极值点偏移问题专题

1、极值点偏移问题专题 (0) 偏移新花样 ( 拐点偏移 )例 1 已知函数 f x2ln xx2x ,若正实数 x1 , x2 满足 fx1 +f x2=4 ,求证 : x1x22 。证明 :注意到 f 1 =2 ,f x1+fx2=2f 1fx1 +fx2=2f1fx =20+2x 1xfx =22 ,f1 =0 ,则(1,2)就是 fx 图像得拐点 ,若拐点 (1,2)也就是 fx 得对称x2中心 ,则有 x1x2 =2 ,证明 x1x22 则说明拐点发生了偏移,作图如下想到了“极值点偏移”, 想到了“对称化构造”,不妨将,此类问似题地命名为“拐点偏移”,仍可用“对称化构造”来处理.不妨设

2、0x11x2 ,要证x1x22x22x11fx2f2 x14fx1f2x14fx1f2x1Fxfxf2x, x0,1 ,则Fxfxf2x22x122 2x 1x2x1,4 1 x1 0x 2x得 Fx 在 0,1上单增 ,有 Fx F 1 2 1 4 ,得证。2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路1 、 极值点偏移 ( fx00 )二次函数fx1fx2x1x22x0fx1fx2x2 2x0 x1x1x22x02 、拐点偏移fx00f x1 f x2 2 f x0f x1f x2 2 f x0x2 2x0 x1x1 x2 2x0x2 2x0x1极值点偏移问题专题(1) 对称化构造 ( 常规套路

3、)例 1(2010 天津 )已知函数fxxe x .(1) 求函数 f x 得单调区间与极值 ;(2)已知函数gx 得图像与 fx 得图像关于直线x 1 对称 ,证明 :当 x 1时, f xgx ;(3)如果 x1x2 ,且 f x1fx2 ,证明: x1 x22.点评 :该题得三问由易到难,层层递进 ,完整展现了处理极值点偏移问题得一般方法对称化构造得全过程 ,直观展示如下 :例 1就是这样一个极值点偏移问题:对于函数 f xx x,已知 fxf x, xx ,证e1212明 x1x2 2 .再次审视解题过程,发现以下三个关键点:(1) x1 , x2 得范围 0x11x2;(2) 不等式

4、 f xf 2xx1 ;(3) 将 x2 代入 (2) 中不等式 ,结合 f x 得单调性获证结论 .把握以上三个关键点,就可轻松解决一些极值点偏移问题.例 2(2016新课标卷 )已知函数 f xx 2 ex2a x 1 有两个零点 .(1) 求 a 得取值范围 ;(2) 设x1 , x2 就是 fx 得两个零点,证明 : x1x22 .解:(1)0,过程略 ;(2) 由 (1) 知 fx 在,1 上,在 1,上 Z,由 fx1fx20 ,可设x11x2 .构造辅助函数Fxfxf2xFxfxf2xx 1 ex2a1 x e2 x2ax1exe2 x当 x 1时 , x 1 0 , exe2

5、x0 ,则 F x0 ,得 F x 在,1 上Z ,又F 10 ,故F x 0 x 1 ,即 f xf 2 x x 1 .将 x1 代入上述不等式中得fx1f x2f2x1,又 x21, 2x11, fx在1,上 Z ,故 x12 x1 , x1x22 .通过以上两例 ,相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造得一般步骤有所了解.但极值点偏移问题得结论不一定总就是x1x22x0 ,也可以就是 x1 x2x02,借鉴前面得解题经验 ,我们就可给出类似得过程 .例 3已知函数 f xx ln x 得图像与直线ym 交于不同得两点A x1, y1, Bx2 , y2 ,求证: x1x21.2e证明 :(i) fxln x1,得 fx在 0,1上 ,在 1,上Z ;当0x1ee时, fx0 ;f 10 ;当 x1时 ,f x0 ;当 x0时 , fx0 (洛必达法则 );当x时, fx,于就是 fx得图像如下 ,得 0x11x2 1.e小结 :用对称化构造得方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:step1: 求导 ,获得 fx 得单调性 ,极值情况 ,作出 fx 得图像 ,由 fx1fx2 得 x1 , x2 得取值范围 (数形结合 );step2:构造辅助函数(对结论x1x22x0 ,构造 F xfxf2x0x;对结论x1x2x02 ,构造