8.中考数学专题04勾股定理章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

1、专题04勾股定理章末重难点题型汇编【举一反三】考点6利用勾股定理作图考点7勾股定理的证明考点8勾股定理逆定理的应用考虑9勾股定理的实阮应用考点10利用勾股定理解析卷问题后沏分别【考点1利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于考点1利用勾股定理求面积一一考点2判断直角三龟形著i 7-考点4勾股数相关间期-一考点5利用勾股定理求长度:将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系【例1】（2019春?鄂城区期中）在 Rt AED中， E 90 , AE 3, ED作正方形ABCD ,则止方形ABCD的面积是（）A. 5B. 25C. 7D.【变式1-1 （2019春?宾阳县期中）如图，

2、图中所有的三角形都是直角三角形，最大止方形 E的边长为10,则四个止方形 A, B, C, D的面积之和为（5EA. 24B. 56C. 121D.【变式1-2（2019春?武昌区校级期中） 如图，Rt ABC中， ACB 904 ,以AD为边在 AED的外侧10四边形都是止方形，其中）100以AC、BC为直径作半圆S1和S2 ,且s S22 ,则AB的长为（）srA. 16B. 8C. 4D.【变式1-3（2019春？兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形.若S1,S2 , S3, S4和S分别代表相应的正方形的面积，且 G 4 , S29, S3A. 25B.

3、 31C. 32D.40【考点2判断直角三角形】【例2】（2019春?芜湖期中）在以线段【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形a, b, c的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A.a 4, b 5, c 6B. a:b:c 5:12:13C.【变式2-1】 （2018春?淮南期中）b、c为 ABC三边，不是直角三角形的是 （）A.A: B: C 3: 4:5B.C.D.17kc 15k【变式2-2】 （2018秋?金牛区校级期中）下列说法中,正确的有如果A B C 0,那么 ABC是直角三角形;D. a 4, b 5, c 3如果A: B: C 5

4、:12:13 ,则 ABC是直角三角形;如果三角形三边之比为 斤丽:而,则 ABC为直角三角形;如果三角形三边长分别是 n2 4、4n、n2 4（n 2）,则ABC是直角三角形;A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A、【变式2-3（2019春?寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有D、E、F、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是A.点A、点B、点CC.点B、点E、点F D .点B、点G、点E【考点3利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】 解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股 定理即可求解.【例3】（2018

5、秋?福田区校级期中）如图，一圆柱高 BC为20cm,底面周长是10cm, 一只蚂蚁从点 A爬3到点P处吃食，且PC -BC ,则最短路线长为（）5A. 20cmB. 13cmC. 14cmD. 18cm【变式3-1（2018秋?沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm. A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A. 15 dmB. 17 dmC. 20 dmD. 25 dm1cm和3cm ,高为6cm.如果用一根细线【变式3-2 （2018春?凉州区期末）如图，长方体的底面边

6、长为从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用细线最短需要（）A. 12cmB. 11cmC. 10cmD. 9cm【变式3-3（2019秋?松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米,在杯口内壁离杯口 1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁,底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖 A处的最短距离是（A的相对方向有一小虫P ,小虫离杯）C. 84万厘米D. 8厘米a.历厘米b. 10厘米【考点4勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a为1个大于1的奇数，b, c是两个连续的自然数，且有 a2=b+c,则a,b,c为一组勾股数；（2）如果a,

7、b,c为一组勾股数，那么 na, nb, nc也是一组勾股数，其中 n为自然数.【例4】（2018秋?新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组.（填写数量即可）（1） 6, 8, 10（2） 1.5, 2, 2.5（3） 32, 42, 52 （4） 7, 24, 25 后，血，及2c 2n 2n 1 ,其中一【变式4-1】 （2019春？闽侯县期中）勾股定理 a2 b2 c2本身就是一个关于a, b, c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a, b, c）通常叫做勾股数.如果三角形最长边短边a 2n 1 ,另一短边为b ,如果a , b , c是勾股数，则b （用含n的代数

8、式表示，其中 n为正 整数）【变式4-2 （2018春?襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：4, 3, 5;6, 8, 10;8, 15, 17; 10, 24, 26请根据你发现的规律写出第 组勾股数： .【变式4-3 （2019春?永城市期中）探索勾股数的规律：32 152 1观察下列各组数：（3, 4, 5）, （5, 12, 13）, （7, 24, 25）, （9,40, 41）可发现，4, 12,721- r於 人24 7-1请写出第5个数组：.【考点5利用勾股定理求长度】【例5】（2018春?港南区期中）如图，在 ABC中，ACB 90CD AB 于点 D , ACBC

9、4 cm,【变式5-1】（2018秋?滨湖区期中）在等腰ABC中，已知AB48 ,求 CBD的度数;(1)若 A12,求AB的长.ABD 中，D90C是BD上一点，已知BC 9【变式5-2（2018春?兴义市期中）如图，在【变式5-3 （2018秋？东明县期中）如图，在Rt ABC 中,ABC 90 , AB 16cm,正方形BCEF的面积为144cm2 , BD AC于点D ,求BD的长.【考点6利用勾股定理作图】【例6】（2018秋?越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为 6个平方单位的等腰三角形；【变式6-1 （201

10、8春?安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为2展 2/0的ABC ,并求它的面积.【变式6-2 （2018春?石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图中，画一个面积为10的正方形；(2)在图、图中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数.【变式6-3 (2018秋?高新区期中)如图，每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求回三角形:(1)在图中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数;(2)在图中，画一个三边

11、长分别为3, 21/2 , J5的三角形，一共可画这样的三角形个.【考点7勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明【例7】(2019春?洛阳期中)下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a, b,斜边为c, a b.请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理.你选择的是 图，写出你的验证过程.【变式7-1 (2018秋?兴化市期中)我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一.勾股定理其实有很多种证明方法.下图是 1876年美国总统伽菲尔德(Garfield)证明勾股定理所用的图形：以 a、b为直

12、角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使 C、B、D三点在一条直线上.(1)求证： ABE 90 ;(2)请你利用这个图形证明勾股定理(即证明：a2 b2 c2).C q B 力。【变式7-2 (2018秋？东台市期中)如图，将Rt ABC绕其锐角顶点 A旋车9 90得到Rt ADE ,连接BE ,延长DE、BC相交于点F,则有 BFE 90 ,且四边形 ACFD是一个正方形.(1)判断 ABE的形状，并证明你的结论；(2)用含b代数式表示四边形 ABFE的面积；(3)求证：a2 b2 c2.i D【变式7-3 （2019春?东光县期中）ADE和ACB

13、是两直角边为a, b ,斜边为c的全等的直角三角形,按如图所示摆放，其中DAB 90 ,求证：a2 b2 c2 .【考点8勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形【例8 （2018春?宾阳县期中）如图，已知在四边形ABCD 中，AB 20cm, BC 15cm, CD 7cm ,AD24cm , ABC 90 .(1)连结AC ,求AC的长;求 ADC的度数;(2)【变式8-1 （2019春?长白县期中）如图，在四边形 ABCD中，已知AB 12, BC 9, ABC 90 ,且CD 39 , DA 36 .求四边形 ABCD的面积.

14、【变式8-2（2018春?丰台区期中）如图，在四边形ABCD中,ABC 90 , AB 3, BC 4 , DC 12 ,AD 13,求四边形 ABCD的面积.【变式8-3 （2019春?鄂城区期中）如图，四边形 ABCD中，AB BC CD AD 4,DAB B C D 90 , E、F分别是BC和CD边上的点，且CE1 _,-BC , F为CD的中点，问 4AEF是什么三角形？请说明理由.【考点9勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可【例9】（2019春?东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到

15、地面还多2米；当把绳子的下端拉开 8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【变式9-1】 （2019春？内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点 D的位置，问船向岸边移动了多少米?（假设绳子是直的，结果保留根号）【变式9-2（2019春?道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距 25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使 E点到C、D两村的距离相等，如图， DA AB于点A, CB AB于点B,E应建在距离 A站多少k

16、m的地方?【变式9-3 （2019春?商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用.请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m长的才子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为A沿墙下滑0.5m ,那么梯子底端 B向外移了多少米？（注意：7375 1.77）【考点10利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春?番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm, BC 8cm,将纸片沿AD折叠，直角边 AC恰好落在斜边上，且与 AE重合，求 BDE的面积.【变式10-1】 （2018秋?建邺区期末）如图，把长为 12cm的纸条ABCD沿EF , GH同时折叠，B、C两 点恰好落在 AD