二次函数与方程根的讨论

1、二次函数与方程根的讨论函数与方程的思想，是数学高考考查的热点，也最能反映学生的综合素质，有利于发展学 生的创新思维能力。二次函数与方程的根的讨论也贯穿于函数问题考查的始终。1 .已知含参数的一元二次方程的根在某区间，求参数范围，可借助二次函数的图像。设 f(x)=ax2+bx+c (a>0),方程 ax2+bx+c = 0 的两根为 a, P(o( < P) , m, n 为常数且n < m。a, P分居两区间时，只需考虑端点函数值符号。如：a w (00,m) , Pw(m, +8)= f(m)<0第3页共3页Pw(m, +8)u f (n) < 0且 f (m

2、) < 0a, P位于同一区间时，不但要考虑端点函数值符号，还要考虑之0及-2的范围。2af(m) >0如:，I；二(m,二)二m2a=b2 -4ac 一 0f (m) > 0f (n) >0，口,Bw(n,m),仁 <A = b2_4ac2bn < 一一 < m2af(n) >0b% P 匚(-°0,n)=< n,2a:=b2 - 4ac - 02 .确定方程的实根个数或实根范围，注意数形结合，往往起到事半功倍的效果。22例1：已知关于x的万程(1 -m )x +2mx1 =0的根在区间0, 1内，求实数m的取 值范围。分析：函

3、数与方程的有机统一是解决本题的关键，而数形结合思想的应用则是解决本题的突破口。解：本题是含有字母 m的方程，可能是一次方程，也可能是二次方程，对m讨论如下:当1 m2 =0,即m = ±1时，原式为一次方程。1 m =1 时，x = 2 = 0, 1,二 m = 1 是解(m = 1 舍去)。1 _m2 #0时，原式为二次方程。，22、 =4m +4(1-m )=4>0,则万程有两个不等的实根，以下的解法有两种:、，一、一，11方法一： 原方程根为：x1 =, x2 =m 1 m -110 < <1 xW0, 1,. m m +1解得 m 之210 一 _1m -

4、1由、知 m的取值范围为 m之2或m = 1。方法二：0 >0 ,结合二次函数图象使其两根在0, 1内,分图象开口向上、向下两种情况加以研究。L 21 - m > 0f (0)至 0当开口向上时：4 f (1) > 0cb d0 < 一<1L2a当x=0代入方程，有f(0) = 1 <0与f (0)之0矛盾,，此种情况不成立。当开口向下时:*2_1 - m <0f (0) < 04 f (1) <0b2a得 m >2 o例2:已知二次函数f (x) = ax2 + bx +1(a,bw R,a >0),设方程 “*)=*的两个实

5、由、知m之2或m =1。数根为x1和x2。如果x1 <2 <x2 <4,设函数f ( x)的对称轴为x = x0 ,求证：x0如果Xi <2, X2 Xi =2,求b的取值范围。分析：本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考查根的分布等综合运用所学知识的能力。2解：设 g(x) = f(x)x =ax +(b1)x+1 (a>0)由条件 x1 <2 < x2 <4得，g(2)<0, g(4) > 04a 2b -1 :二 016a 4b -3 03一 ，1八4a ： b ： 2a423 11显然必有3 -4a <-2a，得a

6、>,4 283b1b1+ (-2a)得：4 -一 > >1 -，故x0= >1 - A1,结论成立。1-x2 => 0 , . . x1, x2 同号a8a2a4a2a4a由方程 g(x) =ax2+(b1)x+1 =0可得 x110若0<x1<2,同x2x1=2 (负根舍去)二 x2 =x1 +2>2 二 g(2) <0,即 4a +2b-1< 0又(x2 -x1)2 =91)4 = 4, a a: 2a +1 = J(b-1)2 +1(. a >0,负根舍去)代入式可得，2J(b -1)2 +1 <3-2b解得b c1。420 若2 < x1 < 0 ,则 x2 =x1 2 < -2 (正根舍去)二 g(-2) <0 ,即 4a -2b +3 <0 ,又2a +1 = J(b