高一数学两直线的交点

1、高一数学两直线的交点高一数学两直线的交点两直线的交点【学习导航】两条直线的方程分别是l 1:A 1x +B 1y +C 1=0l 1:A 2x +B 2y +C 2=0?A 1x +B 1y +C 1=0 构成方程组?（）A x +B y +C =0解、无解和无穷多组解；2 当两条直线相交时，会求交点坐标；3 学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力（ 1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，方程组的解即为交点（ 2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：方程组有一组解，该解为交点坐标；方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为重

2、合，交点个数为 无数个；方程组无解，此时两直线的位置关系是平行，交点个数为0个.例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1） l1:2x -y =7， l2:3x +2y -7=0；（2） l1:2x -6y +4=0，l 2:4x -12y +8=0；（3） l1:4x +2y +4=0，l 2:y =-2x +3?x =3?2x -y -7=0 【解】（1）因为方程组?的解为? , y =-1 ?3x +2y-7=0?2x -6y +4=0 （ 2）方程组?有无数组解，?4x -12y +8=0这表明直线l 1 和 l 2 重合?4x +2y +4= 0（ 3）方程组?无

3、解，2x +y -3=0 ?这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1 II l 2 .点评 : 研究两条直线l 1, l 2 的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组 ? A 1x +B 1y +C 1=0 的解的个数问题?A 2x +B 2y +C 2=0例 2：直线l 经过原点，且经过另外两条直线2x +3y +8=0 ， x -y -1=0 的交点，求直线 l 的方程?2x +3y +8=0 分析：法一由两直线方程组成方程组?，求出交点（-1, -2） ，再过原点 （0, 0） ，? x -y -1=0由两点求直线方程法二 设经过两条直线2x +3y +8=0

4、 ， x -y -1=0 交点的直线方程为（2x +3y +8）+ 入（x -y -1）=0,又过原点，由（0, 0）代入可求 人的值.点评 : 已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0， l 2:A 2x +B 2y +C 2=0 相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为（A 1x +B 1y +C 1）+ 入（A 2x +B 2y +C 2）=0 （ 入 CR ）例 3：某商品的市场需求y 1 （万件）、市场供求量y 2 （万件）、市场价格x （元 /件）分别近似地满足下列关系：y =-x +70, y =2x -20 当 y 1=y 2 时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求

5、量称为平衡需求量（ 1）求市场平衡价格和平衡需求量；（ 2）若要使平衡需求量增加4 万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线y =-x +70, y =2x -20 交点的横坐?y = -x +70 的解?y =2x-20?y = -x +70 ?x =30【解】(1)解方程组?得 ?，y =40y =2x -20?标和纵坐标，即方程组?故平衡价格为30 元 / 件，平衡需求量为40 元 / 件( 2)设政府给予t 元 /件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)x 元 /件，则供货者实际每件得到(x +t ) 元依题意得方程组? -x +70=

6、44 ，解得 x =26, t =6 ?2(x +t )-20=44因此，政府对每件商品应给予6 元补贴点评 : 这是一道关于两直线交点的实际应用题, 关键要读懂题目意思, 而后通过解方程组解决问题.1. 若一条直线过点(2,1) ，且与另一条直线y =kx +b 相交于点(1,2), 则该直线的方程为x +y -3=0( B ) 2. 若三条直线2x +3y +8=0, x -y -1=0, x +ky =0 相交于一点，则k 的值等于11 (C ) 2 (D ) 223. 三条直线x +y +1=0 ， 2x -y +8=0 ， ax +3y -5=0 有且只有两个交点，则a = (A )

7、-2 (B ) -两直线的交点的其他应用例 4: 已知三条直线l 1 ： 4x +y -4=0 ， l 2 ： xm +y =0 ， l 3 ： 2x -3my -4=0 ，求分别满足下列条件的m 的值：( 1)使这三条直线交于同一点；(2)使这三条直线不能构成三角形分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行【解】要使三直线交于一点，则l 1与l 2不平行，：m W4,4 ?x =?4x +y -4=0 ?4 -4m ?4 -m ,),：由？得？，即 l 1 与 l 2 交点为(-4m4-m 4-m xm +y

8、=0 ?y =?4 -m8-4m 2-3m?-4=0 ，解得 m =-1 或 代入 l 3 方程得 4-m 4-m 32 ( 2)若l 1 、 l 2 、 l 3 交于一点，则m =-1 或；若 l 1/l 2 ，则 m =4； 31 若 l 1/l 3 ，则 m =-;若 l 2/l 3 ，则 m 无解，621 综上可得：m =-1 或或 4 或 - 36点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可例 5：求证：不论m 为何实数，直线l ： (m -1) x +(2m -1) y =m -5 恒过一定点，并求出此定点的坐标分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程【解】(法一)将直

9、线l 方程 (m -1) x +(2m -1) y =m -5 整理为(x +2y -1) m -x -y +5=0 ，该方程表示过直线x +2y -1=0 和 -x -y +5=0 交点的直?x +2y-1=0 得交点(9,-4)，:直线 l 过定点(9,-4). -x -y +5=0 ?1 (法二)令m =1 得 y =-4 ， m =得 x =9 ，两直线y =-4 和 x =9 交点为 (9,-4)， 2将 (9,-4) 代入直线方程得9m -9-8m +4=m -5 恒成立，所以，直线l 过定点 (9,4) 由?点评：以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法因为直线上点的坐标就是对

10、应方程的解, 所以两直线是否有交点, 取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解. 体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决 , 从而感悟到解析几何的本质( 即用代数的方法来研究或解决几何问题).a 1x +b 1y +3=0 和 a 2x +b 2y +3=0 的交点是(2,3) ，则过两点=0 P (a 1, b 1), Q (a 2, b 2)的直线方程是( C ) (A ) 3x +2y =0 (B ) 2x+3y +3=0(C ) 3x +2y +3=0 (D ) 2x -3y -52 . ( 2002北京文，6)若直线l : y =kx -3与直线2x+3y 6=0的交点位于第一

11、象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (B ) (A ) , ) (B )(,)式汽汽汽6362(C ) (, ) (D ),n汽汽汽 3262解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围? x = ?y =kx ? ? ? 2x +3y -6=0 ?y =?交点在第一象限，?3(2+) >0?x >0?2+3k ：? ：?y >0?6k-23>0 ?2+3k3：k C (, i) 3倾斜角范围为(式式62,) 解法二：如图，直线2x +3y 6=0 过点 A ( 3， 0)，B ( 0， 2)，直线l 必过点(0，)，当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，

12、当直线l 绕 C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.11, -) k k4.求证：不论 m为何实数，直线l : (2m -1) x -(m +3) y -(m -11)=0恒过一定点，并求出3 .设 m +n =k (k为非零常数)，则直线 mx +ny+1=0恒过点(-此定点的坐 标两条直线的交点1. 直线 A 1x +B 1y +C 1=0 与 A 2x +B 2y +C 2=0 重合 , 则必有 ( )(A) A 1=A 2, B 1=B 2,

13、 C 1=C 2. (B) A 1B 1C 1. =A 2B 2C 2(C) 两直线斜率和截距都相等.(D) A 1=mA 2, B 1=mB 2, C 1=mC 2(m C R , m w 0)列直线中, 与 . 2. 下直线 2x -y -=3 相交的直线是(A) 2ax - ay +6=0(a 丰 0) . (B) y =2x .(C) y =2x +5. (D) y =-2x +3.3. 若三条直线2x +3y +8=0, x -y -1=0,x +ky =0 相交于一点, 则实数 k 的值等于()(A)-2. (B) -11. (C)2. (D) . 224. 当 a 取不同的实数时

14、，直线(a -1) x -y +2a +1=0 恒过一个定点，这个定点的坐标是 ()(A) (2,3). (B) (-2,3) .(C) (1,-) . (D) (-2,0) .5. 已知点 A (1,3) 关于直线l 的对称点为B (-5,1) ，则直线l 的斜率为6. 如果两条直线2x +3y -m =0 和 x -my +12=0 的交点在y 轴上，则m 的值7. 直线 ax +4y -2=0 与直线 2x -5y +c =0 垂直并相交于点(1,m ) ，则 a = ， 12c =， m = .8. 求经过 2x +y +8=0 和 x +y +3=0 的交点，且与直线2x +3y -10=0 垂直的直线方程.9. 若三条直线4x +y +4=0 ， mx +y +1=0 ， x -y +1=0 不能围成三角形, 求实数 m 的值.10. (1) 当入变化时，方程x -2y+1+入(2x +3y