2020-2020学年广州市越秀区高一上期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2020学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1. （5 分）已知集合 M=xCZ|x （x-3） <0 , N=x|lnx<1,贝U M n N=（）A. 1, 2 B. 2, 3 C. 0, 1, 2 D. 1, 2, 32. （5分）函数f （x） =lnx-二的零点所在的大致区间是（）£A.白，1） B. （1, 2） C. （2, 3） D. （e, +引3. （5分）若m, n是两条不同的直线，% 3 丫是三个不同的

2、平面，下些说法正确的是（）A.若 m? B, a± B,则 m± 0cB.若 m± B, m / a,则 a± BC.若 aA Y =m K Y =n m / n,则 a/ B D.若 a± % a± P,则社 04. (5 分)已知函数缶,则有（）A.f (a) <f(b)<f(c)B, f (a) <f(c)<f(b)C, f (b) <f (c) <f(a)D, f (b) <f (a) <f (c)1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体,5. （5分）将正方体（如图则该几何

3、体的左视图为（）6. （5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据 64MB内存（1MB=210KB）,则开机后经过（）分钟.A. 45 B. 44 C. 46 D. 477. （5分）若当xC R时，函数f（x）=ax|始终满足0<|f（x） | 01,则函数y=loga|X|8. （5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程卜芸与方程y+1=k （x-2）可表示同一直线；直线l过点P （xo, y6,倾斜角为90°,则其方程为

4、x=x；其中正确的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A. 2R B.9. （5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R,把球放在在圆柱 里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）C.10. （5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m）,则该棱锥的全面积 是（单位：m2） .（）2A Jw B 2yC. I ' . ： D.4+V211. （5分）如图，正方体AG的棱长为 点H,则以下命题中，错误的命题是（1,过点A作平面AiBD的垂线，垂足为B氏A.点H是AiBD的垂心 B. AH垂直平面 CBDiC. AH的延长线经过点G

5、 D.直线AH和BBi所成角为45°12. （5分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R的偶函数.当x>0时，f （x）=r若关于x的方程f （x） 2+af （x） +b=0, a, bCR有且仅有6号尸+1 （x>2）个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A V 卷 B- <4-C. k争 V）U（T，T） D.（等 T） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）n1cl 2 213. （5分）计算（得）口一唬砌+3照丐+1屋-1目"的结果是.14. （5 分）已知 4a=2, lgx=a,贝U x=.15. （5分）过

6、点（1, 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .16. （5分）已知：在三棱锥 P- ABQ中，D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点，PD与EQ交于点G, PC与FQ交于点H,连接GH,则多面体ADGE- BCHF的体积与三棱锥P- ABQ体积之比是三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.)17. (10分)如图，在平行四边形 OABC中，点C (1, 3).(1)求OC所在直线的斜率；(2)过点C作CD，AB于点D,求CD所在直线的方程./ 7:0 A A-18. (12分)如图，正方形 ABCD所

7、在平面与三角形 CDE所在平面相交于CD,AE，平面 CDE 且 AE=1, AB=2.(I )求证：AB，平面ADE;(H)求凸多面体ABCDE勺体积.(2)当0<x<1时，关于x的方程f (x) +1=t有解，求实数t的取值范围；(3)解关于 x 的不等式 f (x2mx) > f (2x 2m).20. (12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券 等稳键型产品A的收益f (x)与投资金额x的关系是f (x) =kix, (f (x)的部分 图象如图1);投资股票等风险型产品 B的收益g (x)与投资金额x的关系是 二七4，S(幻的部分图象如图2

8、);(收益与投资金额单位：万元).(1)根据图1、图2分别求出f (x)、g (x)的解析式；(2)该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品 A及股票等风险型 产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其 最大收益为多少万元？21. (12 分)如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC± BC, AC=BC=CC=2, M, N 分 别为AC, B1C1的中点.(I )求线段MN的长；(II )求证：MN /平面 ABBA1；(田)线段CC上是否存在点Q,使AB,平面MNQ?说明理由.22. (12分)已知函数 f (x) =ax2+bx+

9、c (a, b, c R).(1)若a<0, b>0, c=0,且f (x)在0, 2上的最大值为，最小值为-2,试求a, b的值；(2)若c=1, 0<a< 1,且|也立|02对任意xC 1, 2恒成立，求b的取值范围.(用a来表示)2020-2020学年广东省广州市越秀区高一(上)期末数学 试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.)1. (5 分)已知集合 M=xCZ|x (x-3) <0 , N=x|lnx<1,贝U M n N=()A. 1,

10、 2 B. 2, 3 C. 0, 1, 2 D. 1, 2, 3【解答】 解：集合 M=xC Z|x (x-3) <0=xZ| 0<x<3=0, 1, 2, 3,N=x| lnx< 1 =x| 0<x<e,则 M n N= 1, 2.故选：A.2. (5分)函数f (x) =lnx-二的零点所在的大致区间是()xA.(，1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (e, +引【解答】解：:函数二Imc乌，.f (2) =ln2- 1<0, f (3) =ln3-2>0,故有 f (2) f (3) <0,根据函数零点的判定定理可得函

11、数f(K)二1门工上的零点所在的大致区间为(2,3),故选：C.3. (5分)若m, n是两条不同的直线，% 3 丫是三个不同的平面，下些说法正确的是()A.若 m? B, a± B,则 m± 0cB.若 m± B, m / a,则 a± BC.若 aA Y =m K Y =n m / n,则 a/ B D.若 a± % a± P,则社 0【解答】解：若m? B, a± B,则m与a平行、相交或m? a,故A不正确；若m1a,m / B,则 a± B,因为m/ B根据线面平行的性质在B内至少存在一条直线与 m平行,

12、根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面, 那么另一条也垂直于该平面，故 B正确;若al Y = mB l Y =nm / n,贝U all B或a与B相交，故C不正确;若 aX y, 故选B.a± P,则丫与B相交或平行，故D不正确.4. （5分）已知函数F&）二b=logj-T则有（）A. f (a) <f (b) <f (c) B. f (a) <f (c)<f (b) C, f (b) < f (c) < f(a)D, f (b) <f (a) <f (c)【解答】解：由复合函数的单调性可得函数（x）在（

13、-1, +00）上单调递增,=1又-1声1手。, b=1 口岂白1 口号i因此 b>c>a,f (b) >f (c) >f (a).故选：B.5. （5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图 2所示的几何体,则该几何体的左视图为（【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段， 上面的射影也是线段,后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，ADi在右侧的射影是正方形的对角线，BiC在右侧的射影也是对角线是虚线.如图B.故选B.6. (5分)一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据

14、64MB内存(1MB=21°KB),则开机后经过()分钟.A. 45 B. 44 C. 46 D. 47【解答】解：因为开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB,两个3分钟后占据内存23KB,三个3分钟后占据内存24KB,故n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，则应有 2n+1=64X 210=216,n=15, 15X3=45,故选：A.7. (5分)若当xC R时，函数f(x)=ax|始终满足0<|f(x) | &1,则函数y=loga|X【解答】解：.当xCR时，函数f (x) =ax|始终满足0

15、<|f (x) | <1.因此，必有0<a<1.先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象.而函数y=loga| | = - loga| x| ,其图象如红颜色的图象.故选B.8. (5分)在平面直角坐标系中，下列四个结论：每一条直线都有点斜式和斜截式方程；倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；方程卜二肛与方程y+1=k (x-2)可表示同一直线；K-2直线l过点P (xo, yo),倾斜角为90°,则其方程为x=x;其中正确的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解答】解：对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于，由倾斜角与斜率的关

16、系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于，方程(xw2)与方程y+1=k (x- 2) (x R)不表示同一直线，故错；对于，直线l过点P (xo, yo),倾斜角为90°,则其方程为x=xo,正确； 故选：B.9. (5分)如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R,把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是()A- 2R B - C.二R D.二【解答】解：由题意，水的体积=兀晨2艮-4兀晨上兀屋, 1I容器中水的深度h=-=71,兀萨 3故选：C.10. （5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m）,则该棱锥的全面积A

17、 1 .，B. :+ ，C.： D.：【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直 于底面的侧面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为 2,底面边长为2,故它们的面积皆 为92X2=2,由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为京，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2.，同理可求出侧面底边长为 限可求得此两侧面的面积皆为= 乂4号乂如市,故此三棱锥的全面积为2+2+，+. |，二，故选A.11. （5分）如图，正方体AG的棱长为1,过点A作平面AiBD的垂线，垂足为点H,则以下命题

18、中，错误的命题是（）ADA.点H是AiBD的垂心 B. AH垂直平面 CBDiC. AH的延长线经过点G D.直线AH和BBi所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A-AiBD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是 底面中心，所以选项A正确；易证面AiBD/面CBiDi,而AH垂直平面AiBD,所以AH垂直平面CBDi,所以 选项B正确；连接正方体的体对角线 AG,则它在各面上的射影分别垂直于 BD、AiB、AiD等, 所以AGL平面AiBD,则直线AiC与AH重合，所以选项C正确；故选D.12. （5分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R的偶函数.当x>0时，f （x）（白

19、 J（O W2）=r若关于x的方程f （x） 2+af （x） +b=0, a, bCR有且仅有6软尸+1 （x>2）个不同实数根，则实数a的取值范围是（）AV卷B dC-V）"今一D D.-D【解答】解：依题意f （x）在（-8, 2）和（0, 2）上递增，在（-2, 0）和（2, +oo）上递减，当x=±2时，函数取得极大值 与；当x=0时，取得极小值0.要使关于x的方程f (x) 2+af (x) +b=0, a, bCR有且只有6个不同实数根，设t=f (x),则则有两种情况符合题意：(1) t 奇,且 t2(L 力止匕时a=ti+t2，贝U&E (一

20、，号);(2) tie (0, 1,卜代 3 日)，此时同理可得正(卷-1),综上可得a的范围是弓,染J (+ T：故选答案C.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.)01cl 2 L13. (5分)计算口-期575+3 '，+82-1吕点的结果是 2_-【解答】解：运算=1- 0.lg2+lg5=1-0.4+0.4+1=2.故答案为2.14. （5 分）已知 4a=2, lgx=a,则 x=_JTb_.【解答】解：.4a=2, . 22a=2,即 2a=1lgx=a, . igx=Lx= III,故答案为：国15. （5分）过点（1, 2）且在两坐标轴上

21、的截距相等的直线的方程2x-y=0或x+y 3=0 .【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a,把（1, 2）代入所设的方程得：a=3,则所求直线的方程为x+y=3即x+y-3=0;当所求的直线与两坐标轴的截距为 0时，设该直线的方程为y=kx,把（1, 2）代入所求的方程得：k=2,则所求直线的方程为y=2x即2x-y=0.综上，所求直线的方程为：2x- y=0或x+y-3=0.故答案为：2x- y=0或x+y - 3=016. （5分）已知：在三棱锥 P- ABQ中，D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点，PD与EQ交于点G, P

22、C与FQ交于点H,连接GH,则多面体ADGE- BCHF 的体积与三棱锥P- ABQ体积之比是1 O【解答】解：:D, C, E, F分别是AQ, BQ, AP, BP的中点,EF/ AB, DC/ AB,贝U EF/ DC,又 EF?平面 PCR DC?平面 PCR. EF/ 平面 PCD,又 EF?平面 EFQ 平面 EFCT 平面 PCD=GH 二 EF/ GH,设三棱锥P-ABQ体积为V,则Vp-dccp， ¥ 三八55冷-EGHF 3AEFQ =36；V-E 11W-BCKF=V6V=1V-多面体ADGE- BCHFB勺体积与三棱锥P-ABQ体积之比是故答案为:三、解答题：

23、(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤，并写在答题卷相应位置.)17. (10分)如图，在平行四边形 OABC中，点C (1, 3).(1)求OC所在直线的斜率；(2)过点C作CD，AB于点D,求CD所在直线的方程.【解答】解：(1) ;点O (0, 0),点C (1, 3), OC所在直线的斜率为k“二生三$.(2)在平行四边形 OABC中,AB/ OC,. CD，AB,.CD±OC. CD所在直线的斜率为卜二. CD所在直线方程为y3,即x+3y 10=0.18. (12分)如图，正方形 ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面相交于CD,AE，平面

24、 CDE 且 AE=1, AB=2.(I )求证：AB，平面ADE;(H)求凸多面体ABCDE勺体积.f）【解答】 证明：(I ) ;A已平面CDE CD?平面CDEAEE± CD,又在正方形 ABCD中，CD±AD, AEA AD=A, CD，平面 ADE,又在正方形 ABCD中，AB / CD,AB，平面ADE.仁分)解：(H)连接BD,设B到平面CDE的距离为h,. AB/ CD, CD?平面 CDE.AB/平面 CDE,又 AE，平面 CDE.h=AE=1,又一又均.=X S.E X四得X与A 1 X向X2呼，ABCDE勺体积 V=VB cde+Vb ad（12 分

25、）凸多面体19. (12分)已知函数 义工)二二缶6冏为奇函数， 35+1(1)求a的值；(2)当0<x<1时，关于x的方程f (x) +1=t有解，求实数t的取值范围;(3)解关于 x 的不等式 f (x2-mx) > f (2x-2m).【解答】解：(1) xC R, .r(0) =0,(3 分)(2) ._i ;孔外十, .0WxW 1, .-2<3x+1<4- -. (5 分)3K+13X+1f(K)+i<r,-(7分)(8 分)(3) f(x)=二T在R上单调递减，.(9分) 3X+1f (x2mx) > f (2x 2m) x2 - mx&

26、lt;2x- 2m(10 分)x2- ( m+2) x+2m<0 (x- 2) (xm) < 0- -. (11 分)当m>2时，不等式的解集是x|2&x&m当m=2时，不等式的解集是x|x=220. (12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券 等稳键型产品A的收益f (x)与投资金额x的关系是f (x) =kx, (f (x)的部分 图象如图1);投资股票等风险型产品 B的收益g (x)与投资金额x的关系是 式工)二k八G，(g (x)的部分图象如图2);(收益与投资金额单位：万元).Si当m<2时，不等式的解集是x|m&am

27、p;x&2.(14分)图2(1)根据图1、图2分别求出f (x)、g (x)的解析式；(2)该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品 A及股票等风险型 产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其 最大收益为多少万元？【解答】解：(1)设投资为x万元，由题意，知f (1.8) =0.45, g (4) =2.5;解得k1亍，笈勺，. f (x) =1-x, x>0. g (x)得4，x>0;（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品 A投资（10-x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为 y万元，则丫吉口一冷+2，x&g

28、t; 0.设遥=t,则 x=t2, 0<t<V10.、/一 一 1 / 5、2 b 5 y= - t>j +?厂 2 P 16当t=,也即x=-时，y取最大值至"2416答：对股票等风险型产品B投资变万元，对债券等稳键型产品A投资匪万元时， |44可获最大收益国万元.1621. （12 分）如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC± BC, AC=BC=CG2, M, N 分 别为AC, B1C1的中点.（I ）求线段MN的长；（II ）求证：MN /平面 ABBA1；（田）线段CC上是否存在点Q,使AB,平面MNQ?说明理由.4d1昼曷【解答】解

29、：（I ）连接CN,因为ABC- A1B1C1是直三棱柱，所以CCL平面ABG所以AC± CC,（2分）因为AC±BC,所以AC平面BCCB1.（3分）因为 MC=1, CN,cC。一逆2=/，所以MN=*分）（n）证明：取AB中点D,连接DM, DBi（5分）在4ABC中，因为M为AC中点，所以DM/BC, DM卷BC.在矩形B1BCC中，因为N为B1C1中点，所以B1N/BC, B1N=j-BC.所以DM/BiN, DM=BiN,所以四边形 MDBiN为平行四边形，所以 MN /DBi.（7 分）因为MN?平面ABBAi, DBi?平面ABBA（8分）所以MN /平面ABBiAi.（9分）（田）解：线段CG上存在点Q,且Q为CC中点时，有AiB，平面MNQ. （11 分）证明如下：连接