中考数学压轴题专题

1、专题 1:抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线y ax2 bx c a 0，点P在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若 ABP 为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB为底时（即PA PB）:点P在AB的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB的中点M ; 利用两点的斜率公式求出 kAB，因为两直线垂直斜率乘积为 1,进而 求出AB的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点 P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： 以 A 为顶角时（即

2、AP AB）:点P在以 A 为圆心以AB为半径的圆上。 以 B 为顶角时（即BP BA）:点P在以 B 为圆心以AB为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出 e A（或 e B）的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物 线的对称轴）的解析式联立即可求出点 P坐标。 专题 2 :抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB，抛物线y ax2 bx c a 0，点P在抛物线上（或坐标轴 上，或抛物线的对称轴上），若 ABP 为直角三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB为斜边时（即PA PB）:点P在以AB为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB的中点M ；利用圆的一般方程列出 e M 的方程，与抛物

3、线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点 P坐标 （2） AB为直角边时，分两类讨论： 以 A 为直角时（即AP AB）： 以 B 为直角时（即BP BA）: 利用两点的斜率公式求出 kAB，因为两直线垂直斜率乘积为 1，进而求出PA （或 PB）的斜率k;进而求出PA （或 PB）的解析式； 将PA （或 PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析 式联立即可求出点P坐标。 所需知识点： * 一、 两点之间距离公式： 已知两点 P ,Q x2 ,y2 ， / 厂 则由勾股定理可得：PQ J Xi X2 2 yi y2 2。 Q X 圆的方程: 点P x,y在O

4、 M ，O M 中的圆心 M 为a,b，半径为 R。 则 PM JX訂 yR，得到方程: x a 2 y b 2 R2。 P 在的图象上，即为。M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点P X! ,Q X2$2，则线段 PQ 的中点 M 为 也 企 2 2 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点P ,Q X2$2，则直线 PQ 的斜率：kPQ 中考压轴题专题 3： 抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB，抛物线y ax2 bx c a 0，点P在抛物线上(或 坐标轴上，或抛物线的对称轴上) ，若四边形 ABPQ 为平行四边形， 求点 P 坐标。 分两大类进行讨论： (1) AB为边时 (2

5、) AB为对角线时 二、 已知AB，抛物线y ax2 bx c a 0 ,点P在抛物线上(或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上)，若四边形 ABPQ为距形，求点P坐标。 在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： ( 1 )邻边互相垂直 ( 2)对角线相等 三、 已知AB，抛物线y ax2 bx c a 0，点P在抛物线上(或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上)，若四边形 ABPQ为菱形，求点P坐标。 在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： ( 1 )邻边相等 ( 2)对角线互相垂直 四、 已知AB，抛物线y ax2 bx c a 0，点P在抛物线上(或

6、坐标轴上, 或抛物线的对称轴上)，若四边形 ABPQ为正方形，求点P坐标。 在四边形 ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： ( 1)邻边相等 (2)对角线互相垂直 在四边形 ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： 1 )邻边互相垂直 2)对角线相等X2 (2) ax2 bx c a 0 ,点P在抛物线上（或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上），若四边形 ABPQ为梯形，求点P坐标 分三大类进行讨论： （1）AB为底时 （2）AB为腰时 典型例题：典型例题： 例 1 （08 深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c（a 0）的图象的顶点为

7、 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交 于 A、B两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB= OC， 1 tan / ACO= . 3 （1）求这个二次函数的表达式. （2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E,在该抛物线上是否存在这样 的点F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆 与 x 轴相切，求该圆半径的长度. 如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛 物线上一动点，当

8、点 P 运动到什么位置时， APG 的面积最大？求出 此时 P点的坐标和 APG 的最大面积 |y *yP，使以点 P, A, C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；五、已知AB ,抛物线y 例 2 （2009 年烟台市）如图,，抛物线 y ax2 bx i 3 与 x 轴 轴交于 c 点，且经过点 (1) ：2，3a），对称轴是直线_x 言对应的函数表达点，与 y 点作直线与x轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 （3）AB为对角线时 (4) E O 求抛 C 经过 C, 交于 A, B (3) 设直线y x 3与 y 轴的交点是 D

9、，在线段 BD 上任取一点 E (不与 B, D 重合)，经过A B, E 三点的圆交直线 BC 于点 F ,试判断 AEF 的形状，并说明理由； (4) 当 E 是直线y x 3上任意一点时，(3)中的结论是否成立？(请 直接写出结论). 例 3. ( 2009?临沂)如图，抛物线经过 A ( 4, 0 -2 )三点. (2) P 是抛物线上一动点，过 P 作 PML x 轴，垂足为 使得以 A, P, M 为顶点的三角形与 OAC 相似？ 合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得第第DCA!图图面积最大，求 出点 D 的坐标. 思

10、路点拨 1 .已知抛物线与 x 轴的两个交点， 用待定系数法求解析式时， 设交点式比 较简便. 2. 数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长. 3. 按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程. 4. 把 DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA. 满分解答(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(4 , 0)、B (1, 0)两点，设抛物线的解 析式为y a(x 1)(x 4)，代入点 C 的坐标(0， 2),解得 1 a 丄.所以抛物线的解析式为 2 1 1 2 5 y (x 1)(x 4) x x 2 . 2 2 2 1 (2)设点 P 的坐标为(x, (x

11、1)(x 4). 2 1 (1)求出抛物线的解析式; M,是否存在 P 点, 存在，请求出符 i- 宰 y O A (1, 0), (0, Bx ,B 1 M 如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1v x V 4, PM -(x 1)(x 4), AM 4 x. 如果 AM AO 2 , 那么- ；(x 1)(x 4) 2 .解得x 5不合题意. PM CO 4 x 如果 AM AO 1 那么 1(x 1)(x 4) 1 -.解得x 2 . PM CO 2 4 x 2 此时点 P 的坐标为(2, 1). 1 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4, PM (x 1)(x 4) , AM

12、 x 4 . 2 1 -(x 1)(x 4) 解方程2 2，得x 5 此时点 P 的坐标为(5, 2). x 4 1 -(x 1)(x 4) 1 解方程2 -，得x 2不合题意. x 4 2 1 如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，XV 1, PM -(x 1)(x 4) , AM 4 x . 2 1 (x 1)(x 4) 解方程2 2，得x 3 .此时点 P 的坐标为(3, 14). 4 x 1 -(x 1)(x 4) 1 解方程2 -,得x 0 此时点 P 与点 O 重合，不合题意. 4 x 2 点 P 的坐标为(2, 1)或(3, 14)或(5, 2). 图 2 图 3 图 4 1

13、(3) 如图 5,过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E.直线 AC 的解析式为y丄x 2 . 2 1 5 设点 D 的横坐标为 m(1 m 4)，那么点 D 的坐标为(m, m2 m 2), 2 2 1 综上所述，符合条件的 点 E 的坐标为(m, m 2) 所以 2 1 2 5 1 1 2 DE ( -m2 m 2) (m 2) m2 2m . 2 2 2 2 1 1 因此 S DAC ( m2 2m) 4 m2 4m (m 2)2 4. 2 2 当m 2时， DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为(2, 1). 图 5 图 6 例 4.如图 1，已知抛物线 y=x2 + bx+ c

14、 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)， 与y 轴交于点 C(0，- 3)，对称轴是直线 x = 1，直线 BC 与抛物线的对称轴 交于点D. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 求直线 BC 的函数表达式； (3) 点 E 为 y 轴上一动点， CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两 点，且点 P 在第三象限. 当线段PQ -AB时，求 tan / CED 的值； 4 当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标. 温馨提示：考生可以根据第(3)问的题意，在图中补出图形，以便作答. 思路点拨 1.第(1 )、( 2)题用

15、待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后 续的解题. 2 .第(3)题的关键是求点 E 的坐标，反复用到数形结合，注意 y 轴负半 轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系. 3 .根据 C、D 的坐标，可以知道直角三角形 CDE 是等腰直角三角形，这样 写点 E 的坐标就简单了. 满分解答(1)设抛物线的函数表达式为y (x 1)2 n，代入点 C(0，- 3)，得 n 4 .所以抛物线的函数表达式为y (x 1)2 4 x2 2x 3 . (2) 由 y X1 2 3 2x 3 (x 1)(x 3)，知 A( 1 , 0), B(3, 0).设直线 BC 的函 B ( 0，-4 )，C ( 2

16、，0)三点. 2 求抛物线的解析式； 数表达式为y kx b，代入点 B(3 , 0)和点 qO 3)，得3k b 0, b 3. 解得k 1，b 3 .所以直线 BC 的函数表达式为y x 3 . (3) 因为 AB= 4，所以PQ - AB 3 .因为 P、Q 关于直线 x= 1 对称， 4 所以点 P 的横坐标为1 .于是得到点 P 的坐标为 1 7，点 F 2 2， 4 的坐标为 o 7 .所以 FC OC OF 3 - -， EC 2FC 5 . 4 4 4 2 进而得到OE OC EC 3 5丄，点 E 的坐标为 1 . 2 2 2 直线 BC:y x 3与抛物线的对称轴 x= 1

17、 的交点 D 的坐标为(1， 2). 过点 D 作 DH 丄 y 轴，垂足为 H. 在 RtA EDH 中， DH= 1, EH OH OE 2 1 4，所以 tan / CED DH 2 . 2 2 EH 3 P(1血, 2)，巳(1 6 5). 图 2 图 3 图4 考点伸展第(3)题求点 P 的坐标的步骤是：如图 3，图 4，先分两种情况求 出等腰直角三角形 CDE 的顶点 E 的坐标，再求出 CE 的中点 F 的坐标，把点 F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的 x 的较 小的一个值就是点 P 的横坐标. 例 5. ( 2010?河南)在平 面直角坐标系中，已知抛物线经过 A( -4，

18、0 )， (3)若点 P 是抛物线上的动点点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个 位置能够使得点 P、Q B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出 相应的点 Q 的坐标. 解：(1)设抛物线的解析式为 y=a ( x+4) ( x-2 ), 如图 2，当 BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合,OP=4.四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4 Q 横坐标为 4，代入 y=-x 得出 Q 为(4, -4 ). 3 若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m AMB 上一动点，求 APQ 的最大面积和此时 Q 点的坐标. 故满足题意的 Q 点的坐标有四个

19、，分别是(-4 , 4) ,( 4, -4 ), f C-2-25? 2+25) J 例 6. (2013?眉山)如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在 x 轴上，点 C、D 在 y 轴上，且 OB=OC=3OA=OD=1 抛物线 y=ax2+bx+c (a0)经过 A B C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点 M. (1) 求这条抛物线的解析式； (2) P 为抛物线上一动点，E 为直线 AD 上一动点，是否存在点 P,使以点 A、P、 E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由. .抛物线的解析式为：y=x2+2x-3 . (2)存在.

20、 APE 为等腰直角三角形，有三种可能的情形： 以点 A 为直角顶点. 如解答图，过点 A 作直线 AD 的垂线，与抛物线交于点 P,与 y 轴交于点 F. v OA=OD=1 则 AOD 为等腰直角三角形, PAL AC,贝 U OAF 为等腰直角三角形， OF=1 F ( 0, -1 ). 设直线 PA 的解析式为 y=kx+b，将点 A (1 , 0), F (0, -1 )的坐标代 整理得：X2+X-2=0 , 解得X=-2或X=1 , 当 X=-2 时,y=x-1=-3 , -P （ -2 , -3 ）; 以点 P 为直角顶点 此时/ PAE=45，因 此点 P 只能在X轴上或过点

21、A 与 y 轴平行的直 线上 过点 A 与 y 轴平行的直线，只有点 A 一个交点，故此种情形不存在； 因此点 P 只能在X轴上，而抛物线与X轴交点只有点 A、点 B,故 点 P 与点 B 重合. -P （ -3，0）; 以点 E 为直角顶点此时/ EAP=45，由 可知，此时点 P 只能 与点 B 重合，点 E 位于直线 AD 与对称轴的交点上，即 P （-3，0）; 综上所述，存在点 P,使以点 A、P、E 为顶点的三角形为等腰直角 三角形.点 P的坐标为（-2，-3 ）或（-3，0）. 例 7. （2010?宜宾）将直角边长为 6 的等腰 Rt AOC 放在如图所示的平 面直角坐标系中，

22、点 0 为坐标原点，点 C、A 分别在X、y 轴的正 半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B （-3，0）. （1）求该抛物线的解析式; （2）若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E， 连接 AP，当厶 APE 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点 6,使厶 AGC 的面积与（2） 解：（1）如图，T抛物线 y=ax2+bx+c （ a0）的图 象经过点 A（ 0,6）,故lit拋牧线的解析式为：y=-|x2+x+6. 1分 2设点P的坐标为血 2 * SAABC=BC fcAO-X 9 x fi=2Ti 1分

23、） 2 1 VPE/AB, A iCEP*- A CAB:门分） Cz ? fPC,2 A /辿 迄号）J -ACEP=T * （1分） ，-SAAPC=TPChA0=i （E-m） 6 = 3 t 6-in）, J- 丄 人 S吐AFE二S“AFCS也 CEF*二？-皿-（6-皿） 当m諾时* SAAPE*最大面积力斗 4 此时，点P的坐标为0） C1*） 例 8 （ 2012?从化市一模）如图（1）,在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx-3a 经过 A（ -1 ， 0）、B（ 0， 3）两点，与 x 轴交 于另一 点 C，顶点为 D. （1） 求该抛物线的解析式及点 C、D 的坐标

24、； （2） 经过点 B、D 两点的直线与 x 轴交于点 E,若点 F 是抛物线上一点， 以 A、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 F 的坐标； （3） 如图（2） P （ 2，3）是抛物线上的点，Q 是直线 AP 上方的抛物线 |FC = n-m. 4 A 7 % E/A c _ _ / 1 0 / 0 (2) (1) y=-x 2+2X+3=- (x-1 ) 2+4 二 D( 1 , 4) 例 9.(四川省遂宁市)如图，二次函数的图象经过点 D(0, 7,3)，且顶点 C 的 9 横坐标为 4， 该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6. (1) 求该二次函数的解析式； (

25、2) 在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+ PD 最小，求出点 P 的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点 0,使厶 QAB 与厶 ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. (1) 设二次函数的解析式为：y=a (x-h ) 2+k (2) v点A B 关于直线 x=4 对称 PA=PB PA+PD=PB+KDB 当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M PM/ OD 二/ BPMMBDO 又I/ PBMMDBO 例 10 .(四川省内江市)如图所示，已知点 A( - 1，0

26、)，B(0，3)，C(0，t)， 且 t 0, tan / BAC= 3，抛物线经过 A、B、C 三点，点 P(2，m)是抛 物线与直线 I: y = k(x+ 1)的一个交点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 对于动点 Q(1, n)，求 PQ+ QB 的最小值； (3) 若动点M在直线 I 上方的抛物线上运动， 求 AMP 的边 AP 上的高 h 的最 大值. (3) 过点P 作 PNLx轴于点 N,过点 M 作 MKLx轴于点 K, 设点 M 的坐标为(x, -x2+2x+3), 二;I 1+x) C-i：:+2i+3J (-IS2+2Z+3+3 2-范丿一彳 X 乌 X 2 27

27、T? A APM的绘人iH拘 .- A AMP的边上的高h的最夫值划芈. APU-AAKM+ttJSPNKM-APNA 1 例 11.(广东省深圳市)已知：RtAABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2,将这 个直角三角形放置在平面直角坐标系中， 使其斜边 AB 与 x 轴重合(其 中 OAv OB),直角顶点 C 落在 y 轴正半轴上(如图 1). 求线段 OA、OB 的长和经过点 A、B、C 的抛物线的关系式. 0P (1) (2) 当 BDE是等腰三角形时, 又连接 CD、CP (如图 的最大面积和此时点 点 P (m, n)是该抛物线上的一个动点 于点 E. 直接写出I此时点 E 的坐

28、标. 金 CDP 是否有最大面积？若有，求出 CDP 坐标；若没有，请说明理由. ，而没有说明理由的, 或最大面积计算错误的，扣(1 分)；其他解法只要合理，酌情给分图)3 例 12. (2008 年四川省宜宾市)已知：如图抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别 相交于点 A (-1 , 0)、B (0, 3)两点，其顶点为 D. (1) 求该抛物线的解析式； (2) 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E.求四边形 ABDE 的面积； (3) AOB 与厶 BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说 明理由 (注：抛物线 y=ax2+bx+c(a 工 0)的顶点坐

29、标为 抛物线的线的解析式为y x2 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1, 4) 所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称，所以 设对称轴与 x 轴的交点为 F 所以四边形 ABDE 的面积=S ABO S梯形 BOFD BE= BO2 OE2 . 32 32 3 2 DE= 、DF2 EF2 、22 42 2、5b 4ac b2 2a， 4a 满分解答：1.解：(1)由已知得: 解得 c=3,b=2 =1 AO BO 1 (BO DF) OF 1 EF DF 2 2 2 _1 1 3 - (3 4) 1 1 2 4 =9 2 22 (3) 相似 如图， BD= BG 2 D

30、G2 所以 BD2 BE2 20, DE2 20 即： BD2 BE2 DE2,所以 BDE 是直角三 角形 所以 AOB DBE 90 ,且竺吏 2, BD BE 2 例 13.(2008 年辽宁省十二市)如图 16，在平面直角坐标系中，直线 y .3x ,3 与x轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线y ax2 - 3x c(a 0)经过 3 A, B，C 三点. (1) 求过 A B，C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标； (2) 在抛物线上是否存在点 P，使 ABP 为直角三角形，若存在，直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由； (3) 试探究在直线 AC 上是否存在一

31、点M，使得 MBF 的周长最小，若存在, 求出 M点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1) Q直线y -3x .3与x轴交于点 A，与 y 轴交于点 C . A( 1，)，C(0, . 3) . 1 分 Q点 A，C 都在抛物线上， 抛物线的解析式为y x2 .3 . 3分 所以 AOB : DBE . 3 3 顶点F 1,仁 . 4 分 3 (2) 存在 . 5 分 R(0,妁 . 7 分 P2(2,、3) . 9 分 (3) 存在 . 10 分 理由：解法一： 延长 BC 到点 B，使 BC BC ,连接 BF 交直线 AC 于点 M，则点 M 就是所求 的点. 设直线 B F 的解析

32、式为y kx b 2.3 43 3 3k b k b 解得 33 . 13 分 2 解：（ 1） 3x2 3 中，令 y 0 y (2)由 y 3 2 x 4 3 x 4 3 ，得 3 y1 X2 y2 y 、3x 一 3 品 343 3 x - 解得 7 - 1/3 M 3， 7 10 込 7 6 2 y 亍， 在直线 AC 上存在点M，使得 MBF 的周长最小，此时M - , 13 .14 分 7 7 例 14.（2008 年四川省巴中市）已知：如图 14，抛物线y - x2 3与x轴交于 4 3 3 点 A，点 B，与直线y - x b相交于点 B，点 C，直线y - x b与 y 4

33、4 轴交于点 E . （1） 写出直线 BC 的解析式. （2） 求厶 ABC 的面积. （3） 若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动（不与 A B 重合），同时，点 N 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运 动.设运动时间为 t 秒，请写出 MNB 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求 出点 M 运动多少时间时， MNB 的面积最大，最大面积是多少？ 3 BNP sBEO I可得: 12 Q此抛物线开口向下， 当 t 2 时，S最大 一 5 一 12 当点 M 运动 2 秒时， MNB 的面积达到最大，最大为 5 例 15 (2010?内江)如图，抛物线 y=mx2-2mx-3m ( m0)与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点. AB 9 1， 4 ,B(2,0) CD SA ABC (3)过点 N 作 NP MB 于点 P BN BE NP EO 由直线 在厶 BEO 中, BO 2, EO t，则 BE I 2t J 2