全程复习方略高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质：1.3.1 函数的单调性与导数

1、1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具过山车是一项富有刺激性的娱乐工具. .那种那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷. . 过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！吧！1.1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理正确理解利用导数判断函数的单调性的原理. . （重点）（重点） 2.2.利用导数判断函数单调性利用导数判断函数单调性. .（难点）（难点） 3.3.掌握利用导数

2、判断函数单调性的方法掌握利用导数判断函数单调性的方法. .图图(1)(1)表示高台跳水运动员的高表示高台跳水运动员的高度度 随时间随时间 t t 变化的函数变化的函数 的图的图象象, , 图图(2)(2)表示高台跳水运动员表示高台跳水运动员的速度的速度 随时间随时间 t t 变化的函变化的函数数 的图象的图象. .运运动员从起跳到最高点动员从起跳到最高点, , 以及从以及从最高点到入水这两段时间的运最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别动状态有什么区别? ?2( )4.96.510h ttt ( )9.86.5v tt aabbttvhOO(1)(1)(2)(2)探究：函数的单调性与其导函

3、数的关系探究：函数的单调性与其导函数的关系vhaabbttvhOO 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, ,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的的增加而增加增加而增加, ,即即h(t)h(t)是增函数是增函数. .相应地相应地, ,( )( )0.v th t 从最高点到入水从最高点到入水, ,运动员离水面的高运动员离水面的高度度h h随时间随时间t t的增加的增加而减小而减小, ,即即h(t)h(t)是是减函数减函数. .相应地相应地, ,( )( )0.v th t(1)(1)(2)(2),.观观察察下下面面一一些些函函数数图图象象 探探讨讨函函数数的的单单调调性性与与其其导

4、导函函数数正正负负的的关关系系yxyxO 1 12yxOyx 2 23yxOyx 3 31yxOyx 4 4O OO OO OO O3.33图 yf xOyx00,xf x11,xf x xxxxxxxxxxxxxx 0 000000 00 00 011111 1如如图图, ,导导数数表表示示函函数数f f在在点点,f,f处处的的切切线线的的斜斜率率. .在在 = =处处, ,0,0,切切线线是是 “左左下下右右上上”式式的的, ,这这时时, , 函函数数f f在在附附近近单单调调递递增增; ;在在= =处处,0, 0 0, ,那那么么函函数数y y = = f f x x 在在这这个个区区间

5、间内内单单调调递递增增; ;如如果果f fx x 0 0, ,那那么么函函数数y y= = f f x x 在在这这个个区区间间内内单单调调递递减减. . 例例1 1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息: :当当1 x 4 , , 或或 x 1时时, ,当当 x = 4 , , 或或 x = 1时时, ,( )fx( )0;fx( )0;fx( )0.fx试画出函数试画出函数f（x）图象的大致形状）图象的大致形状. .解解: : 当当1 x 0,f (x)0,f(x)f(x) 当当 x 4 , , 或或 x 1时时, , 可知可知 在这两个区间内单调递减在这两个区间内单调递减; ; f

6、 (x)0,f (x)0.f (x)=3x +3 =3(x +1)0.因此因此, , 函数函数 在在 上单调递增上单调递增. .如图如图(1)(1)所示所示3 3f(x)= x +3xf(x)= x +3xxRxRxyo o 3 3f f x x = = x x + +3 3x x 图图 1 1 为为2 2 2 2 因因f f x x = = x x - -2 2x x- -3 3, ,所所以以f f x x = =2 2x x- -2 2= =2 2 x x- -1 1 . . 当时数单调递22f x 0,即f x 0,即x1, 函x1, 函f x = x -2x-3增f x = x -2x-3增; ; 当时数单调递减 2 2f f x x 0 0, ,即即x x 0 0, , 即即 时时, ,函函数数f f x x f f ; ; 当当x x 0,(x)0,得函数单调增区间得函数单调增区间; ; 解不等式解不等式f f (x)0,(x)0(0(或或 0)0)(3)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）2.2.证明可导函数证明可导函数f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1)(1)求求 (2)(2)确认确认 在在(a,b)(a,b)内的符号内的符号(3)(3)作出结论作出结论f (x)f (x)