2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6.1幂函数教学案含解析苏教版必修第一册

1、6. 1募函数学习目标核心素养1 . 了解需函数的概念，会画出事函数y=x, 7=/,y1=L尸/的图象.（重点） -V2 .能根据甯函数的图象，了解事函数的性质.（难点）3 .会用几个常见的塞函数性质比较大小.（重点、难点）通过学习本节内容，提升学生 的数学抽象和逻辑推理的数学 核心素养.经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元0.60. 650. 70. 750.80. 850.9需求量九1.2161. 1791. 1461. 1171.0891. 0641.041根据此表，我们可以得到价格X与需求量y之间近似地满足关系式y=x °十 这是一类怎样的函数，这类函

2、数有什么一般的性质？1 .事函数的概念一般地，我们把形如曰1的函数称为基函数，其中X是自变量，a是常数.2 .事函数的图象和性质y = x2 y = x3> =X1 )=xT-1)=x定义域RRR+8 )(-8.0)U (0, + 8)值 域R10, + 8)R：。，+8)(-x.0)U (0, 4 8 )奇 偶 性奇函数偶函数奇函数非奇非 偶函数奇函数单询性在(_ 8 , + 8 )上 单调递增在(-8 , 0上单调 递遴，在 ：。，+8) 上单调 递埴在(一如， + 8 )上 单调递埴在：0, + 8 ) 上单调递 增在(, 0)上单调 递由在 (0, +8) 上单询 递遨定 点(1

3、,1), (0,0)(1, 1), (0,0)(1, 1), (0.0)(1,1) <0.0)(14)13 .在同一平面直角坐标系中，基函数y=x, y=Y, y=f, y=),勺图象如图所示:1 .思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)事函数的图象不经过第四象限.()(2)事函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点.()(3)事函数y=x"的定义域为R,与指数也无关.()提示(1)由端函数的一般式y=J("为常数)及图象可知，当*>0时，y>0,即图象不经过第四象限.(2)y=Ji不经过(0,0)点，故错误.1(3)y=/,定义域为0, +8),与指数

4、有关，故错误.答案 J (2) X (3) X2 .若+ (2/J4)是塞函数，则 zz?+a=.m= 1 >3 由题意得I. c 所以!2n-4=0t22?= 1, m+a=3 j a=2,3 .已知哥函数£丘)=*"的图象经过点(2,8),则f(-2)=8 8 = 2",所以 a =3,所以 f(*)=F f(-2) = (-2尸=-8.事函数的概念1R【例1】 已知y=（序+2m2）x" 1 + 2a3是基函数，求m, 的直思路点拨由基函数的定义列式求解.pzf+2m-2 = 1, 解由题意得1京-1W0，2'.2n3=0>3

5、，卬=-3, =三为所求.1 .幕函数满足的三个特征事*"前系数为1;(2)底数只能是自变量%指数是常数：(3)项数只有一项.2 .求幕函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)=x“，根据条件求出跟进训练1.下列函数是哥函数的有.(填序号)2量1Qy=e：y=2x；尸” :y=.f+l：/=-：y=x .x根据事函数的定义，只有符合题意2.已知基函数f(x)=x“的图象经过(2,阴，则 f(100)=白由题知2"=*=2万:.f (才)_1、211A/(100) =100 £ = -= Jlob io比较大小例2 比较下列各组数中两个数的大小:1(3)0.

6、 25 4与 6.25 % (4)1.2° 6 0. 3°-4： (5)( 3户与(一 2)3.1解(1)是0, +8)上的增函数,1 1思路点拨可以借助塞函数y=/的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较.(2)尸/是(- 8, 0)上的减函数,426. 25 =2. 5乙.11，=/是0, +8)上的增函数，且2<2. 5,1 1_119 9-44：.2 <2. 5乙,即 0. 25 "<6. 25 .(4)由事函数的单调性，知1. 2° "1°l,0. 3fL从而0. 3°- *<1. 2&#

7、176; 6.2255(5)由嘉函数的奇偶性,(-3)3=33>0, (-2)3=-23<0,2 5所以(-3) 3>(-2)3.比较事值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造案函数：若指数相同、底数不在同一单调区间，则用 奇偶性：(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量.跟进训练3 .比较下列各组中两个数的大小：_5_5(1)3 2, 3. 1 2：，Q+l)c(a>0)：22(3) (-0. 88)0, 0. 89 ._5_5_5解(1)因为函数尸X 2在(0, +8)内是减函数，所以3 2>3.1

8、2.(2)函数在(0, +8)内是增函数，又a>0, a+l>a, 所以(a+l) >/ 5.2(3)函数为偶函数，在0, +8)上是增函数，222所以(一0. 88)°= 0. 88X0. 89°.【例3】点、(木,2)与点(一 2,吕分别在事函数f(x), £x)的图象上，问当x为何值时, 有：(1) f (*) >g(x) ： (2) /(-¥)=gGr) ； (3) fGr) <g(x).解设 F(x)=x°, £*)=/.,(g)“ = 2, (2)/= 一:，/. a =2, £ =

9、 1,£)= r.分别作出它们的图象，如图所示.由图象知,(1)当X£(-8, 0) U (1, +8)时，f(x)>g(x)：当 x= 1 时，f(x) =g(x)：当 xG (0, 1)时，f(x) <g(x).1 .解决基函数图象问题应把握研究一般的方法(1)求塞函数的定义域，再判定奇偶性：(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象.2 .事函数在第一象限的图象与性质(1)”0,嘉函数的图象恒经过(0,0), (1,1),在0, +8)是增函数.2 2) a<Q,甯函数的图象恒经过(1,1),在(0, +8)上是减函数

10、.3 .事函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x=l的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小：(2)在第一象限内直线x=l的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.跟进训练4 . （1）若四个事函数y=.d, y=Z y=A<尸=/在同一坐标系中的图象如图，则a, b, 。，d的大小关系是（）A. d>c>b>aB. a>b>c>dC. d>c>a>bD. a>b>d>c1函数 1的图象关于*轴对称的图象大致是（）A B C D（1）B （2）B 令a=2, c=-i d=T,正好和题目所

11、给的形式相符合.在第一象限内，*=1的右侧部分的图象，图象由下至上，哥指数增大，所以a>吩c>d故 选B.1 1（2）y=）的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=,一 1的图1 1象可看作由y=）的图象向下平移一个单位得到的（如选项R中的图所示），将y=?-l的图 象关于X轴对称后即为选项B.事函数的图象与性质的综合应用探究问题21,嘉函数的图象应该怎么作？2提示因为0*1，故事函数的定义域为R,且为偶函数，2函数p=卡在第一象限的图象恒过(0,0), (1,1),在0, +8)是增函数.利用偶函数的图象关于y轴对称，得到第二象限的图象.(图略)2.从上述过程

12、能否归纳出作事函数y=/的图象的步骤？提示先求定义域，判定函数的奇偶性；再看"，按«<0,。>0米分类确定在第一象限的图象的形状；结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左螂的图象.1 1 13.作出y=x 3的图象(草图)，并说明若* 3>丫 3时X与。的大小关系有多少种?_1提示y=x 3在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，_1 _1从图象可以看出，若X 3>y 3,则有以下情况：0.Ky：*jVO；*>0>y.【例4】 已知幕函数y=Ws£hT)的图象关于y轴对称，且在(0, +8)上单调递减,mm求满足(a+1

13、) 3<(3-2a) 3的的取值范围.思路点拨I据题中条件1 1列出不等式组1 - 函万| I利用口函数的单调性一 I对底数分类词定画解函数在(0, +8)上递减,*. 3m9<0>解得成3.又 s£V，：.m=l,2.又函数图象关于y轴对称，.3b-9为偶数，故。=1._1 _1，有(a+1) 3 <(3-2a)3.Vy=-Y 3在( 8, o), (0,+8)上均递减，23/.1>3-2a>0 或 0>a+l>3 2a,或 a+l<0<3 2a,解得<不或 a< 1.J 乙所以a的取值范围为(-8,1).1

14、.本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解.2 .求解此类题目的关键是弄清事函数的概念及呆函数的性质.解决此类问题可分为两大步：第一步，研究嘉函数的奇偶性（图象对称性）、第一象限的图象的单调性求出山的值或范第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数3的取值范围.跟进训练15.已知¥>产，则*的取值范围是18, o) u (L +8)作出函数尸/和y=9的图象(如图所示)，易得a<0或-Y>1.1 .事函数y=x"的底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为1.2 .简单基函数的图象与性质的探究策略(1)先求甯函数的定义域，若对称，判定其

15、奇偶性(一定具有奇偶性).(2)研窕基函数位于第一象限的图象与性质”0, Q函数的图象恒经过象0), (1,1),在0, +8)上是增函数.”0,寤函数的图象恒经过(1,1),在(0, +8)上是减函数.(3)结合基函数的奇偶性，得到第三或第二象限的图象与性质，密函数的图象一定不经过第四象限.1 .下列所给出的函数中，是呆函数的是()A. j，=x 'B. y= xC. y=2xD. y=xl.A 塞函数是形如/=一的函数，观察四个函数只有A中函数是基函数.2 .已知基函数的图象过点(2, p,则f(4)的值是.13 将点(2,镜)代入幕函数可得f(2) =2一的 解得即塞函数为f(x)=31可得 f(4)=42=2.4 .下列箱函数中，过点(0,0), (1,1)且为偶函数的是.(填序号)1(l)y=-v2： (2)y=x： (3)y=x S (4)y=x.(2) (1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0, 0