复变函数测试题及答案

1、第一章复选择题1.当z 0时,1 i100 z75 zz50的值等于（）(A) i(B)(C) 1(D)2.设复数z满足arc（z2)一,arc(z 352) J ,那么z6(A)(B)(C)1.3,i22(D)3.复数ztan i (2）的二角表小式是（(A) seccos()2iSin(2)(B)sec cos(32i sin( 32)/c、3(C)sec cos(i sinC32-) (D)sec cos(-i sin(一,)4.若z为非零复数，则-2 z与2zZ的关系是（）(A) z2 z2(C) z2 z25 .设x, y为实数,轨迹是（）2zz2zZz1x/一、2-2(B) z z

2、2zz（D）不能比较大小V11yi,z2x 111 yi 且有ziZ212 ,则动点（x, y）的(A)圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线6. 一个向量顺时针旋转 一，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为 31；3i ,则原向量对应的复数是（）(A) 2(B) 1 <13i(C) V3 i(D)於 i，一 92z z使得z |z|成立的复数2是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数8 .设z为复数，则方程z |z| 2 i的解是（）3333（A）- i（B） i（C） - i（D） i44449 .满足不等式|-y| 2的所有点z构成的集合是（）（A）有界区

3、域（B）无界区域（C）有界闭区域 （D）无界闭区域10 .方程|z 2 3i|版所代表的曲线是（）（A）中心为2 3i ,半径为V2的圆周（B）中心为 2 3i ,半径为2的圆周（C）中心为 2 3i ,半径为近的圆周（D）中心为2 3i ,半径为2的圆周11 .下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）Iz2(B) z 3 z 3 4(C)1 az1 (a1)(D) zz az az aa c0(c 0)12.设 f (z) 1Z,Zi 2 3i,z2z2)(A)4 4i(B) 4 4i(C)4 4i(D)4 4i13. limx X0Im( z)Im( z0)zZo(D)不存在14.函数 f

4、 (z) u(x, y) iv(x,y)在点 zoXoiyo处连续的充要条件是(A) u(x, y)在(xo, yo)处连续(B)v(x, y)在(xo, yo)处连续(C) u(x,y)和 v(x, y)在(xo, yo)处连续(D)u(x, y) v(x, y)在(xo, yo)处连续15.设 z1 ,则函数f (z)二二的最小值为()z(A)(B)(C)1(D) 1、填空题1 .设z(1 i)(2i)(3 i)(3 i)(2 i)2.设z(2 3i)( 2 i),则 arg zoV5,arg( z i)，则 z44 .复数竺s5iSin5 )2的指数表示式为 (cos3 i sin 3

5、)5 .以方程z6 7 "15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为6 .不等式z 2 z 2 5所表示的区域是曲线 的内部2z 1 i7 .方程 .2 0(Zj 0, k j, k, j 1,2, ,n)的充要条件为z 1 i1所表示曲线的直角坐标方程为2 (1 i)z8 .方程|z 1 2i| |z 2 i|所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线9 .对于映射°,圆周x2 (y 1)2 1的像曲线为z10 . lim (1 z2 2z4) z 1 i三、若复数z满足zz (1 2i)z (1 2i)z 3 0,试求|z 2的取值范围.四、设a 0,在复数集C中解方程

6、z2 2|z| a.五、设复数z i ,试证一zy是实数的充要条件为|z| 1或IM (z) 0.1 z 11 . K、对于日射(z -),求出圆周z 4的像.七、试证1 .亘 0 (z2 0)的充要条件为Zi z2Ziz2 ;Z2z2八、若九、设十、设ziz2znziZ2znlim f(z) A 0,则存在Xozz0时有 f(z) -|A .x iy ,试证x iy ,试讨论下列函数的连续性:2xy1.f(z)22 ,x y0,3x y2. f (z)22，x y0,第二章解析函数、选择题:1.函数f (z) 3|z|2在点0处是()(A)解析的(B)可导的(C)不可导的(D)既不解析也不可

7、导2 .函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件3 .下列命题中，正确的是()(A)设 x,y 为实数，则 cos(x iy) 1(B)若Zo是函数f(z)的奇点，则f(z)在点Zo不可导(C)若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f (z) u iv在D内解析(D)若f (z)在区域D内解析，则if (z)在D内也解析4 .下列函数中，为解析函数的是()(A) x2 y2 2xyi(B) x2 xyi2233(C) 2(x 1)y i(y x 2x)(D) x iyz 05 .函数f(z) z2

8、Im(z)在处的导数()(A)等于0(B)等于1(C)等于1(D)不存在6 .若函数f (z) x2 2xy y2 i(y2 axy x2)在复平面内处处解析，那么实常数a ()(A) 0(B) 1(C) 2(D)27 .如果f (z)在单位圆z 1内处处为零，且f(0)1 ,那么在z 1内f (z)()(A) 0(B) 1(C)1(D)任意常数8 .设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是(A)若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 (B)若Re(f (z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 (C)若"2)与£仁)在口内解析，则f(z)在D

9、内是一常数(D)若arg f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数9.f(z) x2- 2 iy ，(1 i)10.11.12.(A) 2(B)2i(C)(D) 2 2iii的主值为(A) 0(B)(C)e2(D) e 2ez在复平面上(A)无可导点(B)有可导点，但不解析(C)有可导点，且在可导点集上解析设f(z) sinz,则下列命题中，不正确的是(D)处处解析f(z)在复平面上处处解析(B) f(z)以2为周期(C)iz iz e e f(z)- 2(D) |f(z)是无界的13.设为任意实数，则1 ()(A)无定义(C)是复数，其实部等于114 .下列数中，为实数的是()(A)

10、 (1 i)3(B) cosi15 .设是复数，则()(A) z在复平面上处处解析(C) z 一般是多信函数、填空题1 .设 f (0) 1, f (0) 1 i ,则 lim f(zz 0 z2 .设f (z) u iv在区域D内是解析的,(B)等于1(D)是复数，其模等于13 _i(C) ln i(D) e 2(B) z的模为忖(D) z的辐角为z的辐角的| |倍1口果u v是实常数，那么 ”2)在口内是3 .导函数f (z) i-v在区域D内解析的充要条件为 x x4 .设 f (z) x3 y3 ix2y2，贝U f (1 | i) 5.若解析函数f(z)u iv的实部ux2 y2 ,

11、那么 f(z)6.函数 f(z) zIm( z) Re(z)仅在点 z处可导7 .设f (z) 1z5 (1 i)z,则方程f (z) 0的所有根为 58 .复数ii的模为9 . Imln( 3 4i)10.方程1 e z0的全部解为设 f (z)u(x,y) iv(x,y) 为 z x iy 的解析函数_ z z zw(z,z) u(,2 2iz . z z z z El w) iv (,),贝U 0 .2 2iz四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1. f (z) cos x coshy i sin xsinh y;2. f (z)ex (xcos yysin y) iex(

12、ycos y ix sin y);五、设w3c z'dw d 2w2zw e 0 ,求,-2- dz dz2xy2(x iy) 0六、设f(z) x2 y4 , z 0试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导0, z 0七、已知u v x2 y2,试确定解析函数f (z) u iv.八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转一即得n .如果f (z) u iv为解析函数, 2则有2,(一与一分别表示沿s,n的方向导数).s n n s s n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数f(z)在下半平面内解析.十、 解方程 sin z icosz4i .第三章复变函数的积分、

13、选择题:1.设c为从原点沿x至1 i的弧段，则(x iy2)dz (c(D)5.i615.(C) 二二 i6 62.设c为不经过点1的正向简单闭曲线,则zc (z 1)( z-2dz 为(1)(B(C) 0(D)(A)(B)(C)都有可能3.设 c1 : z1为负向,c2 ： z|z| 3正向,则c c 1 c2sin z , 一2 dzz(A)2 i(B) 0(C)(D) 4 i4.设c为正向圆周2 ,则 c0sz2dz c(1 z)2(A) sin 1(B) sin1(C)2 i sin 1(D) 2 i sin15.设c为正向圆周31z cos-,贝产zTdz(2 c (1 z)2(A)

14、 2 i (3cos1 sin 1)(B) 0(C) 6 i cosl(D)2 isin 1e6.设 f (z) o d ，其中 z 4 ,则 f ( i)()4 z(A) 2 i(B) 1(C) 2 i(D) 17.设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零,c为B内任何一条简单闭曲线，则积分f (z) 2 f (z) f(z)dzf(z)(A)于2 i (B)等于 2 i(C)等于0(D)不能确定8.设c是从0到1 i的直线段，则积分zezdz()2cee _ _ ee(A)1 万(B)1 3(C)1 -2(D) 1i9.设c为正向圆周x2 y2 2xsin( z)则 2 4dzc z 12

15、(B) V2 i(C) 010.设c为正向圆周z izcosz ,1,a i ,贝 口2dz (c(a i)2(A) 2 ie(B) 22 e(C) 0(D) i cosi11 .设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D .如果f (z)在c上的值为2,那么对c内任一点Zo, f(Zo)()(A)等于0(B)等于1(C)等于2(D)不能确定12 .下列命题中，不正确的是()一 1(A)积分 O dz的值与半径r(r 0)的大小无关|z a1rz a(8) o(x2 iy2)dz 2,其中c为连接i至U i的线段 c(C)若在区域D内有f (z) g(z),则在D

16、内g (z)存在且解析(D)若f(z)在0卜| 1内解析，且沿任何圆周c：|z r(0 r 1)的积分等于零，则”2)在2 0处解析13 .设c为任意实常数，那么由调和函数u x2y2确定的解析函数f(z) u iv是()(A) iz2 c (B)iz2 ic (C) z2 c(D) z2ic14 .下列命题中，正确的是()(A)设Vi,V2在区域D内均为u的共腕调和函数，则必有Vi V2(B)解析函数的实部是虚部的共腕调和函数(C)若f(z) u iv在区域D内解析，则-u为D内的调和函数 x(D)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15 .设v(x, y)在区域D内为u(x, y)的共腕

17、调和函数，则下列函数中为 D内解析函数的是(A) v(x,y)iu(x, y)(B) v(x,y) iu(x, y)(C) u(x,y)iv(x, y)(D) i x x、填空题1.设c为沿原点z 0到点zi的直线段，则2zdzc2.设c为正向圆周2z23z 22c (z 4)2dz3.设 f (z)I 2sin(T )2d z，其中f (3)4.设c为正向圆周3,5.设c为负向圆周z贝 U e 5dzc(z i)56.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7.设f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有口 f(z)dz 0,c那么f (z)在B内8 .调和函数 (x,y)

18、xy的共腕调和函数为 9 .若函数u(x,y) x3 axy2为某一解析函数的虚部，则常数 a 10 .设u(x, y)的共腕调和函数为v(x, y),那么v(x, y)的共腕调和函数为 三、计算积分1 且 R 2;1. o_6zdz,其中 R 0, R|ZR(Z21)(z 2)2.4z 2zdz2,2z2 2四、设f(z)在单连通域B内解析，且满足1 f(z) 1 (x B).试证1 .在B内处处有f (z) 0 ;2 .对于B内任意一条闭曲线c,都有口f9dz 0 c f(z)五、设 f(z)在圆域 |z al R 内解析，若 mqx| f (z) M (r) (0 r R), I z a

19、| r而)小 n!M(r) /n C 、 则 f (a) n (n 1,2,).rz e K、求积分 口 一dz ,从而证明e cos(sin )d|z| 1 z0七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b,试求极限lim ° Kzdz并由此推证f(a) f (b)(刘维尔Liouville定理).R|z|r(z a)(z b)八、设f(z)在z R(R 1)内解析，且f(0) 1,f(0) 2 ,试计算积分2 f (z) 口 (z 1)2/z 1zdz2并由此得出0cos2 f (ei )d 之值. 2九、设f(z) uiv是z的解析函数,证明2ln( 1

20、lf(z)|2)2ln(1 |f(z)|2)41f (z)|2(1 |f(z)|2)2十、若u u(x2y2),试求解析函数f (z) u iv .第四章 级数、选择题:(1)n ni ,1.设 an (nn 41,2,),则 lim ann(D)不存在2.下列级数中，条件收敛的级数为()(A)(L-3i)nn 12(B)(3 4i)nn!(C)(D)(1)n i1 - n 13.下列级数中，绝对收敛的级数为()(B)1(1 与n 1 n n(B)(1)n(C)n2 ln n(D)n 1(1)nin2n4.若幕级数cnzn在z 1n 02i处收敛，那么该级数在z 2处的敛散性为()(A)绝对收

21、敛(B)条件收敛(C)发散5 .设幕级数CnZn , nCnZn 0n 0之间的关系是()(A) RiR2R3(C) RiR2R36 .设0 q| 1,则幕级数(A)q|.一 nsin 7 .幕级数一(二)nn 1 n '2,(A) 1R1,R2,R3,则 R1,R2,R3(D)(D)(D)不能确定和 三 zn 1的收敛半径分别为 n 0 n 1(B) R1 R2 R3(D) R1 R2 R32qn zn的收敛半径R ()n 0(8) n(0 0q|的收敛半径R ()(B) 2(C) 728.幕级数(1)nzn1内的和函数为(A) ln( 1 z)(B) ln( 1 z)(D) ln(

22、D) lnz9.设函数J的泰勒展开式为gzn ,cos zn 0那么幕级数Cnzn的收敛半径Rn 0(A)(B) 1z z2的收敛域是(B) 0 |z| 11处的泰勒展开式为(C)-)一，1110 .级数21z z(A)目 1一一 1 ，11 .函数后在z z(A)( 1)nn(z 1)n 1 (|z 1| 1)n 1(C) n(z 1)n 1 (|z 1| 1)1 n 1)(C) 1 |z(D)不存在的(B)( 1)n 1n(z 1)n 1 (|z 1 1)n 1(D) n(z 1)n 1 (|z 1| 1) n 112.函数sinz,在z 一处的泰勒展开式为2(A)-(z )2n 1n o

23、(2n1)!2(z(B)(1)nn o(2n)!2n(z I)(z(C) no(z J1(z 万(D)n0(Z/"万13.设f (z)在圆环域H : RizzoR2内的洛朗展开式为Cn(z zo)n,C为H内绕nZ0的任一条正向简单闭曲线，那么0C(zf(z) “ ( 2 dz ( zo)(A) 2 ic(B)2 ici(C) 2 ic2(D) 2 if (zo)14.若 Cn3n(1)n, 4n,0,1,2,1, 2,则双边幕级数Cnzn的收敛域为()(B) 3 |z(C) 4(D)1 lzl315.设函数f(z)z(z1)(z 4)在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么(

24、B) 2(C) 3(D) 4、填空题Cn(zi)n在z i处发散，那么该级数在z 2处的收敛性2.设幕级数CnZn与Re(Cn)zn的收敛半径分别为R1和R2,那么R1与R2之间的关n 0n 0系是3 .幕级数(2i)nz2n 1的收敛半径R n 04 .设f(z)在区域D内解析，4为内的一点，d为4到D的边界上各点的最短距离，那么当 Z Zo| d 时，f(z) Cn(z Zo)n 成立，其中 Cn n 05 .函数arctan z在z 0处的泰勒展开式为6 .设幕级数CnZn的收敛半径为R ,那么幕级数(2n1)CnZn的收敛半径n 0n 0为一 .c 1c Zc7 .双边累级数.1)&q

25、uot;言.门)飞/的收敛域为18.函数 ez ez在 0 |z|内洛朗展开式为9 .设函数cotz在原点的去心邻域0 1 R内的洛朗展开式为cnzn ,那么该洛朗级n数收敛域白外半径R 1，内的洛朗展开式为10 .函数在1 z iz(z i) 1二、右函数 2在z 0处的泰勒展开式为anz ,则称 an为非波那契(Fibonacci)1 z zn 0数列，i确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式.四、试证明1.ez 1ez 1 ze1(z )；2. (3 e)zez 1(e1)z (z 1);五、设函数f(z)在圆域|z|R内解析，Sn3zk试证k!1 . Sn(z)1,、f()2

26、 i rn 1 n 1 z dn 1z(z r R).2. f(z)n 1zSn(z)2 i In： )r ( z)(|z| r R)。六、设幕级数 n2zn的和函数，并计算n 12 二之值. 2n七、设f (z)，anzn(z R1), g(z) n 0bnzn (|z R2),则对任意的r(0rR2内° f( )g(-)-r八、设在R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f (z) ao az a2z2nanz_ . 1试证当0 r R时一2f (re i ) d2 2nr九、将函数ln(2 z)在0z(z 1)z 11内展开成洛朗级数.十、试证在0内下列展开式成立:1(n 0,1,2

27、,).z zn 11 2coseC0Cn(z-n")其中 Cn e cosn dn 1Z0第五章 留数一、选择题：1 .函数"二在|z i 2内的奇点个数为() 2z 31(A) 1(B) 2(C) 3(D) 42 .设函数f(z)与g(z)分别以z a为本性奇点与m级极点，则z a为函数f (z)g(z) 的()(A)可去奇点(B)本性奇点(C) m级极点(D)小于m级的极点x23 .设z 0为函数1e 的m级极点,那么m ()z sinz(A) 5(B) 4(C)3(D) 21 一4 . z 1是函数(z 1)sin的()z 1(A)可去奇点(B) 一级极点(D)本性奇

28、点的(A)可去奇点(B) 一级极点(C) 二级极点(D)本性奇点6.设 f (z)anZn 在 |z| n 0R内解析,k为正整数，那么Resf巴M( zak(B)k!ak(C) a k i(D) (k1)! ak 1(C) 一级零点Q 9-7 T35 . z 是函数3tz z7.设z(A)m(B) m(C) m 1(D)(m1)8.在下列函数中,Resf (z),00的是()(A) f(z)(B)f(z)sin zz(C) f(z)sin z cosz1(D) f(z) e9.下列命题中，正确的是(A)设 f (z) (z Zo) m (z),(z)在Z0点解析，m为自然数，则Z0为f(z)

29、的m级极点.a为解析函数f (z)的m级零点，那么Re s f (z), a f(z)(B)如果无穷远点 是函数f (z)的可去奇点，那么Resf(z), 0(C)若z 0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Re s f (z),0 0(D)若。f(z)dz 0 ,则f(z)在c内无奇点 c310. Re sz cos一,( z(A)2(B) 233111 . Resz2ez i,i()15A)1 iB)5 i6612 .下列命题中，不正确的是()(C)2. i3(D)2: i315(C)i)e i(A)若Zo()是f (z)的可去奇点或解析点，则Res f (z),Zo 0(B)若 P(z)与

30、Q(z)在 Zo解析，Zo为 Q(z)的一级零点，则 Res-P(Z) ,Zo -P(至Q(Z) Q (Zo)(C ) 若Zo为 f (z)的m级极点，n m为自然数，则Res f ，Zon! x x0 dzn(z zo)n1f(z)(D)如果无穷远点 为f(z)的一级极点，则 z一 10为f (-)的一级极点，并且 z.1Resf(z),蛔才(二)113 .设n 1为正整数，则o -dz ()z| 2Z 1(A)0(B) 2 i(C) 22 n(D) 2n i(A) 0(B) 2 i(C) 10914 .积分-0dz ()3 Z 1 z2(D) i o 115.积分z sin dz1(A)

31、061.设z 0为函数z3 sin z3的m级零点，那么m2 .函数f (z)11 cos 一z1一 一 一(k 0, 1, 2,)处的留数k2Res f (z), zk 1 一3 .设函数 f (z) expz ,则 Resf(z),0 z4 .设z a为函数f(zqm级极点，那么Res5 .双曲正切函数tanh z在其孤立奇点处的留数为6.设 f (z)-2 ,则 Resf (z),1 z、几,、1 cosz El，7.设 f(z)5,则 Resf(z),0 z18.积分：z3ezdz Izl 19.积分 1 dzz| 1Sinzix10. 积分-xe-2-dx1 x 三、计算积分 。zz

32、sinz 2 dz . 1(ez 1 z)2zl 4四、利用留数计算积分n 2 d 2 (a 0)0 a sin22五、利用留数计算积分xx 2 2 dxx4 10x2 9六、利用留数计算下列积分：xsin xcos2x ,2dxx 1cos(x 1)dx七、设a为f (z)的孤立奇点，m为正整数，试证 a为f (z)的m级极点的充要条件是lim(z a)mf(z) b ,其中b 0为有限数. z a八、设a为f (z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Resf(z),a Res f (z), a;若f (z)2 f(z)f(z)是偶函数，则 Resf(z),a Re sf (z), a

33、.九、设f(z)以a为简单极点，且在a处的留数为A,证明limz a、若函数(z)在z 1上解析，当z为实数时，(z)取实数而且(0) 0, f(x,y)表示2 t sin(x iy)的虚部，或证明 2 f (cos ,sin )d (t)0 1 2t cos t、1.(B)2. (A)6. (A)7. (D)11. (B)12. (C)、1. <22.6 . |z 2 |z 28 .1 2i ,2 i第一章复数与复变函数3. (D)8. (B)13. (D)arctan 83.1 2i 4. e225 (或仁一夫 1)7. x25 23 2仁)仁)224. (C)5 . (B)9 .

34、(D)10. (C)14. (C)15. (A)6 i5. 3石y21八19 . Re(w)10.7 2i三、芯 72,45 初(或痣)2 z 2 55 V2).四、当0 a 1时解为(1 J1 a)i 或(3a 1)当1 a 时解为 (JTW 1).17u cos六、像的参数方程为2015 .v sin22 .表示w平面上的椭圆2u17 2 (万)2v15 2 (万)十、1. f(z)在复平面除去原点外连续，在原点处不连续;2. f(z)在复平面处处连续第二章解析函数一、1.(B)2. (B)6. (C)7. (C)11. (A)12. (C)、填空题1.1 i 2,常数/ 27 27.24. i5. x48_ 2k7. 8 2(cos24 i sin4-43. (D)8. (C)13. (D)3 .上,可微且满足 x xy,2x x y x y xc为实常数6. i.e2k(k 0, 1, 2,) 2xyi