根据空间4点坐标求球心坐标

1、2012“达内杯”安徽省程序设计竞赛Problem J 银河系 5A 风景区解题报告题目原文：Description巴尔坦星是个银河系中一个著名的观光景点，它之所有著名，是因为巴尔坦星有四颗卫星， 而且四颗卫星距离巴尔坦星的距离都是一样的！某天， 巴尔坦星上的居民们想知道自己星球所处的具体三维宇宙坐标， 因为科技落后， 巴尔坦星上的居民只有某个时刻测得的四颗卫星 的坐标。现在请你写个程序帮可怜的巴尔坦星居民给自己的星球定下位吧 。Input第一行是一个整数 t ，表示有 t 组测试数据。 (t = 30 ) 每组数据占四行，表示四颗卫星的坐标。每行三个实数 x, y, z 表示该点的坐标为 (

2、x,y,z) 。 输入数据保证每组的数据都可以确定巴尔坦星，设巴尔坦星的坐标为 (ox, oy, oz) ，每颗 卫星到巴尔坦星的距离都是 r 。则以下不等式总是成立 ：-500 = ox, oy, oz = 500 ， 500 = r = 1000 。Output对于每组数据输出一行； Case #k: x y z 。 k 表示第 k 组数据 ，x, y, z 表示巴尔 坦星 的坐标(均保留到小数点后一位) 。Sample Input10 00Sample OutputCase #1:解题思路：本题本质上是一道空间解析几何题，其核心是利用三维空间中不共面的四个点的坐标来求球心坐标。我利用四个

3、点到球心距离相等的性质，列出四个三元二次方程，再两两消去，得到三个三元一次方程，该方程组是一个线性非齐次方程组，利用系数行列式表示，并且运用克拉默法则，可以解出该方程组，方程组的解就是球心的坐 标。算法：题中所要求坐标的星球有四颗卫星，可以对应空间中的四个点，因为知道四个卫星的坐标，所以已知这四个点的坐标，可设为A(x1,y1,z1) 、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)，设半径为r，球心0坐标为(x,y,z)。禾U用四点到球心距离相等的性质得 到如下四个方程。展开得:2(x1x+y1y+z1z) +J+产/2(x2x+y2y+z2z)+辺2+膚+ z史护;

4、J+护+/2(x3x+y3y+z3z)+ =；x+y:+?2(x4x+y4y+z4z)+才+yf+ 加主?；分别作(x1-x2)x+(y1-y2)y+(z1-z2)z=(x3-x4)x+(y3-y4)y+(z3-z4)z=(x2-x3)x+(y2-y3)y+(z2-z3)z=k(k2 -逑 + yl? - x22 + d z)； ；厨-加+ -才+為2 疥); ；(用-X32 + 扮-0 + 却7 -屈);其对应的系数行列式可设为:abcD= alblcli2b2c2则 a=(x1-x2), b=(y1-y2), c=(z1-z2)a仁(x3-x4), b仁(y3-y4), c仁(z3-z4)

5、;a2=(x2-x3), b2=(y2-y3), c2=(z2-z3);常数项行列式为：+);+.);+工门.3)；p Q R Rala.21 2aa.)2由线性代数中的克拉默法则可知:由此即可解出三元一次方程组的解,x=Dx / D;y=Dy / D;z=Dz / D;所得解也就是空间四个点所在球的球心坐标。还原至题中亦即巴尔坦星的坐标。收获和分析我的收获：在解决问题的过程中，我了解到了方法和知识的重要性，在解决问题的过程中采取合适 的方法将事半功倍， 而这需要我们平时不断地积累， 善于使用专业课所学的知识； 还有就是 团队协作的能力得到了锻炼， 本题的解答， 是我和室友共同努力的结晶， 是

6、我们团队协作的 成果。关于题目的分析：解题过程中， 我曾一度陷入僵局， 早先就列出了三元一次方程组， 却是利用高中时所学的 代入法， 解出了 x, y ,z 的公式， 但解出的公式却有一个致命伤， 对输入的很多组测试数据， 偶尔有使公式的分母出现0的情况，此时公式便失去了作用，即程序有bug,这个问题是公式法算法中迟迟无法解决的。 而就本题而言， 采用行列式的解法和克拉默法则后， 只有当空 间中的四点共面时才会出现无解的情况，而这时才会使系数行列式D值为0;通过数学我们知道,共面的四个点无法确定一个球,所以本题合理的输入不应包括共面的四个点的坐标。 有了求解球心的函数之后 ( 以上算法编成一个

7、函数 ) ,开始考虑规范化输入输出, 这应当不难 解决源代码：。#include#include /fabs()、sqrt() 函数#include /用于控制输出精度#define maxnum 30using namespace std;void solve();/double distances(double x1,double y1,double z1,double h1,double h2,double h3);int main()solve();system(PAUSE);return 0;void solve()double answermaxnum4;int i,t, s=0

8、;cin t;double x1,y1,z1, x2,y2,z2, x3,y3,z3, x4,y4,z4;double a,b,c, A,B,C, a1,b1,c1, A1,B1,C1, a2,b2,c2, A2,B2,C2;double P,Q,R;double x, y, z;for(i=0;ix1y1z1x2y2z2x3y3z3x4y4z4; coutendl;A=(x1*x1-x2*x2);A1=(x3*x3-x4*x4);A2=(x2*x2-x3*x3);a=(x1-x2); b=(y1-y2); c=(z1-z2);B=(y1*y1-y2*y2); C=(z1*z1-z2*z2);

9、a1=(x3-x4);b1=(y3-y4);c1=(z3-z4);B1=(y3*y3-y4*y4); C1=(z3*z3-z4*z4);a2=(x2-x3);b2=(y2-y3);c2=(z2-z3);B2=(y2*y2-y3*y3); C2=(z2*z2-z3*z3);P=(A+B+C)/2; Q=(A1+B1+C1)/2; R=(A2+B2+C2)/2;/D是系数行列式 ，运用克拉默法则double D=a*b1*c2+a2*b*c1+c*a1*b2-(a2*b1*c+a1*b*c2+a*b2*c1);double Dx=P*b1*c2+b*c1*R+c*Q*b2-(c*b1*R+P*c1*b2+Q*b*c2);double Dy=a*Q*c2+P*c1*a2+c*a1*R-(c*Q*a2+a*c1*R+c2*P*a1);double Dz=a*b1*R+b*Q*a2+P*a1*b2-(a2*b1*P+a*Q*b2+R*b*a1);x = Dx/D ；y = Dy/D ；z = Dz/D ;answeri0=x;answeri1=y;answeri2=z;answeri3=D;/ 判断四点是否共面 :for(i=0;it;i+)if(answeri3=0)cout 第 i+1 组输入的四个点不符合要求 endl; / 四点共面或者等 于零都不符合elsecout C