高等数学上册第六版课后习题答案

1、习题1-11 .设 4=(一8,-5)口(5,+8), 5=-10, 3),写出 Akj3,AcB,AW 及小(AB)的表达 式.解 Au5=(-8, 3)d(5, +00),AM=-10, -5),AB=(-oo, -10)55, +8),A(AB)=-10, -5).2 .设A、5是任意两个集合，证明对偶律:(女7尸=心一炉.证明因为x£(Ac8)c<=>xeAM。xA 或 xeBo xeAc 或 xeBc<=> xeAcjBc, 所以 (Ar>B)c=Ac jBc .3 .设映射广X-K4zX,5d.证明(1烟。3>4)/3);证明因为yef

2、(A<jB)<>3xGA<jBy f(x)=yo(因为 xeA 或 xe8)y£/(A)或oy4A)5(3),所以 f(AB)=f(A)f(B.(2)因为y£/(Ac8)=>mtwArAB、使/(x)=yo(因为 xeA 且 xeB) ye/(A)且 y48)=> ye所以 型4 .设映射广XfK若存在一个映射g: AX,使go/=/x, fog=k,其中人、"分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个xeX,有/xx茗对于每一个昨匕有 ，J，Iyy=y.证明:/是双射，且g是/的逆映射:gqi.证明因为对于任意的卜£丫，

3、有4g(V)wX,且於月g(y)=/v y=y,即丫中任意元 素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满射.又因为对于任意的X1WX2,必有於)或，否则若於1)q(X2)=>g/(Xl)=g/(X2)=> X=X2.因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：yfx,因为对每个)E匕有g0)=x£X,且满足/w=4gU)=Ay=y, 按逆映射的定义,g是7的逆映射.5 .设映射广XRAuX.证明：(1 尸妙)=)4;(2)当/是单射时，有广】(/0)尸A .证明(1)因为 xeA >f(x)=yef(A) =>f-(y=xef-(f(A), 所以尸(M)Q

4、A.(2)由(1)知尸A)ZA另一方面，对于任意的x£/T(/(A)n存在y44),使广1°，)=.)=次x)=y.因为yA)且/是单射，所以这就证明了尸(M)u4.因此广】(M)=A .6 .求下列函数的自然定义域：(l)y=j3x+2 ;解 由3.计2之0得函数的定义域为-令+8).丫;占；解由l-X2。得.*吐1.函数的定义域为(-8,1)51，+8).(3)，=工->/1-人； X解由0且1->0得函数的定义域0)50, 1.解 由4-目>0得x<2.函数的定义域为(-2, 2).(5)y=sui>/x;解由壮0得函数的定义 么0,+8

5、).(6)y=tan(x+l);解由x+lw?(D,±l,±2,)得函数的定义域为后奴+3一1 (k=0,±1,±2, ,)(7)y=arcsin(,t-3);解由卜-30得函数的定义域D=2, 4.解由3-x>0且-0得函数的定义域 止(-8, 0)5。, 3).(9)y=ln(x+l);解 由x+l>0得函数的定义域+8).1(10) y=ex.解由注0得函数的定义域0=(-8, 0)5。,+8).7.下列各题中，函数/)和g(x)是否相同？为什么？ (1四)二馆/, g(x)=21gx;(2)Ax)=x, g(x)= J口；(3) /*

6、)=加工一汽,g(x)=Mxi .(4)/(x)= 1, (x)=sec2x-tan2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.|siiix|8.设双工)=0(4)不同.因为定义域不同.X|<y,求奴),奴9)，奴-2)a-2),并作出函数了二贝1)I 归 644的图形.解 它今斗sh吟奴夕小山|=q，贝一夕=|sin(一今|=§,久一2)=0. 。 o 244 Z 4429 .试证下列函数在指定区间内的单调性：(2)y=x+ln 戈,(0, +s).证明(1)对于任意的科工2&#

7、163;(-8, 1),有l-Xl>0, l-X2>0.因为当X1<X2时,)'。2 =1一81-X2 (l-XjXl-2)<0,所以函数产乙在区间(-8, 1)内是单调增加的. 1-X(2)对于任意的XI, X2e(0,+8),当X142时，有H - y2 二(玉十hl )一(巧 + hl X2)(Xj -X2)+111 <0 , X2 所以函数)=r+ln x在区间(0, +8)内是单调增加的.10 .设“T)为定义在(-/,/)内的奇函数，若“I)在。/)内单调增加，证明人刈在 (-/, 0)内也单调增加.证明 对于Vxi, X2C(-/, 0)且

8、X1<V2, W-Xl, -X2e(0, /)K-V1>-X2.因为於)在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以八一X2)研一XI),火2)灯)，於2)次用)，这就证明了对于Vxi, X2E0),有/1)<«X2),所以於)在(-/, 0)内也单调增加.11 .设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-/,/)上的，证明：(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函 数的乘积是奇函数.证明(D设尸。)=/UHg(x).如果儿t)和g(»都是偶函数，则尸(-4/-力以-刈4工)+g(

9、x)=F(x), 所以尸(M为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数.如果於)和g(x)都是奇函数，则/(T)/(THg(T)=dx)-gCl)=-F(X), 所以r(M为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(Q=/U).g(x).如果“T)和g(M都是偶函数，贝IJ尸(TM(T)g(T)=i/Wg(X)=F(X), 所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果/)和g(x)都是奇函数，则F(t 月(T)g(T)=M切-g(x)Mx)g(x)=F(x), 所以r(M为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果«x)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(工区一的奴一1)三公)一 g

10、(x)=W)ga)=-F(x), 所以F(.r)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.12 .下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数乂非偶函 数？(2)=3/-/;4恐；(4)1(a1 )(1+1);(5)y=sin x-cos x+1;(6) .解 因为八-3(-刈21-(-刈2=/(1-/)三")，所以於)是偶函数.(2)由穴_刈=3(-用2-(1)3=3+2可见/)既非奇函数又非偶函数.因为“一刈二匕客二月二),所以人工)是偶函数.1+(-xf 1+X(4)因为 f(-x)=(-x)(-x-1)(-r+1 )=T(X+ l)(x-l)=/(.v),所以人工)是奇

11、函数.由 X-¥)=siii(-x)-cos(-*X l=-sin x-cos x+1 可见 fx)既非奇函数乂非偶函数.(6)因为J(T)=小"学5)=吟贮="、),所以於)是偶函数.13 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：户cos(x-2);解是周期函数，周期为/=2兀(2)户 cos 4x;解是周期函数，周期为/=?.(3)y=l+sin 兀v;解是周期函数，周期为/=2.(4)y=xcos x;解不是周期函数.(5)y=sin2.t.解是周期函数，周期为/=不14 .求下列函数的反函数：(l)y=V-v+l;解由尸Vx+1得x=y3-

12、i,所以产胃口的反函数为"x3-1.(2) y=1-x.T+x,解由尸公得'=奈,所以产公的反函数为"公.(3)尸给皿X);解由y = 生咎得所以产铛的反函数为尸也包'cx+d cy-acx+dcx-aJ(4)y=2siii3x;解 由 y=2 sin 3x 得.y arc sui2所以y=2sin3x的反函数为），arcsinV.2(5)y=l+ln(x+2);解由 v=l+ln*+2)得 x=e'T-2,所以)=l+ln(x+2)的反函数为 y=ei-2.产2XF+i解由产言得X=l°g2六，所以尸治的反函数为y=log2 y- 1一x

13、15 .设函数兀i）在数集X上有定义，试证：函数4I）在X上有界的充分必要条 件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数段）在X上有界，则存在正数M,使族工）区，即 这就证明了及丫）在X上有下界-M和上界M.再证充分性.设函数4丫）在X上有下界Ki和上界 上，即Kx）< Ki .取 M=max|K", |昭|,则 -M< K（x）< Ki<M,即|/（x）|<M.这就证明了 "v）在X上有界.16 .在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于 给定自变量值总和X2的函数值：7t 7t解 y=sin2x,弘=sin2

14、 q=少=；,为=sii】2+（乎>.解 y=sin2.v,(2)户sin u, u=2x,%=sin(2= >/22(3)y=, iqI+x2, %i=l, X2= 2;解 y=Jl+f , y=Jl+F =0,、2=Jl+2?=6.(4)产乙=0, x2=1;解 y-ex,)， = /-=1, y2 = e1 =e.(5) y=u2, n=" , xi= 1, X2=-1.解 V=A yl=e2 l=e y2=e2 (-l)=e-2.17 .设/U)的定义域b0,1,求下列各函数的定义域：而)；解由O-Wl得k区1,所以函数外2)的定义域为-1, 1.(2)於 iiu

15、);解 由0<sinx<l得22;4(2+1)4(=0, ±1, ±2. .)，所以函数/(sinx)的定义域 为2石(2+1)团(n=0, ±1, ±2- - -).(3)儿叶。)(。>0);解 由0仝+1得-仝41-，所以函数/(x+a)的定义域为-21-a.(4)Xx+)+/()(«>0).解 由0仝+41且04丫一。41得：当OvaK；时，女41一。；当时，无解.因此当OvaV；时函数的定义域为口 1-0，当a斗时函数无意义.118 .设刈=0x=l,g(x)=e求./式必和并作出这两个函数的图T卜>1形.

16、解"0-1x<0 x=0.x>0ex<lr 1H-1,即0ex>l-1曰，即 g"(M= 111 11 11 k-h Krelg/(x)="(')= e° el19 .已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角户40。(图1-37).当过水断面ABCD 的面积为定值So时，求湿周L(L=48+3C+C0与水深力之间的函数关系式，并指明 其定义域.b图 1-37解 AB=DC=-d,又从SU1401/(SC+(5C+2cot40°/)=50 得BC=-cot40° /i,所以 h2 - 0 0540°h

17、siii40自变量的取值范围应由不等式组A>0,*-cot400.%>0确定，定义域为0v/?<&cot40°.20 .收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为 每台75元.(1)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量式的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？解(1)当 0仝4100 时,p=90.令 0.01(xo-100)=9075,得 xo=16OO,因此当 x>1600 时,p=75.当

18、 100<v<1600 时，p=90(100)x0.01=910. Olx.综合上述结果得到(900<x<100p=(91-0.0k 100<x<1600.75x>160030x0<x<100(2)P=(p-60)x=< 31x-0.0Lr2 100 <x<1600 .15xx>16003 3) P=31 x 1000-0.01 x 10002=21000(元).习题1-21 .观察一般项刈如下的数列的变化趋势，写出它们的极限:。)芍=/；解当-8时,与今-0,期*=0.七=(1)2;解 当-8时，/=(lim(1)

19、L=O. nn(3)x/f = 2dy; tr解 当foo时，x =2+4-2, lim(2+4)=2. nL t° tr(4» =一 1+l解 当 oolT'j*, x =-=10, liin -=1. n+1+1+l(5) 无=(1).解当.8时,刈=(-1)没有极限.COS*2 .设数列“的一般项苍尸-.问liinx=?求出N,使当N时，后与其/J-WD极限之差的绝对值小于正数£,当£=0.001时，求出数N.解 limx =0./»>30Xn0=cos等n4V。，要使<£,只要*,也就是小.取N-g,则W&

20、gt;N,有,一0|<£.当 £=0.001 时，N=：=1000.3 .根据数列极限的定义证明：(l)lim-y=0; 一>00*，分析要使I二一0上二<£,只须2>工，即 tr nLs证明因为VqOTN=3,当心N时，有-。卜£,所以lim-V=0. yj£tr->8/ 11m 加±1二； -x» 2/?+1 2分析要使I袈|一目寻不<；<£，只须;<£，即心;.2/+1 2 2(2+1) 444£证明因为WOTN=H-,当心N时，有|加斗一京

21、打所以向誓|=2. 4e2+1 22 2/?+1 2 11m一8分析要使|近五!_+而”=。2 _贮£,只须,之nn(yln2-a2 +/?) n£证明因为VqOVN=Q,当V心N时，有"所以8nliin迎还=1一>004 4) lim"方如9=1.一8 xA个分析 要使|0.99一91| = 焉<£,只须焉<£,即>l+lgL10r10£所以11mq 辔 43 9=L n->00 个4. liin u=a, /i->oo证明 因为 VqO, mN=l+lgJ,当 V>N 时，W|0

22、.99.9-l|<£,/I>00证明lim|%旧目.并举例说明：如果数列麻|有极限，但数列4未必有极限.证明因为所以V。, mNwN,当N时，有%-水£,从而 x|uwp|a|<|un-fl|<£.这就证明了-8数列闷有极限,但数列&未必有极限.例如向1|(-1)卜1,但不 一8H-KC存在.5 .设数列X有界，又 limy=0,证明:limx71yzi=0. /i-x证明因为数列&有界，所以存在M,使VeZ,有后区M又照为=0,所以WoOTNeN,当心N时，有从|京从而当心N时,有-o|=k% KM % I<m 旨&

23、#163;,所以 liin xnyn = 0 . n-»oc .6 .对于数列x,若无2i->a(k-8),X2k->a(女一>s), 证明:>8).证明因为 X2If4也f8), X2I->4(k-8),所以 /£>0,3Ki,当 2hl>2Kil 时，有gi。|<£；水2,当2fc>2K2时,有网一水£.WN=max2Ki-l, 2K2,只要心N,就有麻-水乩 因此 Xn>a(7?>8).习题1-31 .根据函数极限的定义证明：(l)liin(3x-l)=8;x>3分析因为|(3

24、x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1Z|<£,只须次一3|暴.证明因为/。0,当0<卜3<5时，有 |(3x 1)81V£,(3) liinx2-42 x+2=-4；所以叫(31-1)=8.分析所以要使因为 x2-4 x+2x2-4x+2(4)=田+2力-(-2)|,(-4) <£, 只须|工_(_2)|<£.证明因为/£>075=£,当 0<k-(-2)|<b时，有 铮-4)卜£,所以蚂W(4) liinl-4x31 2x+l分析因为-2 |=|

25、l-2,¥-2|=2|x-(-y)|,所以要使 4"一2 <£,只须|x(_')卜£.2x4-122证明因为/£>0,筋=：£,当04x(；)|<5时，有1412x+l2 V£,所以liin4”=2. 2x+l22 .根据函数极限的定义证明:(l)lim 与¥=:； x-»ccz分析因为| 1+X311"27-2l+x3-x32x31IT7'所以要使|第一扑£,只须册但即曲泰.证明因为V£>o, mx =Mis,当|x|>X时，有

26、I 1+X3 1所以 liin 1+ ； =& .a->»2(2) liin 里=0XO J分析因为I siiix所以要使I号詈-V£,siiix0卜£,只须十V£,即证明因为/£>0,mX=4,当x>X时，有I siiix 八"I vr-°”所以ihn+=0.3 .当x.2时，)=*.4.问b等于多少，使当卜21Vb时,|y-41Vo.001?解 由于当-2时,卜-2|-0,故可设卜-2|<1, BP l<r<3.要使-4|=+2|x-2|<5|x-2|<0.001,

27、只要 |x-2|v”=0.0002.取10.0002,则当 0<卜一2|<5 时，就有g4ko. 001.4 .当工-8时，y=W4.l,问X等于多少，使当kX时,|y1|<0.01? K+3品<001，只要曲J孺3=5/7,故乂二屈7.5 .证明函数当X-0时极限为零.证明因为吟|=|田0|=桶一0|,所以要使小尸0|<£,只须卜|<£因为对VqOTMe,使当0<k0<a时有弟）-0|=以|-0|£,所以|40.6 .求/（加工 奴正因当工-0时的左、右极限，并说明它们在xf0时的极 .A限是否存在.证明因为lii

28、n /(x)= liin = liin 1=1, xtO- x->(r x x->o-liin f(x)= liin = liin 1=1, a->o+.D- x n->o+liin /(x)= liin f(x),XT。-X->0*所以极限liin 存在.A>0*因为liin 奴x)= liin = liin =-l a->0"nTT X 10- Xliin 夕(x)= liin = liin =1,xtO+n->0+ X x->0+Xliin 奴x)w liin 奴工)，x->o-所以极限liin队x）不存在.7 .证明

29、：若Xf+8及入-s时，函数八x）的极限都存在且都等于A,则吧 3A.证明因为liin f(x)=A,X>"0Cliin f(x)=A,所以V。, X>-H»mx»o,使当 x<-X 时，有如)-A|<£；3%2>0,使当 x>X2 时，有心)-A|<£.取 X=maxXi, X2,则当W>X 时，有游)-川<% 即 lim/(M=A.8 .根据极限的定义证明：函数於）当xf.to时极限存在的充分必要条件是左 极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设人刈-A（x-刈），则V60,

30、 3&>0,使当0<卜-刈|<5时, 有心）-川<£.因此当Ko-长x<xo和xo<r<ro+时都有fx）-A<£.这说明人刈当xf祀时左右极限都存在并且都等于4 .再证明充分性.设於o-OAAxo+OAA贝IJW60,三必>0,使当X0-2C 时，用於）-4<£；3&>0,使当xo40o+£时，有伏刈-川<£.取酶min瓦，击，则当0卜-4()|<5时，有xo-4<丫40及医，从而有| /)-A|<£,即 /(X)>A(x

31、><0).9,试给出Xf8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解式->8时函数极限的局部有界性的定理：如果/(X)当Xf 8时的极限存在，则 存在X0及M>0,使当W>X时,证明设於)f4(Xf 8),则羔于£=1, mx>o,当k|>X时，有人¥)-川<£ = 1.所以")|二弟)-A+A区距)-A W |< 1+囿.这就是说存在X>0及M>0,使当k|>X时,")|<M,其中M=l+|4 习题1-41 .两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.

32、例如，当1。时，如两网日都是无穷小，但艘鬻号 需不是无 穷小.2 .根据定义证明：(l)y=当当x-3时为无穷小；x+3(2)，=xsin；当X-0时为无穷小.证明 当时口耳 三等|=|a3|.因为/。0,三眄£,当0<卜3|<b时，有I止*<5=c,所以当13时丫=为无穷小.'x+3(2)当及0时日耳刈siiJ国x0|.因为VqO,三场£,当0<|x0<5时，有邓出:小-09=£,所以当0时y=xsin；为无穷小.3 .根据定义证明：函数3，=1±在为当戈-0时的无穷大.问x应满足什么条件, X能使卜|>1。

33、4?证明分析|止|耳斗|2+扑古-2,要使卜卜M只须吉2>M,即l±2xxM+2证明因为m，便当0<|工一0|<5时，有 M+2所以当XfO时，函数y=l±&是无穷大.X取 M=1O+ WO 8=-.当 04x0|v时，M>10七 104+2、1 104+2 月4 .求下列极限并说明理由：（如出； X解（1）因为好±1=2+!，而当Xf8时L是无穷小，所以lim4±l=2. X XXX X因为三=l+x（xwl）,而当X-0时X为无穷小，所以limF=l.L-Xa->0 l-X5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:

34、曲f4S©-00Xf丫0V6>0,3>0,使 当0<卜-刈<加寸， 有恒如上4|<2X>xo+XTXKXf 8v*o.mx>o,使当|x|x 时， 有恒人切机Xf+COX>-<X>解危）-A府）-8於）+8段）f-8XfToV £>0,30,使 当0<,一大0kH寸， 有恒人1）-川<£VM>0, 3>0,使 当O<|x7o|<印寸， 有恒血0|>M.vw>o, m 苏0,使 当 O<x-xo|<<#t, 有恒於）>M.VM&g

35、t;0, 3&>0,使 当0<卜-刈<酬寸， 有恒於）<-M.V£>0,3<5>0,使 当 O<tTo<（Sl寸， 有恒底0-用<£VM>0, 3<5>0,使 当 0v寸， 有恒心）|>林VM>0, 30,使 当0<¥-工0<加寸， 有恒於）>M.VM>0, 3<5>0,使 当 O<r-xo<t, 有恒儿x>xo"V£>o, 3&>0,使 当Ooro戈<日1寸，VM&g

36、t;0, 3>0,使 当 Ovto-x<H寸，VM>0, 3<5>0,使 当 o<Y（）T<arj,VA/>0, 3<5>0,使 当0<xq-戈附，有恒欧)-川<£有恒有恒有恒XTSV£>0, 3X>0,使 当N>x时，有恒 距)-川<£V£>o, 3X>0,使 当kl>x时，有恒 山)1>机V£>0, 3X>0,使 当N>x时，有恒 於AM.VqO, mX>0,使 当kx时，有恒Xf+8Vq0TX&g

37、t;0,使 当x>X时，有恒 殴)-川<£“0凸xo,使 当x>X时，有恒 山)1>机V£>o, 3X>0,使 当cX时，有恒 同M.VqO, 3X>0,使 当x>X时，有恒Xf-QOV£>o, 3X>0,使 当x<-X时，有恒 公)一川<£"O,mx>o,使 当x<-X时，有恒 次3V£>0, 3X>0,使 当xv-X时,有恒 ©>M.VoO, 3X>0,使 当x<-X时，有恒6 .函数尸XCOSX在(-8,

38、+8)内是否有界？这个函数是否为当丸->十8时的无穷 大？为什么？解 函数"XCOS1在(-8,+8)内无界.这是因为VM>0,在(-8,+8)内总能找到这样的X,使得卜例如y(2kR=2k;rcos2kg2k/r(k=0, 1, 2,)，当上充分大时，就旬)，(2kR卜M.当Kf+8时，函数)HVCOSX不是无穷大.这是因为WM0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的M都有b*)卜M. 例如兴2%乃+5)=()+3)cosQA乃+5)=0(k=0, 1, 2,)，对任何大的N,当k充分大时，总有x=2Jbr+£>N,但卜(刈=0<M.7 .证明：

39、函数)，=1siiJ在区间(0, 1上无界，但这函数不是当10十时的无穷 X A大.证明函数y=LiiJ在区间(0, 1上无界.这是因为 X XVM0,在(0, 1中总可以找到点/ 使)，(冰)>M.例如当xk (A=°, 1, 2, 一)2时+42时，有yg)=2 kT+?,当k充分大时,y(Xk)>M.当K-0-时，函数y=siiJ不是无穷大.这是因为XXVM>0,对所有的苏0,总可以找到这样的点公，使0。内封但yg)<M例如可4=/(b°j2,),当 k 充分大时,xq<a 但 y(Xk)=2k7isin2k7r=0<M.习题1-5

40、1.计算下列极限：(1)叫穴；12 X-3解向/=/=_9.工一>2 X323巴岛 解.、粤£1二郁二°.解 liin J 2x+l =111n (：_12 .111n 口=?=0 x1 X21tt1(X1Xx+1) X-lx+l 24x3 -2x2+x.0)*nn2；xo 3xz + 2xh.7i r 4x3-2x2-x . 4x2-2x+1 1解 Inn=inn -=.xo 3x2+lx 。3x+22(5);/i->o h解配*"理产2""12向)分(6)lim(2,+与;解 liin(2-+-)=2liin + liin 4=

41、2.A>OCX XLA->x X -V-MC X£(7) Inn 1 ;X>x 2xz-x-l)i-J_解 liin ： 7 = liin v" ='8 2.V8 112x xz(8) liinX8x2+xx4-3x2-l'解 liinA>00x2+xx4-3x2-l=0（分子次数低于分母次数，极限为零）.liin-X-8 Xx2 + x4-3x2-lN6x+8吧解lim学著隼lim(1沙？=血】二=着等.r->4 xz-X+4 x->4 (x-l)(x4) 14 X-L 4-1 3(10) lim (1+与(2-3);1

42、8 X X解 liin (1+)(2-)= liin (1+) liin (2-ir)=lx2=2.A>x X XZ -V>xX A>xX2(11)煦。(今+抒/ 1， V +2+3df(72 1)(12) bins-；877(；7 -l)n缶 7 r l+2 + 3dF(/? -1)1.21 r H 1 1解 liinz -=liin = liin=.T88 /28 /72(13)lim(+l)(+?(»3)；- 85/解11n(+1)(+?(+3)(分子与分母的次数相同，极限为 -85”)3最高次项系数之比).-V . (+1)(+2)(+3) 1 .八 J、八

43、,2、八 3 1或 lim 八 _ J-= liin (1+)(1+-)(1+)=-.Str5 一n n 5解吟心一金尸吗(l-xXx+2)-lim i+2 12 .计算下列极限：解因为吧.=>°,所以鸣滑e3 2) hn)X ；re ZX+12解吧0磊=8 (因为分子次数高于分母次数)4 3) liin(2x3-x4-l). Xx解lim(2x3_x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).5 .计算下列极限：(1) liin x2 sill； x3X解山】/5山工=0(当天-0时,*是无穷小，而sin1是有界变量). A->0 xX(2) liinX-MCarctai

44、ir解 liinA>0CXaictanx =血口 Larctanx=O(当 x>oo时，!是无穷小,而arctan x是有界变量).6 .证明本节定理3中的(2).习题1-61 .计算下列极限:(弧巫之10 x解Um包竺竺=。血包竺竺二0. a->o x x->o cax(2)11m 蛔主；3。 X解血】皿=3皿芈一V=3. a->o x x->o 3x cos3x叫吟rOsin"解山"昨=历巫上2=2 .xsin5x )2x sinSx 5 5(4)liinxcotx;A>0解 liin xcotx= liin ；x cosx=

45、liin ' liin cosx=l.xo入Osinxx->osiiix 五o(5)如上£吟xo xsinx解 血上£随=向上学=3蚪包=2向】(皿)2 = 2.XT。xsmx .1O x2工70 XZ A->0 X或lim lz£os2x = 11m 这1=2 lim 皿=2 .X-o xsilix XT。XS ill XA->0 X(6) liin 2sinS(x为不等于零的常数).n>oc2XSUI 解 liin 2 sill-= liin- x=x .82 n-wc X2 .计算下列极限:(l)lim(l-x);x->

46、0= liiiil+(-x) c，尸=el.1(T)解 liin(l-x)A = liiiil+(-x)("A) A->0x-*0i_(2)叫(l+2x)7;x>01j_2j_解 liiq(l+2x户= lii%(l+2x)五=liin(l+2x)2=2.(3)lim (出乎；K8 X解 lim (1±与 2 ylim(1+与2 =/ AOO XX>0CX(4) liin(1-1) (k 为正整数). x* X解 liin(l-/' = .ITOC XX>00 X3 .根据函数极限的定义，证明极限存在的准则r.证明仅对XfXO的情形加以证明.

47、设£为任一给定的正数，由于limg(x)=A,故由定义知，对£>0,存在瓦0,使 Xf0得当Ov|x_,v()k6时，恒有k(x)-4|v£,即A-e<g(x)<A+c.由于lim/7(x) = A,故由定义知，对Q0,存在龙>0,使得当O<kTo|<龙时，恒有 X>“h(x)-A<£.即A-£<h(x)<A+£.取应minG,龙，则当 O<|x-xo|<3时，A一庆g(x)<A+£与 A-£<h(x)<A-£ 同时

48、成立，又因为g(x)<f(x)<h(x所以4-£勺+£,即|/0川V因此 liin /(x)=A . Xf0证明仅对x-xo的情形加以证明.因为liin g(x)=A , liin /?(x) = A, ifqx>x0所以对任一给定的QO,存在必o,使得当ok-闯<印寸，恒有g(x)-A <£& h(x)-A |<£；B|J A-£<g(x)<A+£& A-s<h(x)<A+s.又因为 g(x)<f(x)<h(x所以A-£<f(X)

49、<A+£,即心)-川<£,因此 liin f(x)=A .Xf 04 .利用极限存在准则证明:(l)liin n>oc证明因为k而 liin 1=1 且 liin(l+)=1, 一>00由极限存在准则L 8 V H5 2) lim (一+ 2、+ +)=1；ne+ 乃+ 27/+/7%证明因为仁+占+q)< 4，n +n/r +乃 廿+2兀+乃22而 liin =1, liin =1,->00，产 + 乃o 幺 + 兀所 以liin (一 H- ) L » F )=1./i-x® 乃，+24乃(3)数列72+>/

50、2 , /+J2+应， 的极限存在；证明七一 JJ, x+i=j2+x (z?=l, 2, 3,-).先证明数列心有界.当=1时项=JIv2 ,假定n=k时Xk<2,则当n=k+1时,4+1=.2+ vj2+2=2,所以为<2(=1, 2, 3, . .),即数列4有界. 再证明数列单调增.因为/z2+Q 2)(xn+1)%+4=J2+/ 一4= /=；J2aJ2+X+X而x2<0,汨1+1>0,所以x+lx>0,即数列%单调增.因为数列9单调增加有上界，所以此数列是有极限的.(4) lim 加工=1;A->0证明当年1时，则有 i+xwi+k 区(1+N)

51、, l+x>l-W>(l-|x|)从而有 l-|x|<Vl+x<l+|x|.因为lim(l-|x|)=lim(l+|x|)=l根据夹逼准则，有liin 'y/l+x=l.x0(5) lilll Afl = l.X证明因为lv山所以1tvQK1. X XXX又因为lilll (l-x)= liin 1=1,根据夹逼准则，有lim M4=1. ,T->0-x(Fx->0' x习题1-71 .当xf0时与Wt3相比，哪一个是高阶无穷小？解 因为 Um A4=lim?£=0, 0 2x-x2 3 2-x所以当xf0时,x2-是高阶无穷小，即

52、x2-x3=0(Zr-x2).2 .当11时，无穷小It和(1)1-V (24(12)是否同阶？是否等价?解(1)因为。一)+工+ ')=山】1(1+戈+口2)=3 ,-v->l 1X A->1 lx-v->l所以当x-1时，It和l-x3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.J"”2) 1(2)因为 lim J=iliin(l+Aj=l,a->i 1-x 2ii所以当.r->l时，It和劣。-/)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当天-0时，有：(1) arctan x x;x2(2)secx -1 亍.证明(1)因为lim里©

53、里竺=lim-=1(提示：令尸atctanx,则当x>0时, xtO xy->o tan yy-o),所以当 x>0 时,arctanv-x.2sing 2)2 = 1,i i2sin2(2)因为 liin= 2lim l-cosx = Um -L = lim(3° 1 v2 DJVCOSX D Xz XT° A22所以当k-0时，secx-l三.4 .利用等价无穷小的性质，求下列极限:叫嘤；工一0 ZX呼。晨拼为正整数）;tanx-siiix. 段Fk，(4) liin xtOsiiix-tanx(Vl+x2 - l)(Jl+sinx1)解他曾七声m;o

54、on=mn>m .n<m.siiix(1) 11m tanx-smx = 11m 一埠jo sin'x -'->o sin'(4)因为1-cosx= liin1 22X .1=liin 7 - - ?-.Dcosxsiii2 x 10 cosx 2siiix-taii.v=taiix(cos¥1)=2taiixsiii2-2r()2=X2# (D),Jl+sinx-1= . SIA=_sinxx(x10),Jl+sinx+1siiix-tanx_1 v3所以 liin 厂 *in.2nx_ _ 11m _3.J。劭+/ - 1)(J1+sin

55、x-1) x-叫/.X3.5 .证明无穷小的等价关系具有下列性质：。a （自反性）；（2）若a夕，则对称性）；（3）若a以。%则传递性）.证明（l）lim2=l,所以aa;a（2）若a夕，则从而lim，=L因此比a;(3)若 a?，上% liiny=liin liin=1.因此 cr/.习题1-81 .研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:/(、)=工0<x<ll<x<2 '解已知多项式函数是连续函数，所以函数4。在0, 1）和（1,2内是连续的.在ml处，因为人1）=1,并且liin f(x)= liin x2=l, .v->r x->rliin

56、 f (x)= liin (2-x)=l.所以从而函数於）在41处是连续的. T1综上所述，函数人）在0,2上是连续函数.(2)/(刈=：|x|>l.解只需考察函数在4-1和41处的连续性.在X-1处，因为穴-1尸-1,并且lim f（x）= lim l=U/（-l）, 一厂 x->-rliin /(x)= liin x=-l=/(-l), >-r工-1+所以函数在4-1处间断，但右连续.在41处，因为人1)=1,并且lini /(x)= lini =1=(1), lini/(x)= lini+l=l=(l),所以函数在ml处连续.综合上述讨论，函数在(-叫-1)和(-1,+

57、与内连续，在4-1处间断，但右连续.2 .下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间 断点，则补充或改变函数的定义使它连续：丫2_1 y= 7 24,x=2廿一3x + 2解尸/r器器去因为函数在A2和I处无定义,所以A2和X=1是函数的间断点.因为liin y=liin 广1 =6,所以x=2是函数的第二类间断点; 人一2/x2 %2-3x+2因为limy=limp?=-2,所以41是函数的第一类间断点，并且是可去间断 I，X->1 (x-2)点.在41处，令尸-2,则函数在ml处成为连续的.(2) y=-, x=k, x=k兀吟 伙=0, ±1, &#

58、177;2,)； taiix2解函数在点4k4代Z)和Ibr+/(&wZ)处无定义，因而这些点都是函数的 间断点.因liin一=8(/0),故4小工0)是第二类间断点；1k；r tanx因为 lim=1,liin =0(女wZ),所以 x=0 和x=k;r+k(&eZ)是第一工o tan x(->族+欠 tan x22类间断点且是可去间断点.令y|x=o=l,则函数在a=0处成为连续的；令工=0+/时,尸0,则函数在戈=觊+等处成为连续的.(Sj)cos2 , A-0；解因为函数产cos24在x=0处无定义，所以x=0是函数产cos2上的间断点. AA又因为limcos2!不存在，所以x=0是函数的第二类间断点. 10 X(