测量的不确定度与数据处理

1、测量的不确定度与数据处理刘玉金1.1测量、测量误差与误差处理1测量与测量误差1）直接测量与间接测量直接测量：是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。间接测量：是先用直接测量的方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需 物理量。2）等精度测量和不等精度测量等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一的测 量者、仪器、方法及相同的外部环境），这样进行的重复测量称为等精度测量。不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行的测量称 为不等精度测量。3）测量误差真值：在一定条件下，任何待测物理量都是客观存在的，不依人的意志为转移的 确定值。测量误差：测量结果与

2、真值之间的差值。它反映了测量结果的准确程度，可用绝 对误差表示，也可用相对误差表示：绝对误差=测量结果-被测量的真值相对误差E10000被测量真值绝对误差2. 误差分类1) 系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值是一定的或以可预知的方式变化的。它来源于仪器本身的缺陷，或来源于理论公式和测量方法的近似性。消除和纠 正系统误差的方法是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。2) 随机误差由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。 它服从一定的统计分布规律，常见的一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用 统计的方法处理随机误差。3. 随机误

3、差的处理方法1) 随机误差的正态分布2) 残差、偏差和误差残差为单次测量值xi与有限次测量平均值X之差。即X Xi X (i=1,2,n)偏差为单次测量值Xi与总体平均值 卩之差。注意，偏差即为随机误差，系统误差 为0时，偏差才是误差。误差为单次测量值Xi与被测量真值X0之差。3) ，S，Sx(1) 总体标准偏差limnn(2) 有限次测量时的单次测量值标准差 S(3) x的标准偏差SxSxSn1.2测量的不确定度1.不确定度1) 不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测 量的真值所处的量值范围的评定。3) 不确定度与误差的关系不确定度和误差是两个不同的概念，前者实在

4、后者理论基础上发展起来的，它们 都是由于测量过程的不完善性引起的。误差用于定性地描述理论和概念的场合，不确 定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。2.直接测量结果不确定度的估计直接测量结果总不确定度表示为22-AB1)A类不确定度当进行有限次测量时，A类不确定度的表达式为Sx,a -jt n 1乙n 2式中t_ n 1是与测量次数n，置信度1有关的量，可以从表中查得在要求精度不高的情况下，当6WnW10时 nXi Fa Sx n：当n不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应的值。3）B类不确定度 BB类不确定度 B分量的误差与不确定度的系统误差相对应。一般由仪器误差来代替。

5、常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。即4）总不确定度的合成J 2A; 葩n 12 仪当测量次数n符合6WnW10条件时，简化为,S22仪当S1仪，或a对测量结果影响甚小，或只进行了一次测量，可简单地用 仪3表示。3间接测量结果不确定度的估计设间接测量所用的数学表达式为f x, y, z,式中 为间接测量结果，x,y,z,为直接测量结果，且它们相互独立。x, y,乙 的不确定度（分别为x, y, z,）必然影响间接测量结果，使也有相应的不确定度。不确定度是微小量，相当于数学中的“增量”，所以间接测量结果不确定度的计算公替代了 dx,式和数学中的全微分公式基本相同。不同之处在于不确定度

6、dy, dz,以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。即间接测量结果的表示方法为E 100001.3.数据处理1. 测量结果的有效数字1) 有效数字的定义测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。有效数字位数的多少，反映了测量结果的准确度，位数越多，准确度越高。测量结果取几位有 效数字是件严肃的事，不可任意取舍。有效数字与小数点的位置无关，单位换算时， 有效数字的位数不应发生变化。还应注意，表示小数点位置的“0”不是有效数字，数字中间或数字后面的零是有效数字，不能任意增减。2) 有效数字的表示有效数字的末尾为估读数字，存在不确定性，当规定不确定度的有效数字只取一 位时，测量

7、结果最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。如V=(32.56 ±0.008)cm3中，测量值末位应于不确定度 0.008的“8”对齐。例12.34cm=0.0234m是正确的，但变为2.34cm=2340pm是错误的，应记为2.34-4X10 pm。例2某人测得真空中的光速为299700km/s,不确定度为 300km/s,若记为(299700±300)km/s是不正确的，应写为(2.997±0.003) X10-5km/s。3) 有效数字的运算规则(1)加减运算 x, y,乙 位数取到和不确定度所在位相同或比不确定度所在位低一位，最后用不确定 度决定最后结果的有

8、效数字，各分量不确定度为先计算不确定度，计算过程中取两位，最后取一位，再计算，其中各分量若未标明x, y, z,，运算中以各分量中估计位最高的为准，其它各分量运算过程中保留到它下一位，最后对齐。例71.3 0.7536.262271显然以271为准，其余比它多保留一位71.3 0.8 6.3 271347.8最后与271取齐，即348。乘除运算设 xyz ，个分量不确定度为 x, y, z,。以有效数字最少的分量为准，其 它各分量的有效数字取到比它多一位，计算，结果也暂多保留一位，在计算不确定度，由不确定度决定最后结果有效数字的为数。在未标明不确定度x, y , z ,时，最后结果在最保险情况

9、下可取到比上述最少位数的分量多一位，如计算39.5 4.08437 0.0065867.8 式中0.0065有效数字位数最少只有2位，运算中期于分量取3位，结果也可取三位， 即39.5 4.08 0.00651.21 10 3868（3）函数运算设 f x, y, z, 。在直接测量值标明不确定度时，先用微分方法写出该函数的不确定度公式，再将直接测量值不确定度代入公式，确定函数有效数字的位数。若直接测量值未标明不确 定度，则在直接测量值的最后一位数上取1作为不确定度代入公式。如测得 x 25.4， 求 In x。由于直接测量值x 25.4未标明不确定度，应在25.4最后一位上取1作为不确定度，

10、即x 0.1，所以Inx 0.004。因此In x小数点后应保留至第三位，即In x In 25.43.235在计算中，若有物理常数（如c，h等）和纯数学数字（如n, e，J2等）参与运 算，它们不影响运算结果中有效数字的位数。（4）数值舍入规则一般遵循“四舍六入五凑偶”的规则。“五凑偶”是若拟舍数字部分最左一位的 数字为5，当5后边为非0数字时，则进一，即保留数字末尾加 1;当5后边无数字 或全为0时，则保留数字末尾为奇数则进一，为偶数或0则舍弃。2. 数据处理1）列表法在记录和处理数据时，将数据列成表格。有时也可以把运算的主要过程列出。列 表的主要要求是简单明了，便于看出有关量之间的关系，

11、便于数据处理。必须交代清 楚表中各符号所表示的物理量意义，并写明单位，表中的数据要正确反映测量结果的 有效数字，写明表的标题或加上必要的说明。2）作图法应以横坐标为自变量，纵坐标为应变量，标出坐标轴的方向并真眼、注明所代表的物理量和单位，可靠数据在图中应为可靠，不可靠的数在图中应估计。连接不一定 要通过所有的点，而要使所有的点分布在曲线的两侧。3）逐差法（适用于等间隔线性变化实验的测量）例：测量弹簧的倔强系数k时，先测出弹簧的自然长度Lo,然后依次在弹簧下端 的小钩上加0.2mg, 0.4mg,，1.4mg的砝码，弹簧长度依次为 Li， L2，L7，对应 于0.2mg砝码的弹簧相应的伸长为：L

12、iLiL。，L2L2Li，L?L7。其平均伸长量为-LL1L2L7L1LoL2 L1L7L6L7 Lo777由此可以看出，在多次测量过程中，只有两次测量值参与了运算，其它测量值并 没有起到减小偶然误差的作用。因此，只要在测量列中适当采取变化，就能使各次测 量值都参与运算。具体做法是：将测量列分成两组，一组为：Lo，Li， L2，L3，另一组为L4， L5，L6， L7。取对应的差值（称为逐差）Li L4 L0L2 L5 LiL3 L6 L2再取平均值1 41L -Li-L4Lo L5L!L6L2L7L34 i 14这时，1便是每增加0.8mg时弹簧的伸长，所有的测量值都参与了运算，达到 增加测量次数，消除偶然误差的目的。4）回归法回归法也是利用实验所测得的数据组，用数学形式模拟物理模型，通过测量的数 据组变化趋势推测出函数形式。以下是用最小二乘法回归直线问题。若一组数据存在线性关系，于是有如下形式:Y AX B如何确定A、B常数