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2005级多元微积分期中考题 2006.4 答案A填空题1 2 2 3 4 或写成 5 6 7， 8 910 110 12 二计算题1设，其中有二阶连续偏导数，求。解： .2分 ，.3分.3分2考查函数的极值。 解：由 .2分得的驻点满足，为.2分又，.2分所以没有极值。 2分3利用已知积分，计算积分 ， 其中，。 解法一（积分号下求导）：令，。因为 和 为连续函数，且任意，存在正常数使广义积分一致收敛，.3分根据含参变量的广义积分求导定理，对任意，.2分因此，。于是，。3分*不证明“一致收敛”扣3分*解法二（积分号下求积分）：利用关系，以及连续函数的广义积分在上一致收敛性，.3分由含参变量的广义积分求积分定理，可以得到 。5分4求二重积分，其中。 解： 用极坐标系，.用到极坐标.2分 3分 .3分5设，将展为周期为2的Fourier级数，并由此证明。 解： 3分 .2分令。3分6设函数为由方程确定的二阶可微函数，其中具有连续二阶导数。求 与。解： ，对求偏导， 4分 4分证明题1设是连续函数，证明： ，其中。证：做变换 .3分，.2分于是有 。.3分2设在上有二阶连续偏导数，在内满足，且在上， ，证明：当时， 。（提示：可用反证法证明）证明：反证法：假设存在点满足且。由条件：在上， 可知，在上的连续函数在区域的最小值点一定发生在区域的内部，因此一定是极

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