北京市西城区2021届高三一模数学试题(word版,含答案)

1、北京市西城区2021届高三一模数学试题2021.4本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A = xl应 1, B= -L 0, 1, 2,则 ACIB=(A) 2(B) 1, 2(C) 0, L 2(D) xIa>-1(2)已知复数z满足了一z = 2i,则z的虚部是(A) -1(B) 1(C) -i(D) i(3)在的展开式中，常数项为 厂(A) 15(B) -15(C) 30(D) -30(4)某四

2、棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表而积为9/14正(主)视图 侧(左)授图俯视图(A) 12(B) 8 + >/2(C) 16(D) 8 + 4722(5)已知函数/(x) = log,x,则不等式/(x)>0的解集是 X(A) (0, 1)(B) (-co, 2)(C) (2, +oo)(D) (0, 2)(6)在A3C中，C=90。，AC=4. 5c=3,点P是4B的中点，则在耳 =99(A) -(B) 4(C) -(D) 642(7)在ABC 中，C=60。，a+2b=8, sinA=6 sinB,则 c=(A)后(B)国(C) 6(D) 5（8）抛物线具有以下光学性质:从

3、焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴,该性质在实际生产中应 用非常广泛.如图，从抛物线），2=©的焦点F发出的两条光线分别经抛物线上的A山两点反射，已知两条 入射光线与X轴所成锐角均为60。，则两条反射光线小和沙之间的距离为（9）在无穷等差数列如中，记7；="Ls+a3-44+a，一+（-1严，%（ =12），则“存在使得 北4+2"是"""）为递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素7,则记 （X）=”一加,下列命

4、题中正确的是(A)已知 X=T, 1, y=0, ,且4 (X) = (D,贝|J0=2(B)已知X=小”+2, 丫=力=3 xGX),则存在实数“，使得 (X) <1(C)已知 X=(X |/(x) >g (x) xG-h 1),若iX (X) =2,则对任意 X£1, 1,都有/(x)有 (x)(D)已知X=M，a+2, 丫=2力+3,则对任意的实数a,总存在实数仇 使得 (XUY)§第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数/（x） = lnx + jm的定义域是(12)已知双曲线C = 1,则C的渐近线方程是；过

5、C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线84于M, N两点，O为坐标原点，则OMN的面积是.(13)在等比数列斯中，m+“3=l。，s+4=-5,则公比q=:若*>1,则的最大值为 0(14)已知函数=sin x,若对任意都有/ J) +/(x+m) =c (c为常数)，则常数j的一个取值为(15)长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益,每年洪水来 临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量水库总蓄水量xlOO)来衡量每座水库的水位情况,假设某次联合调度要求如下:

6、(i)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0, 100：(ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低：(iii)调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记工为调度前某水库的蓄满指数，丁为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式: x(Dy = -x2 +6x： ®y=10yfx ；y = 10"'； y = lOOsinyX则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)如图，在正方体A8CO-A山中，E为DDi的中点.(I)求证：BD平面ACE;(II)求直线A。

7、与平面ACE所成角的正弦值.B（17）（本小题13分）已知函数/（x） = Asin（5 + e）（A>0,s>0,W<f）,且/图象的相邻两条对称轴之间的距离为£, 22再从条件、条件、条件中选择两个作为一组己知条件.（I）确定/*）的解析式：（II）若/（幻图象的对称轴只有一条落在区间0, 4上，求的取值范围.条件：的最小值为一2：条件：/（%）图象的一个对称中心为（葛，0）；条件：的图象经过点（四，一 1）; 6注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分）天文学上用基等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所

8、看到的星体亮度: 绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中“£01.3星名天狼星老人星南门二大 角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四*视星0.0.0.0.0.等1.470.720.270.Q40308123846U绝对1.4.0.0.2.星等425.5340.38616.98672.785.851938465.7.赤纬16.7°52.7°60.8°.2°.8°08.2°2°57.2°

9、4°（1）从表中随机选择颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率:（II）已知北京的纬度是北纬40。，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于一50。时，能在北京的夜空中看到 它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期 望：（III）记4=0时10颗恒星的视星等的方差为s；,记a=1.3时10颗恒星的视星等的方差为主，判断s：与之间的大小关系.（结论不需要证明）（19）（本小题15分）已知函数/（X）=ex （hua）.（I）若"=1，求曲线y=/（x）在点（1, .AD）处的切线方程；（II）若01,求证：函数（）

10、存在极小值：（III）若对任意的实数x£l, +oo）, /（X）二一1恒成立，求实数4的取值范围.（20）（本小题15分）x2 y23已知椭圆C + = 1（，>0）的焦点在x釉上，且经过点E（l,二），左顶点为D,右焦点为F. a232（I）求椭圆。的离心率和的而积；（II）已知直线、=丘+1与椭圆C交于A, 8两点过点8作直线y=r （r>6）的垂线，垂足为G.判断 是否存在常数/，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求，的值：若不存在，请说明理由.（21）（本小题15分）已知数列A： “I，S，4”（旭3）的各项均为正整数，设集合T=.dr=-l</<

11、;/<,记丁的元素 个数为P（7）.（I）若数列A：l, 2, 4, 3,求集合丁，并写出尸（T）的值；（II）若A是递增数列，求证:“P m =N式的充要条件是“A为等差数列二（III）若N=2+l,数列A由1., 2, 3,，小2这+1个数组成，且这+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数.北京市西城区2021届高三一模数学试题参考答案一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)(1 ) B( 2 ) A( 3 ) A( 4 ) D(5 ) D( 6 ) C( 7 ) B( 8 ) C(9 ) B(10) D二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)(11) (0

12、,1(12) y = ±x, 6x/2(13)一，3(14) n (答案不唯一，只要是(2k + l)冗即可)2(15) 注：第(12)和(13)题第一空3分,第二空2分.第(15)题全部选对得5分，不选或有错选得。分，其他得3分.三、解答题(共6小题，共85分)解：(I)连接他交AC于点O,连接OE,在正方形ABC。中，OB = OD.因为石为QR的中点，所以OE: BR3分因为8R0平面ACE, OEu平面ACE,所以8Q平而ACE5分(II)不妨设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系A-g，z.则 A(0.0,0), C(220)，0(020), E(0,2,l),所

13、以标= (0,2,0), AC = (2,2,0), AE = (0,2,1).设平面ACE的法向量为“=（用y,z）,所以、""0 = °'所以 .n AE = 0.12即2 v + z = 0,10分令 丁 二 -1,贝 ijx = l, z = 2.于是 =(1,一1,2).11分设直线AQ与平面ACE所成角为0，mil . n I A)， 2/()贝 IJ sin 0 =1 cos(ADji) 1=：=IADIIhI 2#613分所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为1. 6(17)(共 13 分)解：（I）由于函数/。）图象上两相邻对称轴之间的

14、距离为所以八幻的最小正周期T = 2xg = 7i，。=亨=2.此时 f (%) = A sin(2x+cp.选条件因为/）的最小值为-A ,所以A = 2.因为/（x）图象的一个对称中心为（*.0）,所以2x里+尹=女兀（kwZ），12所以r=上兀一三（kwZ）,6因为I0得,所以p=',此时=1.所以/(x)= 2sin(2x + ?). 6选条件<§）：因为/（x）的最小值为-A ,所以A = 2.因为函数/的图象过点（如,-1），6则处)=一1,即 2sin( +?)=一1, sin( + p)= 一. 63327兀5兀13兀< 0 + <6

15、87; 36武匚|、|57r 1 Ite 兀川r以中+ =，>=一.366所以 /(x) = 2sin(2x + -). 6选条件:因为函数/（A）的一个对称中心为（得.0），所以 2x2 + * = kTT (kwZ),12所以夕=ku (k Z). 6因为竹，所以中哈此时4 = 1.所以 /(x) = Asin(2A+-).6因为函数f（x）的图象过点（如,7），6所以 /*() = -!，即 Asin(+ ) = -1 > AsinU = -l 63 66所以A = 2.所以 /(x) = 2sin(2x + ). 6(II)因为所以2x + 4e2,2<j + N,

16、666因为八幻图象的对称轴只有一条落在区间0m上,11分13分所以的取值范围为止,里）. 6 3(18)(共 14 分) 解：（I ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A.由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星 等的数值小于视星等的数值.所以 P（A） = 3=L3 分10 2（II）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于-50 ,有3颗恒星的“赤纬”数值小于-50.所以随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,44分尸”等= 3$' P(X=2) =c； C; 3C；° 一10"二*. axe等 V* 分所以随机变量X的分布列为:X1234P130310

17、12169分所以 E(X) = 1x-L + 2x2_ + 3x1 + 4xU.11 分301026 5(III)14分(19)(共 15 分)解：(I )当。=1 时，/(x) = ev(lnx-l),所以r a)= ex(lnx-D + e'= e'(lnx + L - l).1 分xx所以f(l)= -e, r(l) = 0.3 分曲线y = f(x)在点(1J)处的切线方程为y = -e.4分(II)由 /(jv) = ev(lnx-fl) 得 f'(x) = e * (In -v + - - ， X令(x)= lnx + L ，则 l(x) = !一，=

18、9;.6 分XX AT 厂当 0cx<1 时，hx) <0 ,当 xl 时，hx) >0 ,所以/?(、)在区间(0.1)上是减函数，在区间(1,内)上是增函数.所以人(X)的最小值为A(l) = 1 一4 .7分当al 时，=1 “<0, 7(e")= e-">0,9 分又做x)在(1,2)单调递增，故存在% w(Le"),使得力(工0)= 0，在区间(1,%)上(x)<0,在区间(、,+<»)± A(a ) > 0.10 分所以，在区间(1,%)上/'(X)<0 ,在区间禺,9)

19、上/'(x)>0 ,所以,在区间(1,%)上.f(x)单调递减，在区间(%.+00)上单调递增，故函数/(X)存在极小值.11分(IH)对任意的实数八曰1,y)，/(x)nT恒成立，等价于.f(x)的最小值大于或等于一 1.当。1时，力(l) = lm0，由(H)得人(x)z0，所以尸(x)n0.所以/(x)在口,内)上单调递增，所以/U)的最小值为了=-优.由Fe2一1,得awl,满足题意.13分e当。>1时，由(II)知，/(x)在(1,%)上单调递减，所以在(1,天)上f(X)w f (1) =-(/c <-e,不满足题意.综上所述，实数的取值范围是(YC.15

20、分e(20)(共 15 分)I 1解：(I )依题意，4 + - = 1>解得。=2.1分4因为c-3 = 1,即c = l,2分所以 52,0),一(1,0),所以离心率e = £ = L的面积Sx3x= 2.5分a 222 4(II)由已知，直线OE的方程为y =1x + L 2a当 42,0), B(1,R , G(lj)时，直线AG的方程为y = ' (x + 2),交y轴于点(0, - f)t14/ 141当 A(l,_), 3(-2.0), G(-2,1)时, 2直线AG的方程为y= 1g(x-1),交y轴于点(0.). 233若直线AG经过y轴上定点，则|

21、，=彳即f = 3,直线AG交y轴于点(0,2).下面证明存在实数f = 3,使得直线AG经过y轴上定点(0,2).联立V =履+1,f 2消),整理，得(4h+3)/+84-8 = 0,+ = 1143设 A(n，x), B(x2,y2)._8k， XiX-f = 软 2+34k2+310分设点G(电,3),所以直线AG的方程：v - 3 = *±(x - x).Z 一911分令、=0,得产一2“处+3 =拈演一上12分须一七因为=X +X2 '14分15分所以、一 3演一9一(8+巧)_22 2所以直线AG过定点(0.2).综上，存在实数，=3,使得直线AG经过y轴上定点

22、(0,2)(21)(共 15 分)解：(I )因为q = 1 , % = 2 ,%=4,。4 = 3 ,所以T = 1,2,3,T, P(T) = 4.(II)充分性：若A是等差数列，设公差为d.因为数列A是递增数列，所以d>0.则当时，力-=(/)，/,所以T = 424,(N - 1)4, P(r)= N - L 必要性：若p（r）= N-i.因为A是递增数列，所以q -q-q <一4，所以生一4,4 一4,，Tv -4在7，且互不相等.所以丁 = 。2 - 4, a3 一 % ，=4 -，又2 -0<% a2 <<匹-1 一% <期一见 <小q，

23、所以4 一。2,一。2,4 一°2，即一4 wT ,且互不相等.所以小一七 =凡6， % a）=6-q， ， a、=。A，_1 - q 所以% -q = % 一02 = = «、,一6VT，所以A为等差数列.9分（III）因为数列A由1,2,3,，乩2这+ 1个数组成，任意两个不同的数作差,差值只可能为 ± L ±2, ±3,丁 ±5 1）和 ±（2 - 1）, ±（2 - 2）, ±n ,共2（/7-1） + 2n = 4fi-2个不同的值：且对任意的m = 1,2,3,，- 1.，,2一1, 和-,这两个数中至少有一个在集合7中.11分又因为1,2,3,2这+ 个数在数列A中共出现N = 2 +