC= MZB MAB= AMZ= AYZ Y1、 Y、Z1、