中考数学中考最后压轴题训练折叠旋转问题

1、1. （13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCW,边AB 2,边AD 1, 且AB AD分另U在x轴、y轴的正半轴上，点 A与坐标原点重合.将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A是点A落在边DC上的对应点.（1）当矩形ABCDS直线y求点A的坐标和b的值;（2）当矩形ABCD&直线yb折叠时（如图1）,ykx b折叠时, 求点a的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；（图1）如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时 k的取值范围.（将答案直接填在每种情形下的横线上）（当如图1、2折叠时，求Da的取值范围?OE = b,

2、 OF = 2b,设点A的坐标为（a, 1） 因为 DOA A OF 90 , OFE A OF 90 , 所以 DOA OFE,所以 DOA OFE 所以DA DO ,即且。，所以a 1 . OE OF b 2b2所以点A的坐标为（1,1)2连结 AE ,贝U AE OE b .在RA DEA中，根据勾股定理有 AE2 A D2 DE2 ,即 b2 (1)2 (1 b)2 ,解得 b 528（2）如图答6,设直线y kx b与ODfe于点E,与OB交于点F,连结AO,则OE =b, OF因为 所以 所以DOADOADA DOOE OFb ,设点A的坐标为(a, 1). kA OF 90 ,

3、OFE A OF 90 .OFE ,所以 DOA AOFE，即b ;，所以k所以A点的坐标为（连结AE ,在RtA DEA中,1).DA222AE AD DE ,2(k)2 (1 b)2 .所以 b 2在图答（3）图6和图答7中求解参照给分.13-2 中：2 k图13 3中：仔k0 2图 13 4 中：2 73 k y11；也；0y1Gfc要考查丁次函数、四边增瑞平均是一道有美折叠的问零城中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会。E2.（13K西钦州卷）如图，在阡(A)F " B x O(A)FE面直氟坐标系中，矩形OABC 比(A)BxD、点目似形等知人E为AB上一点，把ACB

4、E沿CE（图答的坐标分别为（5,0）和（3,0）.折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点八(1)求点C的坐标;(2)求DE所在直线的解析式;问(3)设过点C的抛物线y 2x2 73bx c（b 0）与直线BC的另一个交点为M ,解(1)根据题意，得CD CB OA 5, OD 3,Q / COD 90°, OC JCD2 OD2 45 32 4 .点C的坐标是(0,4); Q AB OC 4,设 AE x,贝U DE BE 4 x,AD OA OD 5 3 2,在 RD DEA 中，DE2 AD2 AE2 .(4 x)2 22 x2.解之，得x 3 ,2即点E的坐标是5,3 .23

5、一,494设DE所在直线的解析式为y kx b,k解之，得bDE所在直线的解析式为y -x 9;44(3) Q 点 C(0,4)在抛物线 y 2x2 V3bx c上,即抛物线为y 2x2 73bx 4.假设在抛物线y 2x2 73bx 4上存在点G,使得CMG为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点 G一定在该抛物线的顶点上设点G的坐标为(m, n),3b .3b 4 2 4 ( 3b)232 3b2m， n，2 244 28即点G的坐标为空 32 3b248设对称轴x空与直线免交于点F,与x轴交于点H.则点F的坐标为Qb 0,点G在y轴的右侧,CF m,3bFH 4, FG3

6、b28Q CM CG 2CF3bF，在 RtACGF 中,22CG2 CF2FG2,3b 223b42 23b8解之，得 b2.(Qb 0).3b 332 3b2m , n428点g的坐标为泞在抛物线y 2x2 、,3bx 4(b0）上存在点G,一 3522使得4CMG为等边三角形.点评这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。3 （13湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，。为原点，点A在x轴的正半轴上，点 C在y

7、轴的正半轴上，OA 5, OC 3.(1)在AB边上取一点D,将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处, 求点D , E的坐标；(2)若过点D, E的抛物线与x轴相交于点F( 5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程；(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点H ,在抛物线上是否存在点P,使4PFH的内心在坐标轴 上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. (4)若(2)中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ , 当点Q移动到什么位置时，O, D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式.BE-x4. .(14 台州市)24 .如图，四边

8、形OABC是一张 放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA 的点D处.已知折叠CE 5所 且tan EDA 3.4(1)判断AOCD与4ADE是否相似？请说明理 由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;(3)是否存在过点D的直线l ,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线 l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在， 请直接写出其解析式并画出 相应的直线；如果不存在，请说明理由.解：(1) AOCD 与 4ADE 相似.理由如下：由折叠知,CDE B 90 . 12 90° , Q 13 900,23.又; COD DAE

9、90°,.OCDs/X ade .(2) . tan EDA 9 9 , 设 AE 3t , AD 4则 AD 4t.由勾股定理得DE 5t. OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t.由(1) OCDs/XADE,得匹 CD, AD DE,8t CD ，4t 5tCD 10t.在 ADCE 中，. CD . y x 8,则点P的坐标为(16,0). (3)满足条件的直线l有2条：y 2x 12, y 2x 12 .如图2:准确画出两条直线.5.(14 宁德市)26.已知：矩形纸片 ABCD中，AB 26厘米，BC 18.5厘米, DE2 CE2, .(10t)2 (5t

10、)2 (5伺2,解得 t 1. .OC 8, AE 3,点 C 的坐标为(0,8),点E的坐标为(10,3),设直线CE的解析式为y kx b ,10k b 3,在刀/曰 解得1一,28,b 8点E在AD上，且AE 6厘米，点P是AB边上一动点.按如下操作: 步骤一，折叠纸片，使点 P与点E重合，展开纸片得折痕 MN （如图1所示）；步骤二，过点P作PTLAB,交MN所在的直线于点Q,连接QE （如图2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE （填“ "、“ "、“ ”号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点P在A

11、点时，PT与MN交于点Qi, Qi点的坐标是（, ）;当PA 6厘米时，PT与MN交于点Q2, Q2点的坐标是（, ）；当PA 12厘米时，在图3中画出MN, PT （不要求写画法），并求出MN与PT 的交点Q3的坐标；（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q1, Q2, Q3,观察、猜想： 众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.2在 RtAAPEj解：（1）*'PQ QE .1, PEAE2 AP2 6-.5 F12E'一一I I I I u121824图3 .PF -PE 3芯. 2 Q3PFEPA 90° , AEP EPA 90&

12、#176; ,Q3PFAEP .24 B又EAPQ3FP 90°. .Q3PFPEA .Q3P PF"PE- EAQ3PPE PFEA9(12,15).方法二：过点E作EGQ3P ,垂足为G ,则四边形 APGE是矩形.GP 6, EG 12 .设 Q3Gx ,则 Q3E Q3P x 6 .在 RHQsEG 中，EQ2 EG2 Q3G2 .222(x 6)12 x .Q3P 125.9(12,15).(3)这些点形成的图象是一段抛物线.函数关系式：y x2 3(0< x< 26).126. (14日照市)24.如图，直线EF将矩形纸片ABC6成面积相等的两部分，

13、E、F分别与BC交于点E,与AD交于点F(E, F不与顶点重合)，设AB=a,AD=b,BE=x(I)求证：AF=EC(n)用剪刀将纸片沿直线 EF剪开后，再将纸片 ABE船AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF勺下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作 EE' B' C.(1)求出直线EE'分别经过原矩形的顶A和顶点D时，所对应的x : b的值；(2)在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE',直线BE与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当 a与 b满足什么关系时，它们垂直？解：(I )证明：

14、AB=a AD=b BE=x , S梯形 abe= S 梯形 cdfe1 ,_ 1 _，-a(x+AF)= -a(EOb-AF)，2 2.-.2AF=E(+( b-x).又 EO b-x,图，2AF=2EC 即 AF=EC(n) (1)当直线eE经过原矩形的顶点 D时，如(一)，V EC/ E' B',.EC _ DC.E B DB由 EC= b-x, E B'=EB=x, DB =DGCB =2a,2a当直线E' E经过原矩形的顶点 A时，如图(二)，在梯形AE B D中,EC/ E B',点C是DB的中点,.CE=1(ADf E B'),2即

15、 b-x= 1 (b+x), 2 K 1一 x . b=3 .（2）如图（一），当直线EE 经过原矩形的顶点 D时，BE / EF.证明：连接BF. FD/ BE FD=BE, 四边形FBE嗝平行四边形， .FB/ DE FB=DE又 EC/ E B',点C是DB的中点， .DE=EE'， . FB/ EE , FB= EE', 四边形BE EF是平行四边形 . BE / EF.如图（二），当直线EE 经过原矩形的顶点 A时，显然BE与EF不平行，设直线EF与BE交于点G过点E'彳E ML BC于M 则E'附a. . x : b=-, 3 EM=-B(=

16、-b. 33若BE 与EF垂直，则有/GB+/BEG90° ,又 / BEG/ FEC= / MEE ,/MEE +/ ME E=90° ,在 RtABME 中 , tan / E BM=ZGBiZME E.EM a tan / GBE=BM 2 b 3图<r>,. .EM 1b在 RtEME 中,tan/ME E = EM-=3-1b a = 3 2 a-b3又< a>0, b>0,.当a 贝时，BE与EF垂直. b 37. (14荆门市)28.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知qo , 0) , A(4 , 0), qo

17、 , 3),点P是OA边上的动点(与点Q A不重合).现将4PAB沿PB翻折，得到 PDB再在OC边上选取适当的点 E,将 POE沿PE翻折，得到 PFE并使直线PD PF重合.(1)设P(x, 0) , E(0 , y),求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上，求过点P、R E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q使 PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.图1图2解：(1)由已知PB平分/APD, PE平分/OPR 且 PD、PF重合ZBPE：90° . ./ OPE-

18、 /APB：90° .又/ AP拼 / ABP=90° , . . / OPE/PBARtAPOE RtABP/A.PO BA x 3.、， 1 、1 2 4 . 即- .y=_x(4 x) -x -x(0 <x<4).OE AP y 4 x333且当x=2时，y有最大值-. 3(2)由已知， PAB POE匀为等腰三角形，可得 P(1 , 0) , E(0 , 1), B(4,23).c 1,2,设过此三点的抛物线为 y=ax2+bx+ c,则a b c 0,1.16a 4b c 3.y= 由（2）知/EPB=90° ,即点Q与点B重合时满足条件.直

19、线PB为y=x 1,与y轴交于点（0 , 1）.将PB向上平移2个单位则过点E（0, 1）,.二该直线为y=x+1.y x 1,5由 1 2 3 j 得 x ：，Q(5, 6).y x x 1, y 6.22故该抛物线上存在两点 Q4, 3）、（5, 6）满足条件.8. （14湖W匕省孝感市）25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片 ABCD使AD与BC重合，得到折痕 EF,把纸片展开（如图 1）;第二步：再一次折叠纸片，使点 A落在EF上，并使折痕经过点 B,得到折痕BM同时得到线段 BN （如图2）.（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图

20、2,若延长MN BC于P, ABM提什么三角形？请证明你的结论.ABCDt剪出符合（1）中结（2）在图2中，若AB=a BC韦，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片 论的三角形纸片 BMP ?.设直线BM为y kx,当 AB CD（3）设矩形ABCD勺边AB=2, BG4,并建立如图3所示的直角坐标系MBC=60°时，求 k的值.此时，将 ABM沿BM折 中点）？为什么？（图3）解：（1） ABM屋等边三角形.证明：连结AN. EF垂直平分 AB AN= BN由折叠知 AB= BNAN= AB= BN .ABM 等边三角形.Z ABN=60 °. PBN=30 °又

21、ABM=ZNBM=30° , Z BN附 Z A=90 ° ./ BPN=60°Z MBR： Z MBN- Z PBN=60 °.Z BMP=60MBR= Z BMR= Z BPM=60 °ABM的等边三角形.（2）要在矩形纸片 ABCDt剪出等边4 BM?则BC >BP在 RtABNP中，BN= BA= a, / PBN=30°/-BP= _b> -a< b .cos30°cos30°2V3:当a< b时，在矩形上能剪出这样的等边 BMP2（3） M BC =60 °./ ABM

22、 =90 ° 60° =30°在 RtAABM 中，tan Z ABM = /. tan30 0 =- /.AM ;也 AB23 .M'（逑，2）.代入 y=lo（中，得 k=3 = Q32V33设AABM沿BM折叠后，点A落在矩形ABC呐的点为A 过A作A H BC交BC于H A A BM ABM ABM = ABM =30 ° , A B= AB =2 ABH MBH - ABM =30° .在 RtA A BH中， A H =- A B=1, BH=v'32A V3,1A 落在 EF±.（图2）（图3）9. （1

23、4广东省茂名市）25.如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABCO为坐标原点，AB/X轴，B (3,布)，现将纸片按如图折叠，AD DE为折痕, OAD 30 .折叠后，点 O落在点01 ,点C落在点C1,并且DO1与DC1在同一直线上.(1)求折痕AD所在直线的解析式;(2)求经过三点 Q C1, C的抛物线的解析式;(3)y若。P的半径为R,圆心P在(2)的抛物线AOP与两坐标轴都相切时，求。解：(1)由已知得OA 品 OAD 30 .P半径R的值.OD OA tan 30 1 ,3A 0,出，D 1,0 .设直线AD的解析式为y kx b .把A, D坐标代入上式得：b ,3

24、k b 0解得：k b .3折痕AD所在的直线的解析式是0yA；E25一) 题DF 25题(2)过 C1 作GF 由已知得 ADO 又 DO31 = 2, 二在 RLAC1DF 中,1 -DF - DC1 1 , 2OC于点FADO. DCC1F60DCDC1 gsinC1DC 60 .C1DF 2 sin6073.C1 2,6 ,而已知法一：设经过三点 Q C, C的抛物线的解析式是yax x 3点C1 2,也在抛物线上，.33 2一 y x x 3 x222a 2 373, . a 2除为所求法二：设经过三点O, G, C的抛物线的解析式是y ax2 bx c,(a 0). 把Q C, C

25、的坐标代入上式得：c 04a 2b c ,3,9a 3b c 0a 3解得b的3, y邑2%x为所求.222c 0(3)设圆心P xy ,则当。P与两坐标轴都相切时，有 y x.x得73 x2递x x,解得xi0 (舍去)，x23也.2213x,得包x2迪X x解得xi 0 (舍去)，x2 3公.223,所求0 P的半径R 3乎或R 3手10. (14 重庆市)28 .已知，在Rt OAB 中,/ OA由 90°, / BOA= 30°, AB=2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将 RtAOABn OB折叠后，点A落在

26、第一象限内的点 C处(1)求点C的坐标；(2)若抛物线y ax2 bx (a0)经过C A两点，求此抛物线的解析式；(3)若抛物线的对称轴与 OB交于点D,点P为线段DB上一点，过P作y轴 的平行线，交抛物线于点 M问：是否存在这样的点 P,使得四边形CDPMfc等 腰梯形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线y ax2 bx c (a0)的顶点坐标为 ,4ac b ,对称轴2a 4a公式为x 2a解：(1)过点C作CHL x轴，垂足为HAB= 2.在 RtOAB中，/ OA品 900, / BOAf 300,O氏4,。上 2 3由折叠知，/ CO品300, OO。

27、七243丁/COHk 60°, OHk 於,CH 3.C点坐标为（翼,3）（2） 丁 抛物线 y ax2 bx （ a 乎 0）经过 C （ 33, 3）、A （2庶,0）两点解得:2.3,3,3 2a ,3bx22 3x02 3 2a 2 3b 此抛物线的解析式为：（3）存在。因为y x2 2/x的顶点坐标为（依,3）即为点CMP，x轴，设垂足为N, PN t,因为/BOA= 300,所以ONk 73 t .P （ 731, t）作PQL CD,垂足为Q, MH CD垂足为E把 x <3 t 代入 y x2 273x 得：y3t2 6tM （ T3t, 3t2 6t）, E

28、（ 73, 3t2 6t）同理：Q（凡 t）, D（ J3, 1）要使四边形CDPMfc等腰梯形，只需 CE= QD即 3 3t2 6t t 1 ,解得：L - , t2 1 （舍） 3P点坐标为（上。3 ,） 33 .存在满足条件的点P,使得四边形CDPMJ等腰梯形，此时P点的坐为（4石，4） 3311. （15山东青岛）24.（本小题满分12分）已知：如图，在 RtzXACB中， C 90°, AC 4cm, BC 3cm ,点P由B出发 沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速 运动，速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t(s) (

29、0 t 2),解答下列问 题：(1)当t为何值时，PQ / BC ?(2)设4AQP的面积为y (cm2 *),求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtzXACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；(4)如图，连接PC,并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.4.(本小题12分)12.(15浙江湖儿已知：在矩形AOBC中，OB 4, OA 3.加亮TOB,小所/C为x轴和y轴,建立如图所示的画面直角坐标系.F是边BC上的一个动点/(不与

30、B, C重合),、 k图过F点的反比例函数y -(k 0)的图象与AC边交于点E . x(1)求证： AOE与 BOF的面积相等；(2)(3)由题意得y1Xiy2X2c1 .11_.I.Si_ Xi yi_ k ,S2 X2 y2- k 2222SiS2 ,即AAOE与AFOB的面积相等.13 -k4(2)由题意知：E, F两点坐标分别为E k,3 , F 4,-,341Sa ecf -ECgCF 2St大值112k2k.12126时,S有最大值.1J12(3)解：设存在这样的点F ,将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN OB ,垂足为N .11由题息得：EN AO

31、 3, EM EC 4 k, MF CF 3 k , 34Q EMN FMB FMB MFB 90o , EMN MFB .又 Q ENM MBF 900, ENM s/Xmbf .EN EMMB MF3MB4 1k 4 1 三k _3_12c 1 ,13 k 3 1 k412QMB2 BF2 MF2,4k,解得k 21.8BFk 214 32存在符合条件的点F ,它的坐标为4,21 .3213 (15浙江衢州)24、(本题14分)已知直角梯形纸片 OABCS平面直角坐标系 中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为0(0, 0), A(10, 0), B(8, 24)，C(0, 2J3),点T在

32、线段0A±(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点 A落在 射线AB上(记为点A ),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的 横坐标为t,折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S;(1)求/0AB的度数，并求当点 A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在,请说明理由。(15浙江衢州24题解析)TA x24、(本题14分)解：(1)A, B两点的坐标分别是 A(10, 0)和B(8, 243),一 tan OAB2.310 8OAB 60当点A在线

33、段AB上时，:OAB 60.A'TA是等边三角形，且TP TA二 TPP在线段AB（不与B重合）上时,与B重合时,t) , A Pc1 一S atp A P 211AP 2AT 2(10 O,所以此时6 t 10。当点P与B重合时，AT=2AB=8点T的坐标是0)又由（1）中求得当A与B重合时，T的坐标是（6,所以当纸片重叠部分的图形是四边形时,600).3 .(10 t)sin 60(102（2）当点A在线段AB的延长线，且点纸片重叠部分的图形是四边形（如图（1）,其中E是TA'与CB的交点）,（3）S存在最大值O当 6 t 10时，S 四(10 t)2 ,8在对称轴t=10

34、的左边，S的值随着t的增大而减小,二当t=6时，S的值最大是2存。S A EB当2 t 6时，由图O ,重叠部分的面积S S atpA'EB的高是 A Bsin60.3212.3 S (10 t) -(10 t 4) 822当t=2时，S的值最大是4<3 ;当0 t 2,即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图Q,其中E是TA'与CB的交点，F是TP与CB的交点)，EFT FTP ETF,四边形 ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4S -EF OC - 4 2,3 4.3 22综上所述，S的最大值是4、；3,此时t的值是0 t 2。14 15浙江绍兴)24.将一矩形纸

35、片OABC放在平面直角坐标系中，0(0,0) , A(6,0),2C(0,3).动点Q从点0出发以每秒1个单位长的速度沿0C向终点C运动，运动三3秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿 A0向终点0运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 P的运动时间为t (秒).(1)用含t的代数式表示0P, 0Q；(2)当t 1时，如图1,将40PQ沿PQ翻折，点0恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；(3)连结AC ,将40PQ沿PQ翻折，得到EP、，如图2 .问：PQ与AC能否(第24题(2)当t 1时,过D点作DD1OA ,交OA于D1 ,如图1 ,贝U DQ QOQCD(13) (3)P

36、Q能与AC平行.若 PQ /AC ，如图2,则OQOAOC '3149PE不能与AC垂直.若PE延长QE交OA于F如图3,则QCOQ QF OCg375QF(.5i)t "531).又Q RtA EPF s RtAOCA,PEEFOCOA，6 t-2('-5 1) t 23t 3.45,而 0 0 t & 7 , 3t不存在.15 . (15浙江宿迁24题解析)24.如图，在矩形ABCD中，AB 9, AD 34, 点P是边BC上的动点(点P不与点B，点C重合)，过点P作直线PQ / BD ,交 CD边于Q点，再把APQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点

37、，设CP的 长度为x , PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y .(1)求CQP的度数；(2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？(3)求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的?27二瓶上D、C、1. (15渝南那R6“B如图9A在看咕窗g漫有AABQ嚎隽髀 BDEFG且 C46 cm；在 ABC中：/ C= 90°, / A= 30、AB= 4 cm；在直角梯形 DEFG中：EF/DG, / DG曰 90O,DG=6cm, DE= 4 cm, / ED除 60°。解答下列问题：(1)旋转：将ABC点C顺时针方向旋转90°,

38、请你在图中作出旋转后的对应图形ABC,并求出AB的长度；(2)翻折：将ABC沿过点B且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形A2BC,试判定四边形 ABDE的形状？并说明理由；A3RC2(3)平移：将ABG沿直线l向右平移至 A3B2G2,若设平移的距离为x ,与直角梯形重叠部分的面积为y ,当y等于ABC面积的一半时,x的值是多少？(2)四边形ABiDE为平行四边形.理由如下：.一/ ED岸60° , / ABiC=/ABC= /ABC= 60° ,ABU DE又 AB = AiBi = AB= 4, DE= 4,. ABi= DE,故结论成立.4分(3)由题意可知

39、：-1i-j-S aabC=1 2 2V32第，2当0 x 2或x i0时，y = 0此时重叠部分的面积不会等于 ABC的面积的一半5 分当2 x 4时，直角边 RC2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC=CC2-DCi= (x 2)cm,则丫= 1 x 2 3 x 2 x 2 2,22当丫 = Sa abC= 73 时，即-x 2 2 V3 22解得x 2 及 (舍)或x 2 22 .当x 2 及时，重叠部分的面积等于 ABC的面积白一半.当4 x 8时， AB2G完全与等腰梯形重叠，即 y 237分当 8 x 10时,B2G=BG-GG=2 ( x8)=10- x1_贝 1 y = 10

40、 x . 3 10 x2-Sa abc=273时，即10 x2 V3 ,2解得x 10 72,或x 10 72(舍去).当x 10 V2时，重叠部分的面积等于 ABC的面积的一半 9由以上讨论知，当x 2 72或x 10 ”万时，重叠部分的面积等于 ABC的面积的一半.10分 2.(广西玉林卷)在矩形 ABCD中，AB 4, BC 2,以A为坐标原点，AB所 在的直线为x轴，建立直角坐标系.然后将矩形 ABCD绕点A逆时针旋转，使点 B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上(如 图).(1)求经过B, E, G三点的二次函数解析式；(2)设直线EF与(1)的二次函数

41、图象相交于另一点 H ,试求四边形EGBH的 周长.(3)设P为(1)的二次函数图象上的一点，BP /EG,求P点的坐标.解(1)解：由题意可知，AE AB 4, AG AD BC 2 . B(4,0) , E(0,4) , G( 2,0).设经过B, E, G三点的二次函数解析式是TJy a(x 2)(x 4).把E(0,4)代入之，求得aA所求的二次函数解析式是:1 ,、1 2y 2(x 2)(x 4)2x x 4.(2)解：由题意可知，四边形 AEFG为矩形.FH / GB ,且 GB 6.直线y 4与二次函数图象的交点 H的坐标为H (2,4),: G与B, E与H关于抛物线的对称轴对

42、称, BH EG J42 22 245.一四边形EGBH的周长(3)解法1:设BP交y轴于v BP / EG , AB : AG AM : AE ,即 4: 2 AM :4 . AM 8,于是 M (0,设直线BM的解析式为把 B(4Q)M(0,8)代入之,/曰 4k b b 8.°,解得k 2, b 8.y 2x联合一次,二次函数解析式组成方程组2x 8,12一 x x 4.解得xy4'(此组数为B点坐标) 0.丁所求的P点坐标为P( 6,20).解法2:过P作PN，x轴于N .由BP / EG ,得 EGB PBN .设所求P点的横坐标为a(a 0),则纵坐标为 1a2

43、a 4(a 0).2PNAE 4v tan PBN ，tan EGB 2, NBAG 2.PN AE 2NB AG NB NA AB 4 a,PN1a2 a 421a2 a 4, 2-a2 a 4 2解之，得a 6或a 4 .经检验可知，a 6是原方程的根；a 4是原方程的增根，故应舍去.当 a 6 时，1a2 a 41 ( 6)2 6 4 20 .22所求的P点坐标为P( 6,20).点评此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入 点也较多，很容易入题。3. (14南京市)27.在平面内，先将一个多边形以点。为位似中心放大或缩小， 使所得多边形与原多边形对应线段的比为 k

44、 ,并且原多边形上的任一点 P,它的 对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点 O为旋转中心，逆时 针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O(k,)，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角.(1)填空:如图1,将4ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的 2倍，再逆时针旋转60o,得到ZXADE ,这个旋转相似变换记为 A （, ）;如图2, 4ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（点90°）,得到 AADE ,则线段BD的长为 cm；（2）如图3,分别以锐角三角形 ABC的三边AB , BC , CA为边向外作正方形

45、ADEB, BFGC, CHIA ,点O1，O2, O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用AAQQ2与4ABI , ZXCIB与 CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段OQ2与AO2之间的关系.解：（1） 2 , 60°EABB C厂 DFGCIbI总旋转相似变换C泌,45。，得到对庆。2,混舟,线段BI变为线段2AO1 .Q 亚 鱼 145。45° 90° ,2O1O2 AO2 , O1O2 AO2 .4. （15湖北恩施）六、（本大题满分12分）24.如图11,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 AB丽AFG罢放在一起，A为公共顶点，

46、/ BA（=/AG=90° ,它们的斜边长为 2,若？ABC0定不动，？AFG点A旋转，AR AG与边BC的交点分别为 D E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=mi C摩n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量 n的取值范围(3)以？ABC勺斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为 y轴, 建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE求出D点的 坐标，并通过计算验证 BD2 +CEz =DE2.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CH=DE是否始终成立，若成立

47、,又/ B=ZC=45°. .？AB白?DCA(2).?AB回?DCA.BE BA CA CD由依题意可知 CA=BA= 2m 2 2 n二 m=2自 变 量 n 的 取围 为 1<n<2.由 BD=CE可得 BE=CD 即 m=nm=2 nm=n= 21 一 ，,.OB=O(=1BC=1 2.OE：OBV2 -10). D1，BD=OB O=1-( V2 1)=2 ,2 =CEDE=BC- 2BD=2-2(2 DS=(2 <2 -2) 2= 12 -8 ,2.BDCE=DE证明：如图，将？ACE绕点 A顺时针旋转90°至?ABH的位置，则V BD2 +C

48、E2=2 BD2 =2(2 <2 ) 2 =128,2 ,CE=HBAE=AH连接 HD在？EACf口？HAB/ABH/ C=45° ,旋转角/. AE=AH /HAB/EAH/，？EA陛？HAD .DHDE又/ HBD/ABH/ABB90。 .BC2+Hf =DH2即 BD 2+ CE 2=DE212分5. (15湖北武汉)(本题答案暂缺)25.(本题12分)如图1 ,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0 ) , C (3,2)两点，与y轴交于点D,与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式；(2)若直线y=kx-1 (kw0)将四边形ABC面积二等分，求 k的值

49、；(3)如图2,过点E (1, -1)作EF，x轴于点F,将 AEF绕平面内某点旋转 180°后得 MNQ(点M, N, Q分别与点A, E, F对应)，使点 M, N在抛物线上，求点 M, N的坐标.(15 湖北武汉 25 题解析)25. y - x2 3x 2; k m(3, 2),N (1,2233)6. (15江苏淮安)(本题答案暂缺)28.(本小题14分)如图所示，在平面直角坐标系中.二次函数y=a(x-2) 2-1图象的顶点为P,与x轴交点为A、B,与y轴交点为C.连结BP并延长交y轴于点D.(1) 写出点P的坐标；(2) 连结AP,如果 APB为等腰直角三角形，求 a的

50、值及点C、D的坐标；(3) 在(2)的条件下，连结 BG AG AD,点E(0, b)在线段CD端点C D除外)上，将 BCD绕点E逆时针方向旋转90° ,得到一个新三角形.设该三角形与4ACD重叠部分白面积为 S,根据不同情况，分别用含 b的代数式表示S.选 择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当 b为何值时，重 叠部分的面积最大？写出最大值.7. （15江苏徐州）（本题答案暂缺）28.如图1, 一副直角三角板满足 AB= BC,AO DE, /ABC= /DE曰 90° , / ED曰 30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板AB

51、C的斜边AC上，再将三角 板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中，（1）如图2,当生=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.EA（2）如图3,当 生=2时EP与EQ满足怎样的数量关系？,并说明理由.EA（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE = m时，EP与EQ满足的数 EA量关系式为 ,其中m的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）【探究二】若，AO 30cm,连续PQ设4EPQ的面积为S（cm2）,在旋转过程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.（2）随着S取不同的

52、值，对应 EPQ的个数有哪些变化？不出相应 S值的取值 范围.（15山东青岛24题解析）24.（本小题满分12分）由题意知：AP = 5t, AQ = 2t,若 PQ/ BC 贝必 APQ sABC解：(1)在 RtABC, ab TbcAc7.aq apAC. 2t. 4;AB '5 t-T，107(2)过点P作PHHLAC于H.APH sMBC.PH AP 一 BC AB，.PH 5 t-3-5-，PH 3 -t , 5y 1 AQ PH 2 2t (3 3t) -t2 3t 2255(3)若PQBABCW长平分，贝U AP+AQ=BP+BC+CQ (5 t) 2t t 3 (4 2t), 解