二次根式最值

1、与二次根式有关的最值如何求施时刚本文以近几年的竞赛题为例，介绍与二次根式有关的最值问题的常用解法，供读者参考。1借用取值范围求最值例1代数式、x - Jx12的最小值为（）A.0B.1 一 2C.1D.不存在的分析：由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负所以 x _0, x -1 _ 0，x -2 _ 0解得x _ 2而被开方数越小，算术平方根的值就越小所以当*=2时、xx-1、x-2取得最小值，其值为 .21故选B2.因式分解与枚举法结合求最值例2设x、y都是正整数，且使 Jx -116 + Jx + 100 =y，则y的最大值是 。分析：因为x、y是正整数，又x在被开方数中，不易直

2、接讨论，我们先用换元法把它有理化处 理，再相机处理之。令、x - 116 = a，、x 100 = ba，b为正整数则 x 二 a2116，x 二 b2 - 100.a2 116 =b2 -100即 b2 _a2 = 216 = 2333因式分解得：（b a）（b-a） = 2333而b a> b-a奇偶性相同，右边是偶数所以b a> b -a同为偶数且b a b-ab a = 22 33 ； 233 ； 2232b -a =2； 22 ； 2 3k解得2；a = 53；29;25;2115所以 y =108 , 54, 36故 ymax =1083借用基本不等式求最值例 3若 X

3、2 +y2 =20，则 Jl1_x2 +J23_y2 的最大值是 分析：本题是条件最值问题，变量x、y需满足一定的条件。先采取变量换元。令.11 - x2 二 a, ； 23 - y2 = b( a _ 0, b _ 0)则 11 -x2 二 a2， 23 _ y2 二 b2两式相加得34 _x2 - y2 = a2 b2因为 x2 - y2 =20所以 a2 b2 =142(a b) =14 2ab( *)由基本不等式知2ab _ a2 b2 =14且a = b时ab积达到最大此时 11 -x2 = .23-y2即 y2 -x2 = 12又 y2 x2 =20解得y2 =16且x2 = 4故

4、.11 - x223 - y2 达到最大值为. 7一 7 = 2 74倒数法求最值的最大值是例4若X0，求此时訥 +x? +X4 Ji +X41 XX=甘+2 +& + X?=2 +3+2 +2由此可知，当x 一一 =0 (即x = 1 )时，上式的最小值为 -3 -.'2 。X故原式的最大值为、3 - 25应用绝对值性质求最值例 5实数 a、b 满足、._a2 -2a 1 ：36-12a a2 =10-|b 3|-|b-2|,则 a2 b2 的最大值 为。分析：首先根据数的开方的基本公式：.a2 =|a|把原条件等式等价转化为：|a -1| |a -6| |b 3| |b -

5、2|=10由绝对值的性质|a -1| |a -6| _|(a -1) -(a -6)戶5|b 3| |b -2| _|(b - 3) -(b -2)| = 5所以 |a -1| |a -6| |b 3| |b -2|_10此等号成立的条件为：1冬a乞6, 3乞b乞2 2所以当a =6，b = -3时，a b达到最大值，其值为45。6数形结合求最值例6函数f(x) = Jx2 +1 + J(4 _x)2 +4的最小值为 分析：首先易知要使 f(x)取得最小值，显然 X应大于零。如图，作线段AB = 4, ACAB ,DBAB，且 AC = 1, BD = 2,对于 AB 上的任一点 O,令 OA = x则 OC = $x21, OD = j(4 _x)24 X4 . 1 X4那么，问题转化为在 AB上求一点0,使0C OD最小。 设点C关于AB的对称点为E则DE与AB的交点即为点 0此时，0C OD =0E 0D 二 DE作EF/A