高中数学第六章第六节直接证明与间接证明

1、1.了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析法和综分析法和综 合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法，了反证法，了 解反证法的思考过程、特点解反证法的思考过程、特点. 1.直接证明直接证明(1)综合法综合法 定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的，最后推导出所要证明的 结论结论 ，这种证明方法叫做综合法，这种证明方法叫做综合法. 框图表示：框图表示： (其中其中p表

2、示条件，表示条件，q 表示要证结论表示要证结论).推理论证推理论证成立成立(2)分析法分析法 定义：从定义：从 出发，逐步寻求使它成立的出发，逐步寻求使它成立的 直直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件条件(已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明为止，这种证明 方法叫做分析法方法叫做分析法. 框图表示：框图表示：结论结论充分条件充分条件2.间接证明间接证明 反证法：假设原命题反证法：假设原命题 ，经过正确的推理，最，经过正确的推理，最 后得出后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命，因此说明假设

3、错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法题成立，这样的证明方法叫做反证法.不成立不成立矛盾矛盾提示：提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法综合法是由因导果是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程分析、思考的逆过程.思考探究思考探究综合法和分析法有什么区别和联系？综合法和分析法有什么区别和联系？1.设设alg2lg5，bex(xbb.ab c.ab d.ab解析：解析：alg2lg51，

4、x0，bexb.答案：答案：a2.用反证法证明命题：用反证法证明命题：“a，bn，ab可被可被5整除，那么整除，那么a、 b中至少有一个能被中至少有一个能被5整除整除”时，假设的内容应为时，假设的内容应为 () a.a、b都能被都能被5整除整除 b.a、b都不能被都不能被5整除整除 c.a、b不都能被不都能被5整除整除 d.a不能被不能被5整除整除解析：解析：用反证法证明命题应先否定结论用反证法证明命题应先否定结论.答案：答案：b3.设设a，br，已知，已知p：ab；q：( )2 ，则，则p是是 q成立的成立的 () a.必要不充分条件必要不充分条件 b.充分不必要条件充分不必要条件 c.充分

5、必要条件充分必要条件 d.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：p：ab是是q：( )2 等号成立的充分条件等号成立的充分条件.答案：答案：b4.已知已知a，b是不相等的正数，是不相等的正数，x ，y ， 则则x，y的大小关系是的大小关系是.解析：解析：y2( )2ab x2.xy.答案：答案：x0，求证：，求证： a 2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记要证要证 a 2，只要证，只要证 2a .a0，故只要证，故只要证 ，即即a2 4 4a22 2 (a )2，从而只要证从而只要证2 (a )，只要证只要证4(a2 )2(a22 )，即即a2 2，而上述不等式显然成立，故原不等

6、式成立，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.1.适宜用反证法证明的数学命题有：适宜用反证法证明的数学命题有：(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以结论以“至多至多”、“至少至少”等形式出现的命题；等形式出现的命题；(4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰出结论的线索不够清晰.2.用反证法证明问题的一般步骤为：用反

7、证法证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否否 定命题定命题)成立；成立；(否定结论否定结论)(2)归谬：将归谬：将“反设反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，作为条件，由此出发经过正确的推理， 导出矛盾导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理与已知条件、已知的公理、定义、定理 及明显的事实矛盾或自相矛盾；及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设反设” 的谬误的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立既

8、然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立. (结论成立结论成立)特别警示特别警示用反证法证明问题时要注意以下二点：用反证法证明问题时要注意以下二点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从

9、结论的反面出发进行推理，就不是反证法结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法. 已知已知a0，b0，且，且ab2，求证：，求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记假设假设 都不小于都不小于2，则则 2， 2，a0，b0，1b2a,1a2b，11ab2(ab)，即，即2ab.这与已知这与已知ab2矛盾，故假设不成立矛盾，故假设不成立.即即 中至少有一个小于中至少有一个小于2. 以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程等为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考为载体，考查综合法、分析法、反证法的应用是高考对本

10、节内容的常规考法对本节内容的常规考法.09年辽宁高考以立体几何为年辽宁高考以立体几何为载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一个载体，以解答题的形式考查了反证法的应用，是一个新的考查方向新的考查方向. 考题印证考题印证 (2009辽宁高考辽宁高考)(12分分)如图，如图，已知两个正方形已知两个正方形abcd和和dcef不不在同一平面内，在同一平面内，m，n分别为分别为ab，df的中点的中点. (1)若若cd2，平面，平面abcd平面平面dcef，求求mn的长；的长； (2)用反证法证明：直线用反证法证明：直线me与与bn是两条是两条异面直线异面直线.【解解】(1)取取cd的中点的中点g，连

11、结，连结mg，ng. 因为因为abcd，dcef为正方形，且边长为为正方形，且边长为2，所以所以mgcd，mg2，ng .(4分分)因为平面因为平面abcd平面平面dcef，所以所以mg平面平面dcef.可得可得mgng.所以所以mn .(6分分)(2)证明：假设直线证明：假设直线me与与bn共面，共面，则则ab平面平面mben，且平面，且平面mben与平面与平面dcef交于交于en.由已知，两正方形不共面，故由已知，两正方形不共面，故ab 平面平面dcef.(8分分)又又abcd，所以，所以ab平面平面dcef.而而en为平面为平面mben与平面与平面dcef的交线，所以的交线，所以aben

12、.(10分分)又又abcdef，所以，所以enef，这与，这与enefe矛盾，故假矛盾，故假设不成立设不成立.所以所以me与与bn不共面，它们是异面直线不共面，它们是异面直线.(12分分) 自主体验自主体验 已知数列已知数列an和和bn满足：满足：a1，an1 ann4，bn(1)n(an3n21)，其中，其中为实数，为实数，n为正整数为正整数. (1)证明：对任意实数证明：对任意实数，数列，数列an不是等比数列；不是等比数列； (2)证明：当证明：当18时，数列时，数列bn是等比数列；是等比数列； (3)设设sn为数列为数列bn的前的前n项和项和.是否存在实数是否存在实数，使得对，使得对任意

13、正整数任意正整数n，都是，都是sn12？若存在，求？若存在，求的取值范围；的取值范围；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.解：解：(1)证明：假设存在一个实数证明：假设存在一个实数，使，使an是等比数列，则有是等比数列，则有 a1a3，即，即( 3)2( 4) 249 2490，矛盾，矛盾，an不是等比数列不是等比数列. (2)证明：证明：bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1 ( an2n14) (1)n(an3n21) bn.又又18b1(18)0.由上式知由上式知bn0， (nn*).故当故当18时，数列时，数列bn是以是以(18)为首项，为首项， 为公比的等比数列为公比的等比

14、数列.(3)当当18时，由时，由(2)得得bn(18)( )n1，于是，于是sn (18)1( )n.当当18时，时，bn0，从而，从而sn0，sn12恒成立恒成立.当当18时，要使对任意正整数时，要使对任意正整数n，都有，都有sn12，即即 (18)1( )n12 18.令令f(n)1( )n，则，则当当n为正奇数时，为正奇数时，1f(n) ；当当n为正偶数时，为正偶数时， f(n)1.f(n)的最大值为的最大值为f(1) .于是可得于是可得12，的取值范围为的取值范围为(，6). 1.a，b，c为互不相等的正数，且为互不相等的正数，且a2c22bc，则下列关，则下列关 系中可能成立的是系中可能成立的是 () a.abcb.bca c.bac d.acb解析：解析：由由a2c22ac2bc2acba，可排除，可排除a、d，令，令a2，c1，可得，可得b ，可知，可知c可能成