高等数学习题集附答案及解析

1、第一章函数与极限§1 函数必作习题P16 18 4(5)(6)(8), 6, 8, 9, 11, 16, 17必交习题一、一列火车以初速度 V。，等加速度a出站，当速度达到 必后，火车按等速运动前进；从出站经过T时间后，又以等减速度 2a进站，直至停止。(1)写出火车速度v与时间t的函数关系式；(2)作出函数v v(t)的图形。x证明函数y 在(，)内是有界的。x 1§ 2初等函数必作习题三、判断下列函数的奇偶性:小，21(1) f(x) x sin x(2) f(x)2x 1-；2x 1 f(x) ln(x 4x2 1)。四、证明：若f(x)为奇函数，且在x 0有定义，则

2、f (0) 0。P3133 1 , 8, 9, 10, 16, 17必交习题一、设f(x)的定义域是0,1,求下列函数的定义域:(1) f (ex)；(2) f (ln x)；(3) f (arcsin x)； f(cos x)。、(1)设 f (x) x2 ln( 1 x),求 f (e x);(2)设 f (x 1)x2 3x 2 ,求 f (x)；-11设 f(x) ，求 ff(x), f 0 (x 0, x 1)1 xf(x)三、设f(x)是x的二次函数，且 f(0)1, f(x 1) f(x) 2x,求f ( x) 。f(x)2 x, x 0x 2, x 0g(x)x2,x 0x,x

3、 0，求fg(x)。3数列的极限必作习题必交习题P42 3 (3)(4),4, 5, 6一、写出下列数列的前五项1 .3(1) xn sin n ；3n（2）xn(3) X2nx2n 1(1)nn二、已知xn1)n,用定义证明:lim xn0n§ 4函数的极限必作习题P50 1 (2)(4), 2(2) , 3, 4, 7, 9、用极限的定义证明:lxmi2x22必交习题4 。二、用极限的定义证明:limx6x 56。、研究下列函数在 x 0处的左、右极限，并指出是否有极限:| x |(1) f(x)一x1x,x0(2) f (x)0,x01x2, x0四、用极限的定义证明:lim

4、(x2 6x 10) 2 x 2P54-55 3 , 4, 5;§ 5无穷大与无穷小§ 6极限运算法则必作习题P63 1 , 2, 3、举例说明（当x穷大量。0时）：必交习题（1）两个无穷小的商不一定是无穷小；（2）无界量不一定为无二、求下列数列的极限:limnn 12- n(2)limn5n 1n 166nlimn(19 27(1)n 1) 3n1 =、求下列函数的极限:limi(2)him0(x h)3 x3hlimx(.x(xa) x)=lim四、设limx一22,求 a,b。(1 a)x4 bx32x x§ 8无穷小的比较§ 7极限存在准则，两个

5、重要极限必作习题P71 1 , 2, 4;P741 , 2, 3, 4必交习题一、求下列极限：limx.3_xsin =x(2)limx a一_22 _sin x sin asin 4xlimx(5) limx 0、用极限存在准则求证下列极限：maxa，am；证明:(1) 设 aj 0 (i 1 m), Mlim n aa2n nnam(2)设x1v3 , xn 13(1 xn)(n 1,2,)。证明此数列收敛，并求出它的极限。3 xn三、确定k的值，使下列函数与 xk,当x 0时是同阶无穷小:(2)a 3x2 4x3 ；J1 tgx V1 sin x。四、已知lim ”xb 1,求a和b.

6、x 1 x2 1三、用极限定义证明：(1) xn a(n) ，则对任一自然数k ，也有 xn k a(n)；(2) xna(n) ，则 | xn | | a | (n) ，并举例说明反之未必成立；)。(3)| xn | 0(n) ，则xn0(n设数列 xn 有界，又lim yn 0 ，证明 lim xn yn0 。nn§ 9函数的连续性与间断点必作习题P80 1,2,3必交习题一、当x 0时下列函数f(x)无定义，试定义f(0)的值，使f(x)在x 0连续:小，1x1 f(x);1x1(2) f (x) sin x sin1。 x二、指出下列函数的间断点并判定其类型:1 x f(x)

7、 -一3；1 x2(2) f(x) X 2x ； |x|(x2 1)1 f(x) ex 1ln(1 x)三、确定a和b,使函数f(x)(x a)(x 1)b有无否间断点x 0；有可去间断点x 1。四、设函数f (x)在(证明：若f(x)在x)上有定义，且对任何f(xi x2) f(xi)0连续，则“*)在(Xi, x2有 f (x2), )上连续。§ 10 连续函数的运算与初等函数的连续性§ 11 闭区间上连续函数的性质必作习题P85-86 1 , 2, 3;P91 1,2, 3必交习题一、欲使2ax, x1f(x) 1, x1ln(b x x2), x 1在x1处连续，求a,b。二、求下列极限：ln(x a) ln a lim=x 0 x1(2) lim (x ex)x = x 0sin(x-w)(3) lim 3x 5 1 2cosx31T"2"(4) l