圆锥曲线与圆、向量的综合检测题

1、C相切于点M,若满足M为线段AB圆锥曲线与圆、向量的综合检测题x1.已知椭圆万程为 4+丫2=1，回C： (x 1)2 + y2=r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；(2)如图，直线l与椭圆相交于 A, B两点，且与圆中点的直线l有4条，求半径r的取值范围.解：(1)设 P(x,y),|PC|=Jx-1 2+y2 =4x22x+ 2"；4x-g2+2,由2WxW2 33可知,当 x=3时,|PC|min =坐(2)当直线AB斜率不存在且与圆 C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条;当直线 AB 斜率存在时，设 A(xi, yi), B(x2, y2), M(xo,

2、yo),x1+y2=1,_由2两式相减，整理得 "二* = 1x1土丝，x2oxi x24 yi + y24+y2=1,y yxo则kAB=-而.yo又 kMic=/xo ikMC kAB= i,贝U kMIC kAB= 就熊=T,解得由M在椭圆内部，则x0+y2vi,解得y0v5所以 r2=(xo- i)2+y0=i + y2,所以1 vr2v2, 993解得 3V r<6.所以半径r的取值范围为 3,呼.2.已知抛物线C： x2=2y, P是C的准线l上的动点，过P作C的两条切线，切点分别为A,B.(i)当P点在y轴上时，求切线 PA, PB的方程；(2)设圆M是4PAB的

3、外接圆，当圆 M的面积最小时，求圆 M的方程.i解：(i)抛物线C: x2=2y,准线l的方程y=-2,P点在y轴上，P 0设人仅1, y1), B(x2,y2),由y=2x2,求导y'=x,且 xK 0, x2>0,1x2 , 1y1+22 + 2 - kpA= x1x1x1解得x1= 1,，切线PA的方程为1y+2=(x 0),即2x+2y+1 = 0,同理可得切线 PB的万程为2x-2y- 1 = 0.(2)如图，设点P t1设过点P与抛物线1 .由x2= 2yC: x2= 2y相切的直线方程为y+g=k(x t),? x22kx+ 2kt+1=0, A= 4k24(2kt

4、+1)=0? 4k28kt 4=0,1- k1k2= 1,即切线PA, PB互相垂直.即 PAB是直角三角形， PAB的外接圆直径为弦 AB.当圆M的面积最小时，即是 AB最短时，|AB|min=2p=2,此时AB垂直y轴， PAB的 1外接圆圆心为 0, 2 ,一 ,、一 c1c圆的方程为x2+ y 1 2=1.3 . (2018北京高考)已知抛物线 C: y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C 有两个不同的交点 A, B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM = A QN =QO ,求证：1 + 1为定

5、值. 人 心解：(1)因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为 0.设直线l的方程为y=kx+1(kw 0),y2= 4x,由得 k2x2+(2k- 4)x+ 1 = 0.y= kx+ 1,依题意 A= (2k 4)2 4X k2x 1>0,解得k<0或0<k<1.又PA, PB与y轴相交，故直线l不过点(1, 2).从而kw 3.所以直线l的斜率的取值范围是(一8, -3)U(-3,0)U(0,1).(2)证明：设 A(xi, yi), B(x2, y2).，2k-41由知 xi +

6、X2= k2，xlX2=话直线PA的方程为y-2 =yi 2xi 1(x- i).令 x=0,得点 M 的纵坐标为 yM= yi + 2 + 2= -kxi+i + 2. xi ixi ikx2+ i同理得点N的纵坐标为yN =-+ 2.x2 i, I由 QM = XQO, QN = q。，得上 i-yM,尸 i-yN.所以% i=+L=+二:+若'人 w i yM i yN k i xi ki x22+21i 2xix2 xi + x2i k2k2=;= 2.k- ixix2k- iik2所以1+1为定值.人 心4 .已知点E在椭圆C： x2+y2=i(a>b>0)

7、77;,以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右 a b焦点F2,与y轴相交于A, B两点，且 ABE是边长为2的正三角形.(i)求椭圆C的方程；(2)已知圆：x2+y2=i8,设圆。上任意一点P处的切线交椭圆 C于M, N两点，试判 断|PM| |PN|是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.一 ，-b2解：(i)由题息可知 EF2，x轴,则E c,又 ABE是边长为2的正三角形，c= 3则 b2解得 a2=9, b2=6,-=AE|=2, a所以椭圆C的方程为宗合会(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为由(1)知，M18NOM =OM ON =0,18

8、1818 OMXON,此时 |PM | |PN|= |OP|2= r2= £.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y=kx+m.设 M(xi, yi), N(x2y2),|m|k2+ 1即 5m2= 18(k2+ 1).y= kx+ m, 联立x2".得(2 + 3k2) x2+ 6kmx+ 3m2-18=0,得 A> 0, X1 + x2 = 6 km2+ 3k2'3m2 18 x1x2= 2+3k2 . OM=(xi, y1) , ON = (x2y2),OM ON = x1x2+ y1y2= x1x2+ (kx1 + m)(kx2+ m)

9、 =(1 + k2)x1x2+ km(x1 + x2)+ m22 3m2186km 2=(1 + k2) 丁+ km; + m2=) 2+3k22+3k25m2- 18k2 18 18k2+ 18- 18k2 182+3k22+3k2=0,OMXON, . |PM| |PN|= |OP|2= r2=158.综上所述，1PM11Pn|= 158为定值.x2 y25. (2020潮州模拟)已知椭圆/+*=1(a>b>0), A(2, 0)是长轴的一个端点，弦 BC过椭圆的中心O,点C在第一象限，且 7C bC = 0, |OC-OB|=2|疝 + 民|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设

10、P, Q为椭圆上不重合的两点且异于 A, B,若/ PCQ的平分线总是垂直于 x轴, 问是否存在实数 )使得5Q=温?若不存在，请说明理由；若存在，求 入取得最大值时 的PQ的长.解：(1)AC BC =0, -/ ACB=90 , > > > > > > |OC OB |= 2| AB + BC |,即 | BC | = 2| AC |,. AOC是等腰直角三角形，. A(2,0),C(1,1),丁点c在椭圆上，/+'=1，又 a = 2,b2 = 4,3.所求椭圆方程为x2+3y= 1.4 4(2)对于椭圆上两点 P, Q, / PCQ的平分线总

11、是垂直于 x轴，PC与CQ所在直线关于x= 1对称，kpc = k,则 kcQ= k,C(1,1),，PC 的直线方程为 y=k(x1)+1,QC的直线方程为 y=k(x1)+1,一 x2 3y2广一将代入：+3y-=1,得(1+3k2)x26k(k1)x+ 3k2-6k- 1 = 0, 44,. C(1,1)在椭圆上，x= 1是方程的一个根，3k26k1xp2 >1 + 3k23k2 + 6k 1以k替才煲k,得到xQ = 3k1 .13'3k十1k xp+ xq 2k kpQ =xp xq. /ACB=90°, A(2,0), C(1,1),弦 BC 过椭圆的中心 O,.A(