数字信号处理习题+答案

1、变换中第一章 数字信号处理概述简答题：1 在 A/D 变换之前和 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤 波器，它们分别起什么作用？答：在 A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器， 是为了限制信号 的最高频率， 使其满足当采样频率一定时， 采样频率应大于等于信 号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器， 是为了滤除高频 延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平 滑”滤波器。判断说明题： 2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理， 自己要增加一道采样的工序就可以了。 ( ) 答：错。需要增加采

2、样和量化两道工序。j 1 1 j Y(ej ) T1 Xa(j ) T1 Xa( jT )所以 h(n) 得截止频率 cc为8 对应于模拟信号的角频率cT8因此fcc1625Hzc216T由于最后一级的低通滤波器的截止频率为，因此对 没有T 8T3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然 后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。 ( ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全 等效的数字系统未必一定能找到。 因此数字信号处理系统的分析方 法是先对抽样信号及系统进行分析， 再考虑幅度量化及实现过程中 有限字长所造成的影响。 故离散时间信号和系统理论是数

3、字信号处 理的理论基础。第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理计算题： 1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期(假 设T足 够小，足以防止混 迭效应)，把从 x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。(a)如果 h(n)截止于 8rad ,1 T 10kHz ，求整个系统的截止频率。(b)对于 1T 20kHz ，重复( a)的计算。影响，故整个系统的截止频率由 H(ejb)采用同样的方法求得 1T16T、离散时间信号与系统频域分析) 决定，是 625Hz20kHz ，整个系统的截止频率1250Hz计算题：1设序列 x( n)

4、的傅氏变换为 X(e ) ，试求下列序列的傅里叶 变换。(1)x(2n) (2) x* (n) (共轭)解：( 1) x(2n)由序列傅氏变换公式DTFT x(n) X(ej ) x(n)e j n n可以得到DTFTjn j nx(2n) x(2n)e jn x(n )e 2nn 为偶数解 ( a)因为当8rad时H(ej ) 0，在数 模12x(n)( 1)n x(n)eX?( )12 n x(n)e12nj(x(n)e 2)n111e j21 11ej1212X(ej2)12X(ej(2利用频率微分特性，可得1j12 X(ej2)X(jj2)X( )2) x* (n) (共轭)12ejj

5、 dX( ) jd1(1 12ej )221(1 12e j )2DTFT3序列 x(n) 的傅里叶变换为X(e ) ，求下列各序列的傅里叶x* (n)x* (n)ejnx(n)e jn*变换。X * (e j1) x ( n)2) Re x( n) (3) nx(n)2计算下列各信号的傅里叶变换。解：1)jwnn)ex( n)e jw( n) * nX*(ejw)a) 2nu nb)(1)nun42c) 4 2nd)n(12)解：(a)X(n2nune j2n e j nX(X(Rex(n)e jwn12x(n)jwn 1 jwx (n)e2X(e )X (e jw)jwn nx(n)e1d

6、x(n)e jwn j d x(n)e jwn dwnj dwj dX(ejw)dw10(12e11 1 ej2b4序列 x(n)的傅里叶变换为 X(e ) ，求下列各序列的傅里叶变换。14)nun1m0(14)mxne j2e jj (m 2) e164(14)nej24ej21 1e42ne j nj21) x(n)2) jIm x(n)(3)x2(n)x (n)e jwn2)j( w)( n)x(n)e n112x(n)x(jwnn)e112nx(n)e j( w)nX (e jw)jwn x(n)ejwnx (n)e 12X(ejw)x(n)e j(w)n12X(ejw)X (e jw

7、)3)2) g(n)x n 2 n为偶数0n为奇数x2(n)ejwnX(ej )dnx(n)e j(w )n3) x(2n)1 X(ej )X(ej(w )d211 X(ej ) X(ejw)2解：(1) X(e jw )jwn0ejw5令 x(n) 和 X(e ) 表示一个序列及其傅立叶变换，利用2)x(n2)n 为偶数g(n)X(e ) 表示下面各序列的傅立叶变换。X(ej2w)1)2)G(ejw )g(n) x(2n)g(n)xn20g(n)ejnw112 x(k)n为偶数 n为奇数3) x(2n)0 n 为奇数 jwX(e 2 )7计算下列各信号的傅立叶变换。x(2n)e jnwk1)

8、 k x(k) ekjw2x(k)e)kjw21)(21)n u(n 3) u(n 2)2k k为偶数2)3)cos(18 n7) sin(2n)x(n)cos(01 n其它1x(k)ejk w21j jk w x(k)(e j )e 22k2k1w j1jk ( w )1X(e 2 )x(k)e222k1Xw(e 2 )1Xwej(w2)22ww1 X (e 2 )X(e 2 )2k2解】1) X(k)(12)nu(n3)u(nj 2 kn2) e N1n3(2)nej 32 k 8e N 1 1e2j 2 knN2jNk(12)nej22 ke j2 N k1e2j2 knN2jNkG(e

9、jw)g(n)ejnwg(2r)e j2rwrrx(r)e jr2w X(ej2w)8ej3Nkj52 kN(12)5e1 1e j2N k26设序列 x(n) 傅立叶变换为 X(e ) ，求下列序列的傅立叶变 换。(1) x(n n0 )n0 为任意实整数2)假 定 cos(18 n7) 和 sin( 2n) 的 变换 分 别为 X1(k) 和X 2 (k) ，则2 18218X1(k)(k2k )(k2k )kN7N7X2(k)(2 k 22k )(2N k2 2k )jkNN所以 X(k) X1(k) X 2(k)三、离散时间系统系统函数 填空题：1设H(z)是线性相位 FIR系统，已知

10、H(z)中的 3个零点分别为 1， 0.8，1+j ，该系统阶数至少为()。解：由线性相位系统零点的特性可知， z 1 的零点可单独出现， z 0.8的零点需成对出现， z 1 j 的零点需 4个 1组，所以2Nk1782k)(2Nk 178 2k) j(2Nk 2 2k) j(Nk 22k)3) X(k)4cos ne n 4 3jn 2 kNn 412(en 42j3njn3 )ejn 2 kN系统至少为 7 阶简答题：2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数Hmin(Z) 有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，程式其系统函数可表示成有理方2 9 21 j4( k ) 9 j( k

11、)n N 3 3 N ee2 n 01 j4(2 k ) 9 N3 e22 j( )n 3N en0H (Z)Mbr Z rP(Z) r 0 rQ(Z) 1 N akZ k1，他的所有极点都应在k单位圆内，即k1。但零点可以位于Z 平面的任何地方。有j(3 2Nk)921 ej(3 N k)Rex(n)些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z) 1H(Z)21ej4(2Nk 3)1 e e28求下列序列的时域离散傅里叶变换x ( n) ， Re x(n) ， x0 (n)解： x ( n) x( n)e j ( n) X (ej )1 j n 1 j j j x(n) x(n)e j n

12、X(ej ) X (e j ) Xe(ej )22也是稳定因果的。这就需要 H (Z) 的零点也位于单位圆内，即r 1 。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果 的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】 一个有理系统函数， 如果它的零点和极点都位于单位圆内， 则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值H(ejw) 唯一2 确定。从 ejw求 H ( Z )的过程如下：给定 ejw ，先求 ejw ，它1 k k是cos(kw) 的函数。然后，用 (Zk Z k) 替代 cos(kw) ，我们得到 G(Z) H(Z)H (Z ) 。最后，最小相位系统由单

13、位圆内的 G (Z )的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全x0(n)ex(n) x ( n) ej Im X(ej ) 通系统的乘积，即H (Z) Hmin (Z)H ap(Z)完成这个因式分解的过程如下：首先，把 H (Z) 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数x(n)X1(k)(周期为 N)；把 x(n) 看作周期为 2N的周期序H min (Z )是最小相位的。然后，选择全通滤波器Hap(Z) ，把与之对应的 Hmin (Z )中的零点映射回单位圆外。H (Z)3 何谓全通系统？全通系统的系统函数ap 有何特点？解：一个稳

14、定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z) 对应的傅里列有 x(n)X2(k)(周期为 2N)；试用 X(1 k)表示 X(2 k)。 N 1解： X1(k)x(n)WNknn0j kn x(n)e N n02N 1N1叶变换幅值 H(ejw) 1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即X2(k)x(n)W2kNnn01x(n)e02kjnN22N 1x(n)e2kjnN2H ap (Z)P(Z)Q(Z)brZ对后一项令 n，则r0akZN Z 1Zk1 。因而，k 1 1kZ 1k1如果在 Z k 处有一个极点，则在其共轭倒数点必须有一个零点。4有一线性

15、时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统(转移)函数、差分方程和卷积关系表达式。xnynX2(k)x(n)e2kjnN2x(nN)ekN k2(n N)j2hn(1(1所以 X 2(k)jkjkx(n)e0k)X(k2)k2X 1( )20二、离散傅立叶变换定义2kjnN2k为偶数k为奇数解：频率响应： H(ej )h(n)e填空题2某DFT 的表达式是 X(l)x(k)WMkl则变换后数字频系统函数： H(Z)h(n)Z域上相邻两个频率样点之间的间隔是)。差分方程： Z 1 Y(Z)X(Z)解： 2 M3某序列 DFT的表达式是X(l)卷积关系： y(n) h(n) x(n)1k

16、lx(k)WMkl ，由此可看出，0该序列的时域长度是 ()，变换后数字频域上相邻两个频率第三章 离散傅立叶变换、离散傅立叶级数样点之间隔是()。解： N2 M计算题：1如果 x(n) 是一个周期为 N的周期序列，那么它也是周期为 2N4如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满 足条件( )。解：纯实数、偶对称的周期序列。把 x(n)看作周期为 N 的周期序列有15采样频率为 FsHz 的数字系统中，系统函数表达式中z 1代表的物理意义是 ()，其中时域数字序列 x(n) 的序号 n 代xn X k表的样值实际位置是 ()；x(n) 的N 点DFT Xk)中，序号 k 代表的样值

17、实际位置又是()。解：延时一个采样周期 T 1 F ， nT n F ，6用 8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，2kN计算了512点的 DFT。则频域抽样点之间的频率间隔角频率间隔 w 为 和模拟角频率间隔 。解： 15.625 ，0.0123rad ，98.4rad/s判断说明题：7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能 做DFT 对它进行分析。( )解：错。如果序列是有限长的，就能做 DFT 对它进行分析。否则， 频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题8令 X (k)表示N点的序列 x(n) 的N点离散傅里叶变换， X(k)本身也是一个 N点的序列

18、。如果计算 X(k) 的离散傅里叶变换得到nkx(n)n03y1(n)(1)x(n 4)n47x(n)n03y2(n)(2)0n47x(n )n偶数y3(n)2(3)0n奇数Y1 2k2X k ,0k3解：(1) 1Y1 2k10(2)Y2k1X k1Xk,k12k,0 k1 7,0 k 3123)Y3 k1 0 k1X k1 4 X k 7,0 k 3,k k1 mod4一序列 x1 (n) ，试用 x(n)求 x1(n)。解10设 x(n) 是一个 2N 点的序列，具有如下性质：N1x1(n)X(k)WNnkk0N1 N 1x(n)WNkn WNnkN1 N 1x(n) WNk(n n)n

19、 0 k0x(n N) x(n)另设 x1(n) x(n)RN (n) ，它的 N 点 DFT 为X1(k)，求因为x(n) 的2N点 DFT X(k)和 X1(k) 的关系。WNk(n0n)所以N1x1(n)Nx( nnn n Nl其他Nl) Nx( n)N RN(n)k解： X k 2X1推导过程略211试求以下有限长序列的 N点DFT (闭合形式表达式)(1) x(n) anRN (n)(2)x(n) nRN (n)解：(1)因为 x(n) anRN (n)，所以9序列 x(n)1,1,0,0 ，其 4点DFT x(k) 如下图所示。现将x(n) 按下列( 1)，(2)，( 3)的方法扩

20、展成 8点，求它们 8点的 DFT？(尽量利用 DFT 的特性)NX(k)1nae02j nkN1 aNaejNkej (k m) e j (k m)jN 1(k m)e ejN(k m) e jN(k m) eeej (km) ej (k m)jN1(k m)e e e N ejN(km) e jN(km) ee2)由 x(n) nRN(n) ，N1 sin(k m) ) e sin(k m) Nj N (km)N1 sin(k m) e j N (k m) sin(k m) NX(k)nN1nknWNnk RN (k)0WNkX(k)N1nWN(n 1)kRN (k)n0k=m或 k=-m

21、0,其它X(k)(1NkWNk ) (n1nknWNnk0nWN(n 1)k)RN (k)013已知一个有限长序列 x(n)(n) 2 (n 5)WNk 2WN2k 3WN3kN1(N1)WN(N 1)k(N 2)WN(N 1)kN 1)RN(k)1)求它的 10 点离散傅里叶变换 X(k)( (N 1) WNnk)RN(k)2)已 知 序 列 y(n) 的 10 点 离 散 傅 立 叶 变 换 为n1(N11 WNk RN (k)1) WNkNRN(k)Y(k) W102k X(k)，求序列 y(n)所以3)已 知 序 列 m(n) 的 10 点 离 散 傅 立 叶 变 换 为12解：X(k

22、) 1WNNk RN(k)计算下列序列的 N点 DFT：P116X(k)1)1)X(k)x(n) ax(n),0nN12cos nmN0nN，M (k) X(k)Y(k)，求序列 m(n)2)由 Y(k)X(k)N119nkx(n)WNnk0 n 0nk(n) 2 (n 5) W1n0k=1+2 W150k =1+2ek=1+2 ( 1)k， k2kW120k X(k) 可以知道，j2105k0,1,.,9y(n) 是 x(n) 向右循环N1anWNnkn0N NK1 a WN1 aWNkNaaWNk移位 2 的结果，即y(n) x (n 2) 10 (n 2) 2 (n 7)2 cos mn

23、 n 0 NWNnk1 2n 0N1j2 mn ej Nmn2j mnNe j2N nk3 ) 由 M(k) X(k)Y(k) 可 以 知 道 ，m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。1ej2 (k m)2j2 (k m)1eNj2 (ke2j 2 (k m) 1eNm)一种方法是先计算 x(n)与 y(n)的线性卷积u(n) x(n) y(n) x(l) y(n l)lj N2,k 10，其它= 0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4(2)然后由下式得到 10 点循环卷积X(k)m(n) u(n 10l) lR10(n) 0,0,5,0,0,0,0,4,0,0 5 (n

24、2) 4 (n 7)e j 29 knn0j6 ke92j29kj3 k j3k j3k e 3 e 3 e 3另一种方法是先计算y(n) 的 10 点离散傅立叶变换jke9N1Y(k)y(n)WNnkn0再计算乘积9n 2 2 n 7 W10nk n0W102k 2W170kj2 k sin93k0,1,.,8M (k)X(k)Y(k) 1 2W105kW102k2W170k2k 7kW102W107k2W1012k4W105W102k 4W107k由上式得到 m(n) 5n24n14( 1)已知序列： x(n) sin，0nN1 ，求 x(n)的 N 点 DFT 。2)已知序列： x(n)

25、1，0，n其它0,1,2 ，则x(n) 的 9 点sin k9可见，题给答案是正确的。15一个 8 点序列 x(n) 的 8 点离散傅里叶变换X(k) 如图 5.29所示。在 x(n) 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个 16点序列 y(n) ，即y(n)DFT 是 X(k) e j29ksin3k(1)求 形。否？用演算来证明你的结论。解：(1) X(k)N1sinn0， n 为偶数， n 为奇数0y(n)的 16 点离散傅里叶变换 Y(k) ，并画出Y(k) 的图，k 0,1,2,.,8 正 确 sin k9(2)设 X(k)的长度 N 为偶数，且有P3452neNj2 knN1N2

26、jnej2Nn2jnNj2 kn eN1N2jnej2N(1k)n2j2 (1 k)nNjN2,kX(k) X(N 1 k),k Xk0,1,., N 1 ，求 x2解：( 1)因 n 为奇数时 y(n)0 ，故Y(k)15 y(n)W16nk n 0 n14n nkxW160,2,.20 k 15另一方面 X(k)因此 X(k 8)mkx( m)W8mkm0mkx( m)W8mk ,m00,7x(m)W8m(k00,8)0k7其它8 k 15其它7x(m)W8mkm0k 150,其它所以7mkY(k)x(m)W8Y(k) m 00,0 k 15 其它X(k),0k7X(k 8),8 k 15

27、0,其它5.34 所示。按照上式可画出 Y(k) 的图形，如图k16计算下列有限长序列假设长度为 N 。x(n) 的DFT ，1) x(n) an0nN12) x(n) 1,2, 3, 1N1解：(1) X(k)anWNnkn0N1aWNkn0k N N1 aWN1 aN1 aWNk1 aWNk0kN13(2) X(k)x(n)W4nkn0W40 2W4k 3W42k W43k1 2W4k 3W2k W43k1 2( j)k 3( 1)k j k(0 k 3)17长度为 8 的有限长序列 x(n) 的 8 点 DFT 为 X (k ) ，长度为 16 的一个新序列定义为x( ) n 0,2,.

28、142y(n)0 n 1,3,.,15试用解：X(k) 来表示 Y(k)Y(k)n15 y(n)W1n6k 0r0因此，Y(lDFTy(n) 。2rky(2r)W126rk7rkx(r )W8rkr0X(k)当k8)y(2r 1)W1(62r 1)k0(k 0,1,.,15)7x(n)W8nkn0(k 0,1,.,7)0,1,.,7 时，Y(k)r08(l 0,1,.,7)r (l 8) x(r)W8r (l 8)即 Y(k) X(k 8)X(k)；当 k 8,9,.,15时，得到rlx(r )W8rlX(l)r0于是有X(k)0,1,.,7Y(k)X(0)x(n)0x(m)N12X(k8)k

29、 8,9,.,15显然可得X(0) 0n 0,118若 x(n)12,N试计算 x(n) 的离散傅里2) X(N2)N1x(n)e jkn0x(n)( 1)n0n3叶变换 X(k) 的值 (k 0,1,2,3) 。将 n 分为奇数和偶数两部分表示)N12x(2r)(01)2rx(2r 1)(r01)2r 1【解】X(n)x(kkn )WNknk0所3X(0)x(k)Wkn N2WN02WN01WN00k03j2j22X(1)x(k)WNkn 2WN02WN121WN2 02 2ej4ej4k032WN022WN241WN4X(2)knx(k)WNkn022ek032WN032WN361WN6X

30、(3)knx(k)WNkn022e412j证明题：k03j22ej2N12x(2r)r0x(2r 1)r0ejx(Nr02r)x(2r01) 令 N1 2r 2k 1e j219设 X(k) 表示长度为 N的有限长序列x(n) 的 DFT 。显然可得1)证明如果 x(n) 满足关系式简答题：x(n)x(N 1n)则 X(0)2)证明当 N 为偶数时，如果x(n)x(N1 n)x(2rNk21)x(2r01)21在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率 fs 2 的

31、频率成分。22试说明离散傅里叶变换与 Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是 Z 变换在单位圆上的等间隔采样。则 X(N )2解 ( 1)三、离散傅立叶变换性质填空题：1已知序列 xk2,2,3, 1;k 0,1,2,3 ，序列长度NX(k)1 x(n)WNnk 0N 4 ，写出序列 x(2 k)N R4k的值()。NX(0)1 x(n)WN0 0x(n)0N12x(n)n0N1x(N 1Nnn)解：x(2 k)NR4kx 2, x1, x0, x3;k 0,1,2,3 3,2, 2, 1;k 0,1,2,3xn 1,2,3,2,1;k 0,1,2,3,4,hn1,0,1,1,0;k 0,1,

32、2,3,46 x(n) 长为 N的有限长序列，圆周共轭偶部及奇部，也即xe(n),xo(n)分别为 x(n) 的则 xn 和 hn 的 5 点循环卷积为()。xe(n)xe * (N n)12x(n) x* (N n)解： xk hk xk kk2k 3xo(n)xo * (N n)121x(n) x* (N n)xk x(k 2)5 x(k 3)50,1,3,3,2;k0,1,2,3,4证明：xn 3,2,0,2;k 0,1,2,3 , hn4,2,1,1;k0,1,2,3DFTxe(n)DFTxo(n)ReX (K ) j Im X (K )xn和hn的)。解h0h3h2h1x0h1h0h

33、3h2? x1h2h1h0h3? x2h3h2h1h0x3证明题：4点循环卷积为4试证 N 点序列 x n42111421114221143202证：1NNm的离散傅立叶变换1xn0k 满足 Parseval恒等xe(n) xe *(Nn)1x(n)21x*(N n) 1x(n) x* ( n)N2N11X(k)2X* (k)Re X (k)xo(n)xo * (Nn)12x(n)1x*(N n) 2x(n) x*( n)N112X(k)X* (k)jIm X(k)7若6437Xm1N N Nm1x01x01NNm2Xk0DFT x(n)证： x(n)X (k ),求证DFT X (n) Nx

34、(k)N1NNk1X(k)WN0kn1)1Nm1XmX *m0NXm(0k1Nk 1 NmkxkX(k)1xkWNmk )*01XmWNmk0N由(2) X(k)12 xk 0X(n)1 x(n)WNkn 02)1x(n)WNkn ，将0k与n 互换，则有5 x(k)和X(n) 是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里1NNk叶变换的对称性：1N1 X(k) x( n)证明略。1 x(k)WNkn 0knNx(k)WNkn (用0这应该是反变换公式)k 代替 k ，且求和取主值区)N1Nx( k )Wk0knN与( 1)比较所以 X(n) Nx( k) N8若 x(n)IDFT X(k) ，求证

35、IDFT x(k)1N1 X( n)N)RN (n)。N12x(n)n0N12x(n)n0x(Nx(n)证：IDFS x(k)1N11 kn x(k)WNkn Nk0X(0)所以1 n)1N1Nk0 1N N2N1 rkX(r)WN rkN r 01NX(r)rWNkn1WNk(0IDFSIDFT x(k)n)x(k)1N1 X(1WNk(01N2X(r n)lNn)RN (n)n)lNlN1N1 X(l 为整数)1N1 X( n)n)N )RN (n)9令 X(k)表示 N点序列 x(n) 的N点DFT，试证明：a)如 果 x(n)满足关b)x(n) x(N 1当 N 为偶数时，如果X(N)

36、 0。2n)，则 X(0)x(n) x(N0。n) ，则证： X(k)1 x(n)WNnk 0(k 0,1,., N1)a) X(0)1x(n)0N 为偶数： X(0)N12x(n)n0N12x(N 1 n)n0Nx( 2为N 1 12x(n)n0N112x(N 1n0n)x(N1)N12N1x(N21)N1x(N2 1)x(n)n0N112x(n)n00 x(N2而 x(n) 中间的一项应当满足：因此必然有x(Nx(n)1)1 n)x(N1) x(N 12n1X( ) 02这就是说，当 N为奇数时，也有 X(0)b)当 N 为偶数：N12x(n)(n0N121)n当N于(10x(n)(0为偶

37、数时，1)nN 1)2)0。N1 x(n)WN n0x(N0N2N11) N 1nn)(x(n)(01为奇数，故1) n ( 1)n ,故有N1N2X( ) x(n)(2 n 01)n设 DFT x(n) X (k)n1x(n211x(n)(01) N 11) n1) N 1x(n)(01；1)n又由1)n 0求证DFT X(k) Nx(N n) 。【解】因为WN k(N n) WNnk1N1根据题意 x(n) 1X(k)WN nkNk0N1Nx(N n)X(k)WNk(N n)k0因为 WN k(N n) WNnkN1所以 Nx(N n)X(k)WNkn DFT X(k)k011证明：若 x

38、(n) 为实偶对称， 即 x(n) x(N n) ，则 X(k)也为实偶对称。N1【解】 根据题意 X(k)x(n)WNnkn0N1x(N n)WN( n)( k) 再利用 WNnk的周期性质n0N1(N n)(N k) x(N n)WN(N n)(N k) n0下 面 我 们 令 N n m 进 行 变 量 代 换 ， 则1X(k)x( m)WN( N k)mmN又因为 x(n) 为实偶对称 ,所以 x(0) x(N) 0，所以x(0)WN(N k)0 x( N )WN(N k)m x(0)WN(N k)0N可将上式写为 X(k)x(m)WN(N k)m x(0)WN(N k)0m1Nx(m

39、)WN(N k)mm0Nx(m)WN(N k)m x(N)WN(N k)NN1(N k)m x(m)WN(N k)m m0N1所以X(k)x( m)WN( Nm0k)m X(N k)即证。注意：若 x(n) 为奇对称，即 x(n)x(N n)，则 X(k) 为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。计算题12已知x(n)n 1(0 n 3), y(n)( 1)n (0 n 3)，用圆周卷积法求 x(n) 和 y(n) 的线性卷积z(n)。解：x(n) 1,2,3,4 0 n3 ， y(n) 1,1,1, 10n3因为 x(n) 的长度为 N1 4, y(n) 的长度为 N24所 以 z(n) x(n)

40、y(n) 的 长度为NN1 N 2 1 7 , 故 应 求周期 N 7 的 圆周卷积x(n) y(n) 的值，即N1z(n) x(n) y(n)x(m)y(n m) ?RN (n)m0所以z(n) x(n) y(n) 1,1,2,2, 3,1, 4 ,0 n 613序列 a(n)为 1,2,3 ，序列 b(n)为 3,2,1 。( 1)求线性卷积 a n b n( 2)若用基 2 FFT 的循环卷积法(快速卷积)来得到两个序列的 线性卷积运算结果， FFT 至少应取多少点？解：(1) w(n) a(n) b(n) a(m)b(n m)nm0所以 w(n) a(n) b(n) 3,8,14,8,

41、3 ， 0 n 4卷积运算，因为 a(n) 的长度为 N13 ；所以 a nb n 得长度为 NN1 N21 5 。故 FFT 至少应取 238 点。14有限长为 N=100的两序列110n10x(n)y(n) 0011 n991n01n8990 n99做 出 x(n), y(n) 示 意 图，并求圆周卷积f (n)x(n)y(n) 及做图。解x(n),y(n) 示 意图略，圆周卷积f (n)x(n)y(n)11n010n 1,999n 2,988n 3,977n 4,966n 5,95f n 5n 6,944n 7,933n 8,922n 9,911n 10,90010 n 9015 已知 x(n)是 长 度 为N 的 有 限长序列，X(k)DFT x(n) ， 现将x(n) 的每 两点 之 间 补进r 1 个零值，得到一个长为 rN的有限2)若用基 2FFT 的循环卷积法 (快速卷积) 来完成两序列的线性求：解：16y(n)0ir,i0,1,Nir,i0,1,NDFT y(n) 与 X(k) 的关系。因为 X(k)rNY(k)长序列 y(n)N1x(l)WNlk 0 01