二阶常微分方程的降阶解法讲解

1、郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学 专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213指导教师程春蕊职称讲师2015年4月5号二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置，普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面，不少应用范例都归结为二阶线性 常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微 分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程 的求解却有一定程度的困难，迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。本文主要

2、考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系 数线性微分方程的求解问题，首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方 程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子 乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分 形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程， 可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐 次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变 系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易 法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微

3、分形式Order reduction method of second order ordinary differential equationsJingjing JiaChunrui Cheng111106213AbstractOrdinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary different

4、ial equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstan

5、ces,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well

6、-established general method.This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient

7、linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,weshould use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant coefficient linear differential equation into the f

8、irst order differential equation. Finally, We first order differential and integral form on both sides, solve the first order linear differential equations and find out a special solution or general solution of the second order linear constant coefficient differential equation. We solve the problem

9、of second order homogeneous linear differential equation with variable coefficients, and should be turned into the appropriate equation, through the order reduction method to solve the second order homogeneous general solution of differential equation with variable coefficients.Solving non-homogeneo

10、us linear differential equation, we need to calculate it by applying the method of constant variation of a particular solution, problem is solved accordingly.Keywordssecond order ordinary differential equation ;Order reduction method; Characteristic root;Constant variation method;A first order diffe

11、rential form.第一章预备知识2第二章二阶常系数线性微分方程的降阶法 52.1 提出问题52.2 二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法 62.3 举例62.4 小结8第三章二阶变系数线性常微分方程的降阶法 93.1 提出问题103.2 二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法 103.2.1 求满足条件 1的恰当方程的通解103.2.2 求满足条件2的恰当方程的通解 123.3 小结 14第四章可降阶的二阶常微分方程15d2y _4.1 7X - "x型的微分方程15S_f xdy4.2 d2xf Ix,dxJ型的微分方程15dy_f ydy4.3 d2xI'dxJ型的

12、微分方程 16第五章 可降阶的高阶常微分方程 185.1 yn )=f(x 浬的方程185.2 F(x,y)y3Ly(n)=01«k«n )型的方程185.3 F(y,y',y",.,y(n)=0 的方程19205.4 F(x, y,y',., y(n »=dG(x, y, y',., y(n,»=0型的方程. dx总结21致谢22参考文献23二阶常微分方程的降阶解法, 9 ,班级学号1111062贾静静指导教师程春蕊职称讲师第一章预备知识1 .只有自变量、未知函数及函数的导数(或微分)构成的关系式，就是微分方程。通过求

13、解微分方程求出未知函数。当在微分方程中只有一个 自变量时，我们便称为 常微分方程。2 .考虑一阶线性微分方程y'= p(x)y+Q(x)(1.1)其中p仅,q(x在考虑的区间上是x的连续函数。如果 Q(x)=0 则式(1.1)变为y'=p(x)y(1.2)式(1.2)称为一阶齐次线性微分方程。如果 Q(x)#o,则称式(1.1)为一阶非齐次线性微分方程。式(1.2)是变量分离方程，我们可以求得它的通解为y = ceP，"(13、这里c是任意常数。下面探讨非齐次线性方程(1.1)通解的求法。不难看出，(1.2)是(1.1)的特殊情形，可以想像一下：在(1.3)中，将常数

14、c变易为x的待定函数c(x 令y =c(xe,P(xdx(14、.微分，得y' = c'(x e'P(xdx+cxRx e'(15、将(1.4) , ( 1.5)代入(1.1 ),得到y' = c'(x e "" dx + c(x p(x e 'p(x dx = P(x cx eJp(xdx + Q(x)即c'(x)= iQ(xeP(xdXdx积分后得到 c(x)= Q(x e二"d'dx+c1.这里ci是任意常数。将上式代入(1.4)得到方程(2.1)的通解y = e P (x dx I J

15、Q (x p-P(x d'dx + c1这种将常数变易为待定函数的方式，我们通常称为常数变易法。3 .分离变量法一阶微分方程的显式形式是y'= f (x, y刑M(x, y )dx+ N(x,y dy = 0 (1.6)分离变量法主要是用于解显式形式中变量可分离的方程y'= "*乎(丫)和fi x gi y dx f2 x g2 ydy =。方程 y'=f(xy(y)(1.7)用占乘以等式两端，得到dy ="*,这样变量*与丫分离了。再将两y''' y端取不定积分，得2="(xdx+C,其中C是任意常数。这个

16、式子已经y不含导数®或微分dx,dy了，它具有形式称为方程(1.7)的通积分。如果 dx还能从中解出y=(x,c ),则称为方程(1.7)的通解。注意：若存在某个yo使中()=0时，从式(1.7)可知，y=y0也是方程的解，它在乘因子时被丢失了，应补入通解或通积分表达式中。 ,y(2)方程 f1(xg(ydx +f2(x)g2(ydy = 0(1.8)同方程(1.7) 一样，两边同乘以 一1一分离变量，再取不定积分，g1 y f2 x得到通积分噌dx + f富dy =C ,还要注意可能丢失的解。4 .变量代换法有些方程，通常可以通过引入适当的变量代换，化为变量已分离型 方程或其他已知

17、解法的方程。(1.9)齐次方程上已对于此类方程，我们可以引入变量代换 y = ux,化原方程为du _ g u -u dx x,这样，变量就可以分离了方程业=aix'biy+ci(1.10)dx a2x b2y c2这里 a12 +a22 .0,b12 +b22 0,a12 +b22 #0且 a22 +b12 00这类方程我们分三类情况讨论：5=6=0时：它就是齐次方程，上面已经讨论了。c；+c22 #0,a1b2 a2bl =0时，止匕时有 a1b2=a2“，如果 a2b2#。，设a1 =b =k,则原方程可写成 dy=k(a2x + b2y)+c1a2 b2dxa2x b2y c2

18、引进代换u=a2x+b2y,上式可以化为dudyku c1-a2 b2= a2 b2dxdxku c2这时已经变成变量可分离的方程了。假如a2b2=0,则由前面的假定有a2=b2=0,这日寸，令口=取+匕丫，则原方程可以化为如下的可分离变量方程：du = a +( +c1) dxc2C12 +C22 ¥0,砧2 -a2bl ¥0时，我们用下例来说明解法的一般步骤。(3)方程 yf (xy )dx+xg(xy )dy = 0(1.11 )这类方程可以引入变量代换u=xy ,达到分离变量的目的。u = xy,就有du=ydx+xdy。代入原方程，得 yf (u dx + g(u

19、 Rdu - ydx)= 0,g(u du =yg(u A f(u)dx = u b(u )-f(u gx , 即g(u)一u =生,达到了分离xulgu-ful x变量的目的。第二章 二阶常系数线性微分方程的降阶法2.1 提出问题(2.1 )二阶常系数线性微分方y" - py' qy = f x式中：f(x)为已知函数，p,q为已知函数；y = y(x)为未知函数，称式(2.1)为二阶常系数线性微分方程。如果f(x)#0,称式(2.1)为二阶非齐次常系数 线性微分方程；如果f(x)=0,称式(2.1)为二阶齐次常系数线性微分方程,(2.2)y" py' q

20、y = 0对于二阶齐次常系数线性微分方程(2.2)的求解，通常是运用特征 根法，特殊的情况下(当q=0，即qy不存在时)，可能运用变量代换法，将 二阶方程转化为一阶微分方程，即令 y' = l ,代入公式(2.2)( q=0时),可得l'+pl =0,即l' = -pl ,两边同时积分，得ln l =- px +g , 即 l =ce*x再代入到y' = l中，得到C-pxy = eP即为q=0时方程(2.2)的通解。关于二阶非齐次常系数线性微分方程(2.1)的求解，通常首先会讨论非齐次项f(x)的情形，主要有两种类型：形如f(x)= pn(xeux与形如f (

21、x )= Pn(x euxcospx(p , 0)或f(x)= Pn(xeuxSinPx(B ¥0)其中pn(x )=anxn+an-xn，+ a1x + a0为n次多项式。利用待定系数法可以求 得一个特解。对于非齐次项f(x)是一般的情形，用待定系数法显得无能为 力。在本文中，对于一般的非齐次项f(x),利用降阶法，求出其微分方程 的一个特解或通解。2.2 二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法的步骤为:步骤1写出二阶齐次常系数线性微分方程(2.(2) 征方程，即2人+p九+q=0,求出特征方程的两个特征根步骤2用或e"麋以式(2.1)的

22、两边, e1拈(y" + py'+qy )= f (x e"T，入2 且兀 +入2 = - P，-1，-2 = q(2.(3)利用关系式'+'-2 = 一6'.m和导数的运算，将式(2.3)化为一阶微分形式，即 d efx(y'-%y)】=f (x exdx(2.4)步骤3对于式(2.4)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程，有y'- 2y =e" f xe-1xdx ge'1、步骤4求解一阶线性微分方程(2.5 ),令(2.5)F(x)=e/1jxf f (xexdx当,13 ,1时，通

23、解为 丫 =C1e +Cze' +e' (F(xe dx当 =%时,通解为y = Gx+C2bix e '2x . F xe-12xdx一个特解公式为(2.6)y =e 2x F x e2xdx其中 F x =e11x f xe_1xdx2.3 举例通过具体例子说明降阶法求微分方程解的详细计算过程。例1求微分方程(x2+lV' = 2xy'满足条件丫*旦=1,丫旦=2的解解令y,=p，于是y'=p,(即dxj,把它们代入原方程，得(x2+1)p'=2xp,分离变量并积分，得p = dx2+1) ，代回到y',有y' = c

24、(x2+1)再以条件y=2代入上式，得c = 2,于是y' = 2(x2+l),两边同时再积分，得y =2 +x +g13 J将条件yxm=l代入上式，得g=i故原方程的解为Q3、y =2 +x +1<3)98例2求微分方程广4k4y =巳，的一个通解。解步骤1写出特征方程，即 片+4儿+4 = 0其特征根为1 1 = 12 = -2步骤2用e2x乘以微分方程的两边，得98e2x y" 4y' 4y =' xkk =0上式可化为如下的一阶微分形式98.-2x '- -I _ k .d e (y+2y)=£ xdx- T(2.7)步骤3对

25、于式(2.7)的两边同时积分，可将二阶线性微分方程化为一阶线 性微分方程，有9898 k 12x 'kX(2.8)e y 2y)= x dx = C1k=0k=0 k 1步骤4,求解一阶线性微分方程(2.8),通解为y = Cix C2 ex98_2x- e 、k=0x 例3求微分方程y"-y =的通解 e -1解 步骤1写出特征方程，即 /_1=0,特征根为,=1 12 - -1步骤2用ex乘以方程的两边，得ex y"-y =2e2x ex -1上式可化为如下的一阶微分形式d ex y' -y L2exex -1(2.9)步骤3对于式(2.9)的两边同时积

26、分，可将二阶线性微分方程化为一阶 线性微分方程，有2xex y - y = dx = 2ex 2ln ex -1 - 2C1e -1(2.10)步骤4求解一阶线性微分方程(2.10),通解为y = C1e C2ex - 1 - xexex - e-x In ex - 12.4小结上面2个例子中，例1是常见的非齐次项的微分方程的两种类型， 如果利用待定系数法求解，计算量比较大、比较繁琐，例2不是常见的非齐次项的微分方程的类型，利用待定系数法无法求解，利用降阶法计 算比较简单和方便.特别地对于一般的非齐次项的常系数线性微分方程， 运用降阶法都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微 分方

27、程求特解的一个公式，即公式(2.6),因此降阶法在实际运用中有用。15 ,第三章 二阶变系数线性常微分方程的降阶法3.1 提出问题二阶变系数线性常微分方程的一般形式y'+p(x)y''q(x)y= f(x)(3.1) 其中p(x,q(x,f(x)是x的已知函数；y = y(x )是未知函数，x是自变量，我们 称式(3.1)为二阶变系数线性微分方程。如果f(x)#0,则称式(3.1)为二阶非齐次变系数线性微分方程；如果f (x )= 0,则称(3.1)为二阶齐次变系数 线性微分方程，即y" p x y' q x y = 0(3.2)3.2 二阶齐次变系数

28、线性常微分方程的降阶法二阶齐次变系数微分方程的通解可通过降阶法化为恰当方程求通 解。引入概念假如二阶变系数齐次微分方程满足下列条件1和条件2中的系数p仅,q(x )限制的条件时，所得到的方程就是 恰当方程。怎样运用恰当方程通过降阶法求解方程的通解？我们首先观察二阶 变系数齐次线性微分方程的系数，将系数化为满足恰当方程的系数形式， 其次将转化后的的系数形式代入方程，再运用变量代换，经过降阶法， 化方程为熟悉的一阶方程，最终积分求得方程的通解。3.2.1 求满足条件1的恰当方程的通解(3.3)条件1二阶变系数线性常微分方程(3.2),对于系数p(x)q(x)若满足 p(x .F(x )+W(x H

29、q(x )= F'(x )+W(x F(x)这些函数F(x,W(x,F'(x)都是连续函数，则把此类方程称为恰当方程。假如方程(3.2)的系数满足条件1的(3.3),则方程是恰当方程。将其代入方程(3.2),就可以得到y" F x -W x y' F' x W x F x y =0(3.4)将上式通过变形得：ly' F x y' W xy' F x y 1 = 0(3.5)利用变量代换，u =y'+F(x)y,(3.6)则有u'Wxu=0(3.7)解方程(3.7)得：u =e-Wxdx eWxdx G(3.8)把

30、(3.8)代入(3.6),得y' F xydWxdx .eWxdx G(3.9)解得：丫=3卡呼N-"夕e附船也r少+。2(3.10)则方程的通解为：y=e-Fdx/(x*x"eWxdx+c1】dx+c2(3.11)其中 Ci,C2 为任意常数。例4求微分方程y"Yxy'+(4x2-2y=0的通解。解 令 F (x )= -2x,W(x 片-2x,则 F'(x aW(x F(x)=4x2-2系数满足条件1,则是恰当方程。将其带入原方程就可以得到y" F x W x y' F' x W x F x y = 0(3.1

31、2)将上式通过变形得：y' F x y ' W x y' F x y1=0(3.13)利用变量代换，u = y'+F(x)y(3.14)则有 u' W xu =0(3.15)解方程(3.15),得： _W xdxW x dxu=e e dx G(3.16)把式(3.16)代入(3.14),得y'+F (x 卜=ef 村"%+g '(3.17)解得：y=efdx(fe-Wedx(；feW(xdxdx+cilehxdxdx+c2(3.18)则方程的通解为：y=e-Fxdx，： e.F xdx eWxdxdxf dx c?) (3.1

32、9)其中C1,C2为任意常数所以原方程的解为：y = ex 1ex + c1 1 dx + c2即尸4e2x212c2x 2x3 cle xc2e x3.2 .2求满足条件2的恰当方程的通解条件2二阶变系数线性微分方程 (3.2),对于系数p(x)q(x),若满足p(x)=T")且*=需，其中咐W(x四一阶导数连续的函数，则把此类方程称为恰当方程。若方程(3.2)的系数p(x)q(x湎足条件2,将其代入方程(3.2),可得:F x y" F' x W x y' W' x y =0 将上式两边同时减去Q',整理得到：F x y' W x

33、 y-Q' =-Q' 进一步可得：F x y' W x y - Q 二一 jQ'dx c1 解得：y=e一附x卜簧2 1电、+02 1其中G。为任意常数)(3.20) 若方程满足条件2中的条件，且Q(x)=0,F(x)=W(x)则方程(3.2)的通解为-x二e卜产"x+a_F(x)J1(3.21)19 ,(其中G,C2为任意常数)例5求方程y"+'1+21y' + 2y =0的通解 < x ； x解 令 F (x )= x2 ,W(x )= x2 ,则可得F' x W xFx2x x22x2- 1xW'

34、xF x2x 2-2 =一 x x可见系数p(x)q(x满足条件2且满足条件2中的2,即Q(x)=0,F(x)=W(x) 则可由通解公式得所求原方程的解为:xy=e"卢1_dx+C2（其中G,C2为任意常数） x3.3 小结二阶变系数齐次线性微分方程转化为恰当方程，通过对观测方程的 系数之间的关系，通过变量代换的方法解决降阶方程解的问题，使这个 问题变得简单可行，这个方法对于满足条件的二阶变系数齐次方程适用 性强，然而不具普遍性，并且对于那些相对复杂的系数我们也很难一眼 看出它们之间的关系，这对我们解决问题具有必然的局限性。对于二阶变系数非齐次线性微分方程，先利用上述的方法求出二阶齐

35、次 变系数线性微分方程的通解，再运用常数变易法求出它的一个特解，问 题也就解决了。第四章可降解的二阶微分方程d2y3.1 dG="x理的微分方程 xd2y r对于万程八=他）（4.1 ）d x只需积分两次，就能求出解。dy积分一次，得到 dx-'f（xdx c1（4.2）再积分一次，得到y = J【J f （x dx +c1 dx +c2 = J1J f （x dxdx +c1x +c2（ 4.3 ）（其中c1,C2为任意常数）这就是方程的通解。例6求方程y" = 2x+3的通解。解积分一次，得到y' = 2x 3 dx ci = x2 3x ci,再积分一

36、次，得到2 c,133 2y = x 3x Ci dx C2 = x x cix c2 32（其中G。为任意常数）这就是方程的通解。djy-f xdy4.2 d2x l ,dxj型的微分方程（4.5）这类方程的特点是方程中不明显含有未知函数y,为了降阶，我们作变量代换：如 = P,（4.6）dx于是吵=业（4.7）d2x dx方程化为p对x的一阶微分方程dp = f（x, p）（4.8）dx若能求得方程（4.8）的通解p=忤x,G）（4.9）其中Ci是任意常数，甲是它的变元的已知函数，则将它代入（4.5）后，得到dy =中（x, Ci由此得方程的通解为dxy = . （x, C1 dx + C

37、2。例 7 解(x2 +1)d/=2x-dy,y x=o =1,5|x卫=2 d x dxdx解令业=p,于是4=dp ,把它们代入方程，得到 dxd2x dxx2 1 dp = 2xp,dx分离变量并积分，得p = c x2 1再将其代入dy,有 dy = c（x2+11dxdx再将条件型|=2代入上式，得c=2,于是dxdy =2 x2 1 ,dx再积分，得y = 2 x3 2x c）.3将条件yx田=1代入上式，得G =1故得方程的解为y = - x3 2x 1.3dly _ f v dy4.3 d2x -'/dx）型的微分方程这类方程的特点是方程中不明显含有未知函数 x,为了降

38、阶，我们作(4.10)变量代换：*p2引进新的未知函数p,但是在更换 ？ 时，不能再使用（4.7）式。因 d x# -为如果使用(4.7)式的话，将它和(4.11)代入(4.10)后，(4.10)化成dp = f(x,p显p对y的一阶微分方程。当然也不能认为是p对x的一阶微分 dx方程。令(4.10)之后的意图是要使x在方程中彻底地不出现，而把y作为自变量来处理。即从(4.10)按下面的方法算得dj : d xd y _ d 'dydp _ dp dy .2= 丁 丁 ! = -:- = d x dx、dx J dx dy dxdp二 p - dy(4.11)将(4.10)和(4.11

39、)代入(4.9),于是(4.9)可化为dp fp f y, p dy(4.12)这是一个p对y的一阶微分方程。如果能求得(4.12)的通解:p=' yC(4.13)那么将它们代入(4.11),得到曳="y,C1) dx分离变量并积分，得= (dx +C2 =x +C2即为原方程的通积分。 y,C1例8求解方程也y4=0。dx)d2x解因为方程不明显含有x,因此可令以=p,dx于是。=p曲，原方程化为d2x dy2 dpp -yp - dy由此可得p=0或p-ydP = 0dy由p=0(即dy=0)，得丫=常数，即由p=0得到的解已经包含在上式中,25 ,因此“ y =常数”这

40、个解不需要另行写出第五章可降阶的高阶常微分方程对于某些特殊类型的高阶方程，我们可以采用降阶法求解，即把高 阶方程的求解问题通过变量代换转化为较低阶的方程来求解。下面我们 主要介绍几类较容易降阶的高阶微分方程的求解方法。5.1 y(n)=f(x )型的方程微分方程 yC)=f(x)(5.1)的右端函数仅含自变量x,两边积分，得到一个n-1阶方程 yCL j f 仅 dx +C1再积分，得 y(n')= J(f (x dx+q dx + c2这样连续积分n次，即可得到方程(5.1)的含有n个任意常数的通解。例9求方程y" = sin x+cosx的通解。解对所给方程连续积分三次，

41、得y" - -cosx sinx qy' - -sin x -cosx c1x c2 y -cosx - sin x 1c1x2 c2x c3 2这就是所求的通解，其中GC,q为任意常数。5.2 F (x, y(k, y(k41 ).y(n)= 0(1 < k < n 理的方程对于方程 Fx,yk,yk1,yn =01<k<n(5.2)只要作变量代换yCL p,就可以降阶为关于p的n-k阶方程F(x, p, p',p(n")=0(5.3 )如果能够求得方程(5.3)的通解p=W(xc，C2,G)再解放程yk二x,G,c2 , ,cn

42、*经过k次积分，便得到方程(5.3)的通解y =W(X,G,C2,Cn )其中Ci,C2,Cn为任意常数。特别地，若二阶方程不显含未知函数 y,(即n=2,k=1的情形)，则用变量代换y'=p便可以把方程化为一阶方程。 5 4例10求方程d5y_1 d4y =0的通解。 d x x d x解令gl=p,方程化为dpp=0, d xdx x,4这是一阶方程，分离变量且积分后得p = cx,即呼=cxd x从而 y = c1x5 - c2x3 - c3x2 - c4x - C5其中G,C2,C3,C4,C5为任意常数，这就是原方程的解。5.3 F(y, y',y",y(n

43、 卜0 的方程方程 F y,y',y",.,yn =0(5.4)的一个特点是不显含自变量x,如果令y'=p,则可以将方程降低一阶，这时p看作y的函数p= p(y),这样，就有dy _ dx =p,2d y dp dp dydp二一 二丁丁 二 Pt dxdx dy dxdyd3y dx32 d2p=p T2 dyk显然，导数 ?可以由p对y的不高于k-1阶的导数来表示，因而将 d x其代入式(5.4)后，方程就降了一阶。特别地，若二阶方程不显含自变量，则经上述变量代换后它就化为一阶方程了。例11求方程yy'Hy'f =0的通解。解 令y1=p,则y&q

44、uot; = p电，代入方程，得pydp + p2=0 dydy当p#0时，方程为ydp + p=0 dy变量分离后两边积分，得p = 9,即y' = £ yy所以原方程的通解为y2 =qx + c2c =2c)当p=0时，y=c显然是解，它被包含在通解中(对应于c = 0)5.4 F (x, y, y',., y(n »= d 5(x, y, y',., y(n)=0 型的方程 dx若方程 F x,y,y',.yn =0(5.5)的左端是某个函数 6x,y,y,.,y")对x的导数，则方程(5.5)可化为史中(x,y,y'

45、,.,y")=0这样我们就可以把方程(5.5)降低一阶，成为 dx中x,y,y',.,y n4 = c之后再设法求解这个方程。例11也可以这样求解:原方程可以写为色（yy'）=0,从而yy' = c,即 dxydy=cdx,两边积分，即得通解y2 =qx+ C2（g = 2c）例12求方程yy"-（y2 =0的通解。解方程的两端乘以因子u=3,则有yyy" -2y，2 =0,即-& Lo从而义=cydxyjy则可以求得通解为y = Gecx（G,C2为任意常数）。总结本文主要讨论二阶线性微分方程的降阶解法，在方程满足特定条件下，巧妙地求