大一高数期末考试题(精)

1、一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f ( x) cos x (x sin x ),贝U 在 x0处 有()(A) f(0)2(B) f(0) 1 (C)f(0)0(D)f(x)不可导.设(x)(x) 33双,则当 x 1 时()2 .1 x.(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)与是等价无穷小；(C)(x)是比(x)高阶的无穷小；(D)(x)是比(x)高阶的无穷小. x3 .若 F(x)0(2t x)fdt,其中 f(x)在区间上(1二阶可导且f (x) °,贝u().(A)函数F(x)必在x。处取得极大值；(B)函数F(x)必在x。处

2、取得极小值；(C)函数F(x)在x 0处没有极值，但点(0,F(。)为曲线y F(x)的 拐点；(D)函数F(x)在x。处没有极值，点(0，F(0)也不是曲线y F(x)的拐点4 设f (x)是连续函数，且 .f (x) X 2 0 f(t)dt ,则 f (x)(A) 22 一(B)2(C) X 1(D) x 2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)5.则0(13x)sin x6 已知cosx是f(x)的一个原函数cosx ,贝U f (x) d xx7.lim (cos2 一 ncosIII2 n 1 cos n8.2 一x arcsin1 dx三、解答题(本大题有5小题,每

3、小题8分，共40分)9.设函数y y(x)由方程ex ysin(xy) 1确定，求y (x)以及y (0)求10.1x(17 x -dx. x7)设 f (x)11.求 3 f(x)dx.x01g(x) f(xt)dt lim f(x) a12.设函数f(x)连续，0，且x 0 x , A为常数.求g(x)并讨论g(x)在x 0处的连续性.，/、1y (1)13.求微分方程xy 2 y x ln x满足 9的解.四、解答题(本大题10分)14 .已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点，。，且曲线上任 一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线 x x0所围成面

4、积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15 .过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y 1nx及x 轴围成平面图形D. 求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转 体的体积V六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16 .设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1,f (x) d x q f (x)dx0017.设函数f（x）f（x） d x 0在0， 上连续，且0,f ( x) cos x dx00.证明：在0，内至少存在两个不同的点10.解：u x7 7x6dx duxF(x) f(x)dx1，2,使 f()

5、 f( 2) 0,(提示：设0一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1 /COSx、26() c5. e . 6.2 x .7.2. 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导e 0，y 0, y1 y(1 y ) cos(xy)(xy y)y (x)ex y ycos(xy) ex y x cos(xy)原式3duu(1u)1/127 (U n)du11.解:12.解:g(x)g (x)g(0)7(ln |u| 71n |x712ln |u71n|11|)13 f(

6、x)dx0 xe xdx3012r2dx03xd(xxe4 2e3f(0)x)10031 (x 1)2dxcos2 d (令x21 sin )0。1f (xt )dt0xf (u)duxt u0xxf (x) f (u)du02xlimxf(u)du02xlxm0(x0)(x0)xf (x)xm g (x)f(x)2xdy13.解：dxIn x2dx x1xln 3xf (u)du0-2 x-dxe x ln xdxC)Aa, g(x)在x o处连续。x9x Cx2“、1 Cc1 Iny(1)-,C0y -xln x9,3四、解答题（本大题10分）x14.解：由已知且y 2。ydxy,将此方程

7、关于x求导得y2y y特征方程:2 0解出特征根：11，22其通解为yCieC2e2x代入初始条件y(0)C1-, C2得 13，2x 1 2x - e 32y e故所求曲线方程为：3五、解答题（本大题10分）15.解:（1）根据题意，先设切点为（Ex。）切线方程:，1，、y In x0(x x°)x0y由于切线过原点，解出x。e,从而切线方程为：丫A Q ey）dy 1e 1则平面图形面积 。2工/士/LkFLf人工 上Vi 1 e2(2)三角形绕直线X = e一周所得圆锥体体积记为Vi,则 3曲线y ln X与X轴及直线X = e所围成的图形绕直线X = e 一周所得旋转体体积为

8、V21V2 (e ey)2dy0D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积2V V1 V2 (5e2 12e 3)6六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)qif(x)dx q f(x)dx16.证明：00qf ( x) d x0qq( f(X) d X01f (x)dx)qq1(1 q) f (x) d x q f (x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( 1) f ( 2)q(1 q)f( 1)q(1 q) f ( 2)0故有：q1f(x)d x q f(x)dx00证毕17.XF(x) f (t)dt ,0 x证：构造辅助函数：。其满足在0，上连续,在。)上可导。F (X)

9、 f(x),且 F(0) F( ) 00由题设，有F (x)dxf (x)cosxdx cosxdF (x) F (x)cosx |osin x000F (x)sin xdx 0有0，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin 0即F ( )0综上可知F(0)F()F()0,(0,).在区间0,",上分别应用罗尔定理，知存在1 (0，)和 2 (，),使 F ( 1)0及 F ( 2)0,即 f( 1) f( 2)0.高等数学I解答一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案， 填在题末的括号中)(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1.当xx0时，x， x都是无穷小

10、，则当x x0时( D )不一定是无穷小.x(B)2 x 2 x2(x)(x) (x)(D)(x)1x a的值是(C).cot atan a(B) e(C)e(D)e(A)(C)ln 1lim2.极限x asin xsin af(x)3.sin x e 1 x 0xax 0 在x。处连续，则a =(A) 1(B) 0(C)e(D)1f (a h)4 .设f(x)在点x a处可导，那么阿f (a 2h)h( A(A) 3f (B) 2 f (C) f (D)二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)ln(x a) ln a lim 5 .极限x 0 x6 .由 exyy ln x cos

11、2x2sin 2x yyexyx(a 0)的值是确定函数y(x),则导函数yxexy ln x7.直线l过点M(1,2,3)且与两平面x 2y z 0,2x 3y 5z 6都平行,x 1 y 2 z 3则直线l的方程为 111.三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）1(1 x)x e、 j ghm9.计算极限x 0 Xiiln(1 x) 1(1 x)X e ex1 ln(1 x) x. lim elim elim 2解：x0 xx 0 xx 0 x10.已知：iai3, ibi 26, ab 30,求ia bi解:a b 5一212cos 13a b 72xF(x) (x t)f(

12、t)dt x a,b11.设f(x)在a, b上连续，且 a,试求出 F (x)。xxF(x) x f (t)dt tf (t)dt 解：aaxxF (x) f (t)dt xf(x) xf(x) f (t)dt aaF (x) f(x)cosx ,x 3-dx.12.求 sin x解:cosxx3-dxsin x1 2一 xd sin x21. 21-xsin x 一2221sin xdx - xsin2x 1cotx2四、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共C32分)13.求dxx2 1原式1T3一2一十)dt2 2.1dt_ t2arcsint321_262x14.求函数y 1 x2的

13、极值与拐点.解：函数的定义域(2(1 x)(1 x)(14x(3x2)(1 x2)3x 2 = -1y (i) 0x 1 = 1是极大值点，y ( 1) 0x 2=-1是极小值点极大值y(1)1，极小值y( 1)1令 y 0得 x 3 = 0, x 4 = 6, x 5故拐点(-.3(0, 0) (J3, T)15.求由曲线y3x2x所围成的平面图形的面积.3 解:土4x(x0S (6、3x x2,6)(x 2)0,12x4x20,3x433x2 7x )dxx16 2145 233473x-2(3x0 '/ 3 2(2x6,x20,3)dx44x32.16.设抛物线y 42x上有两点

14、A( 1,3)B(3, 5),在弧A B上，求点 P(x,y)使 abp的面积最大.x(-，-向(-50)(0,向(四+ )y一+一+解:AB 连线方程：y 2x 1 0 AB 4V5点P到AB的距离2x y 51x2 2x 351 x 3)x2 2x 3 2( x22x 3)ABP的面积1.S(x) 4 - 52S (x)4 0当x 1时5( x)取得极大值也是最大值此时y 3所求点为(1, 3)另解：由于 ABC的底AB一定，故只要高最大而过C点的抛物线 的切线与AB平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x0, 4 Xo) ，使f (x°)2x°5 3-； 22,解得

15、x0 1,所求 C点为(1,3)3 1六、证明题(本大题4分)一. 2x . .17.设 x 0,试证 e (1 x) 1 x.证明：设 f(x) e2x(1 x) (1 x),x 0f (x) e2x (1 2x) 1 f (x)4xe2xx 0, f (x) 0,因此f在(0, + )内递减。在(0, + )内，f (x) f 0, f(x (0, + )内递减，在(0, + )内，f(x) f(0)，即 e2x(1 x) (1 x) 0、.2x ,亦即当x>0时，e (1 x) 1 x 。高等数学I A一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本

16、大题有4小题，每小题4分，共16分)18.函数f(x)(A) (-(C)(-(1,+ln(x 1)x 1 , xtan x, 02sin x,的全体连续点的集合是(B) (-,1)(1,+),0)(0,(D) (-,0)(0,1)、几 lim (一19.设x xax b)则常数a, b的值所组成的数组（a, b）(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1, 1)(D)(1,-1 )20. 设在0 ,1上f（x）二阶可导且f (x)21.(A)(C)(0)f (1)f(1)f(0)f (0)f(1)24sin x cos x1 x22dx, Nf(0)2(sin3(B)f (0) f f(0)f

17、 (1)(D)4cos x)dxf(1) f(0) f22 . 3P (x sin x f (0)cos4 x)dx(A) M < N < P(B)P < N < M(C) P < M < N(D) N < M < P二填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1.设2.设f(x)dxsin x c,f(n) (x)dxd (x1 .2 sin x x arctan x 1)3 .直线方程2 m n 6 P，与xoy平面，yoz平面都平行,那么m，n，P的值各为（.2n i nlim2e4 . x i 1 n三解答题（本大题有3小题,每小题8

18、分，共24分）lim1.计算f(x)2.设21x cos-, xx0试讨论f（x）的可导性，并在可导处求出f (x)3.设函数y "刈在（，）连续，在x 0时二阶可导，且其导函数f (x)的图形如图所示，给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y f(x)的拐点四 解答题(本大题有4小题，每小题9分，共36分)x 2 2 dx1 .求不定积分x 1 xe1n x dx12 .计算定积分ex y z 11.x1 y 2 z 31 : 1 o : 3.已知直线 123254 ,求过直线1 1且平行于直线12的平面方程。24.过原点的抛物线y ax及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周

19、81的体积为5 ,确定抛物线方程中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。五、综合题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)21 .设F(x 1) f(x),其中f(x)在区间1,2上二阶可导且有f(2)0,试证明存在(12)使得F ( ) 0Oxf (x) (t t2)sin2ntdt (x 0)2 .0(1)求f(x)的最大值点；1f(x)(2)证明：(2n 2)(2n 3)一、单项选择题 B D B C .二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)4 arctan . x 1 )dx5.6.f (x)dx cos(x 、)dx sin(x n2-) c7. m 2, p 6,

20、n 08.三、解答题(本大题有3小题，每小题8分，共24分)9. （8分）计算极限mo i X2in s2 1Xlxm0lxm022x sin x22x sin xx sin x x sin x2limx 03x1 cosx3x2f(x)10. (8分)设x cos, xf（x）的可导性，并在可导处求出f （x）.解:业 x 0, f (x)2xcos- x.1 sin 一x；当x0, f (x) 121x cos f '(0) lim xx 0 xf '(0)lim32xcos1 x1sin - xx（x）在x=0处不可导。11. （8分）设函数y设）在（）连续，在x0时二阶

21、可导，且其导函数f （x）的图形如图.给出f（x）的极大值点、极小值点以及曲线y f（x）的拐点.22解：极大值点：x ax d 极小值点：x b拐点（0, f（0）c,f（c） 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）_ 2(x 2) dx12.(9分)求不定积分x(x 1)解：原式=(4 - x (x-)dx131n41n x1ndx13.（9分）计算定积分dxe1n xdx111 In x 解：原式=exln x xx In x x e,xyzl , x 1 y 2 z 3一 一 . 一 l : l o : . 一14. (9分)已知直线 123,254 ,求过直线l 1且平行于直

22、线l 2的平面方程.解：n 3 s2(1,2,3) (2,5,4) ( 7,2,1)取直线l 1上一点M(0,0,1)于是所求平面方程为7x 2y (z 1) 0215. (9分)过原点的抛物线y ax (a 0)及y=0, x=1所围成的平81面图形绕x轴一周的体积为4.求a,并求该抛物线绕y轴一 周所成的旋转体体积.15 12V(ax2)2dxa2 _a_解：05 05a281， ，一 ， -2由已知得 55故a = 9抛物线为：y 9x绕y轴一周所成的旋转体体积:12.2 x 9x dx04 x 18 4五综合题(每小题4分，共8分)一216. (4分)设F(x) (x 1) f(x),

23、其中f(x)在区间1,2上二阶可导且有f(2) 0,证明：存在 (12)使得F ( ) 0。证明：由f(x)在1 , 2上二阶可导，故 F (x)在1 , 2二阶可2)使 F (%) 0导，因 f (2)=0,故 F (1)= F (2) = 0在1 , 2上用罗尔定理，至少有一点x0，（1x0一一2 一F (x) 2(x 1)f(x) (x 1) f (x) 得 F (1) 0在1 , x°上对F（x）用罗尔定理，至少有点（1。2） F （ ） 017. （4 分）.解：（1） x 1为f（x）的最大值点。f (x) (x x2)sin2nx，当 0 x 1 , f (x) (x

24、x2)sin2n x 0 ；当 x 1一2 2nf (x) (x x )sin x 0。f为极大值，也为最大值。-x 2 2n-(2) f(x) 0(t t )sin tdt f(1)f(1)1o(t t )sin ntdt10(t t 广出(2n 2)(2n 3)高等数学上B （07）解答一、填空题：（共24分，每小题4分）dy. . z 22、r21 . y sinsin( x ), 则 dx 2xcossin(x )cos xa .一 一 -2dx2 .已知 1 x , a=13.ln x dx 2 2e。4.xe过原点的切线万程为y ex。5.已知f(x) ex,则f '(ln

25、 x)dx=x c。6.时,点（1,3）是曲线yaxbx2的拐点。计算下列各题:（共36分，每小题6分）求y（sinx）cosx的导数。解:cosxlnsin x、y (e )cos xlnsin x e(sin x ln sin x cot xcosx)2.求 sin ln xdx。解:sin ln xdx xsin ln xcosln xdxxsin In x x cosln xsin In xdx1 (xsin ln x xcosln x) C 2x 53.o-x=tdx2d(dx二 dx 151n|xf (x)4.设xe ,k x1,0在点x0处可导,k为何值 f (0) 解：k.x

26、lim x 0 xPmf (0)lim5.求极限1im( n_1_7n2=1222'llnT)o解:./1lim(=n2nlimn121 nr_1_"n2=22III1% n2n2)1k 1k2,1 dx、,1 x2nln(x . 1x2)|0 1n(16.求过点（2,2,0）且与两直线2y z 1 y z 12xy z 0y z 0平行的平面方程。解：两直线的方向向量分别为 s (1,2, 1) (1, 1,1) (1, 2, 3), S2 (2, 1,1) (1, 1,1) (0，1，1),平面的法向 量 n (1, 2, 3) (0, 1, 1) ( 1,1, 1)。平

27、面方程为2.求 F（x）0t（t 1）出在 y z 0。三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）x Rcost d2y1设y Rsint ,求菽dy 解：dxcot td2y dx21Rsin311,21上的最大值和最小值。解:F (x) x(x 1) 0,x 0, x 11F(0) 0,F(1)0t(t 1)dt1二161-22F( 1)0 t(t 1)dt -,F(2)0t(t 1)dt -6325最大值为3 ,最小值为6。2 .- 2解：方程x(1 y ) ln(x 2y) 0两边同时对x求导(1 y2) 2xyy 2y 0 x 2y1将x 0,y 5代入上式5y'8.2 、2

28、 . 一、. 一 一 4.求由y x与y x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。、，1 ,4、，解：V 0 (y y)dy310四、证明题：(共12分，每小题6分)1.证明过双曲线xy 1任何一点之切线与OX,OY三个坐标轴所围 成的三角形的面积为常数。证明：双曲线xy 1上任何一点(x,y)的切线方程为1Y y 2(X x) x(0. y -) (2 x 0)切线与x轴、y轴的交点为x故切线与OX,OY三个坐标轴所围成的三角形的面积为/1、 cs x(y )2 x2.设函数f(x)与g(x)在闭区间a上连续，证明：至少存在一点使得bf( ) g(x)dx g( ) f(x)dx abx证

29、明：令 F(x) xg(x)dx a f(x)dxF(a) F(b) 0,由 Rolle 定理，存在一点a,b,使F()。，即bf( ) g(x)dx g( ) f(x)dx a高等数学上解答(07)一、单项选择题(每小题4分，共16分)1 . f(x) xc0sxe 蚀( x)是 j o(A)奇函数；(B)周期函数；(C)有界函数； (D)单调函数22 .当x 0时，f(x) (1 cosx)ln(1 2x)与工是同阶无穷小量。(A) x3；(B) x4；(C) x5；(D) x2x 2y z 03.直线x y 2z 0与平面x y z 1的位置关系是 C 。(A)直线在平面内；(B)平行；

30、(C)垂直；(D)相交但不垂直。4.设有三非零向量Jrc 4aQ LRb a若 o Jrc, 4b, aA 4C JrbHu 贝 40(A) 0;(B) -1 ;(C) 1;(D)3二、填空题(每小题4分，共16分)1.曲线y lnx上一点P的切线经过原点(0,0),点P的坐标为(e,1)2.tan x2 / x x (ex1)3 .方程ey 6xy x2 1 0确定隐函数y y(x), 则y(0) o 二24 .曲线y x、x 1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为5 三、解下列各题(每小题6分，共30分)2 t sm x t 乙 f (x) lim ()1 .已知 t t ，求

31、f (x)。f (x) lim (解： t,. 2t sin x)tsin2 x ef (x) e sin xsin 2x2.,人 ln(ln求不JE积分x)1dx In x o解:ln(ln x)1dx In x1 .ln(ln x) dx dx In xxln(ln x)xln(ln x)dxIn xC1In-dx x3.计算定积分1 2 sin x1x 3、.12 .x )dxo1 2,sinx 二 g x (4. 1角牛：11 x2、，x )dx(x21 x2 )dx1 2 sin x , x 4 dx11 x1x sint(x2 , 1 x2 )dx2 02 s访2 tcos2

32、69;1 sin x4.求不定积分cosxdxo1 sin x解：1dxcosx11 cosxdxsin x ,dx1 cosx2 xsec dx2d cosx1 cosxx tan 一2In |1cos x | C5.已知 f (lnx) x,且 f(1) e 1,求 f(x)解：令Inx t , fef(x) ex Cf (1) e 1, f (x) ex 1四、(8分)设f(x)对任意x有f(x 1)2f (x),且 f 解:f(x1) 2f(x), f(1)2 f (0)f (1)1im33x 2f (0) x 1xt 1f(t 1)f(1)lim t 0 t2f (t) 2f (0)

33、五、(8分)证明：当x 1时,(x2 1)ln x(x 1)2O证明：只需证明(x 1)1nxx 1。令 f(x)(x1)lnf (x)In xf(x)在1,)单调递增。f(1) 01时,f(x) 0。一 2即(x 1)ln x (x1)2。六、（8分）X/ 2,2已知F(x) 0(x t )f出，f (x)连续，且当x 0时，F(x)与为等价无穷小量。求f （0）。. lim解：x 0F (x) 121x七、F(x)F (x)lxm0x 2 2 ， 2 x，0(x2 t2)f (t)dt x2 0 f (t)dtX .2 .2 .2x ° f (t)dt x f (x) x f (

34、x)xF (x)f (0)2 x12lxm02x 0 f (t)dt2 f (0)(8分)设有曲线y4x2(0x 1）和直线y cx 2 0t2f (t)dtx2x 0 f (t)dt(0c 4）。记它们与y轴所围图形的面积为A1,它们与直线xi所围图形的面积为A2。问c为何值时，可使A A A2最小并求出A的最小值。解:A A A20c 手 dy4c(1号)dy2A (c), c 1aA(c)vc 1 0,得c1A (1) - 02c 1为最小值点。min A 1n 0 2dy4(1 )dy 112八、设f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值，且|f(x)| K (a x b)。证明：|

35、 f (a)| | f (b)| K(b a)证明：f (x0) 0在。对f (x)应用拉格朗日定理f (x0) f (a) f ( 1)(x0 a) (a1 x0)f (a) f ( 1)(a x°), |f (a)| K(x° a)在x0,b对f (x)应用拉格朗日定理f (b) f (x。)f ( 2)(b x。)(x。2 b)f (b) f ( 2)(b %), |f (b)| K(b x°)一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、设 Iex 1 dx,则 Iex 1(A) l

36、n(ex 1) c (B) ln(ex 1) c;(C) 21n(ex 1) x g(D) x 21n(ex 1) c答()2、12 n 1lim , en en e n e n(A)1 (B) . e (C)e (D)e2答()3、的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)1 x1n 1nrvx(n 1)(1 x)1 n 1(C) -nx(1 x)f(x)(A)(1)(B)( )(n 1)(1 x)(1)n(D)(1n 2X)()(式中01)n 1 nrx4、设f(x)在x 0勺某邻域内连续，且f(0) 0,limf(x) 2 ,则点x 0 x 0 1 cosx(A)是f(x)的极大值点

37、(B)是f(x)的极小值点(C)不是f(x)的驻点(D)是f(x)的驻点但不是极值点答()5、曲线y x2 2x 4上点M 0(0,4)处的切线M 0T与曲线y2 2(x 1)所围成的平面 图形的面积A(A)21449万(C)7(D)1312答()二、填空题(将正确答案填在横线上)（本大题分5小题，每小题3分，共15分）1设 y ln Ji tan（x ）,则 y 1、 x2、用切线法求方程x3 2x2 5x 1 0在（1,0）内的近似根时，选x。并相应求得下 一个近似值xi 则x。，x1分别为x 1 y 1 z 13、设空间两直线 丁 一与x 1 y 1 z相交于一点，则O2axsin x

38、e 1 当 nf（x）x '。，在x 。处连续，则a4、 a，当 x。, bxdx,其中b是实数.5、。三、解答下列各题（本大题4分）设平面 与两个向量a 3i j和b i j 4k平行，证明：向量c 2i 6j k与平面垂直。四、解答下列各题（本大题8分）讨论积分1半的敛散性.0 p五、解答下列各题（本大题11分）导出计算积分Ind的递推公式，其中n为自然数。xx2 1六、解答下列各题（本大题4分）求过P0（4,2, 3）与平面：x y z 10 0平行且与直线x 2y z 5 0I1 ：z 10 0垂直的直线方程。七、解答下列各题（本大题6分）计算极限 Hm P十三、解答下列各题（

39、本大题6分） xsinx cos2x x 0 xtanx八、解答下列各题（本大题7分） ee_试求In （lnx）ndx勺递推公式（n为自然数），并计算积分1 （ln x） dx.九、解答下列各题（本大题8分）设f （x）在（a,b）内可微，但无界，试证明f （x）在（a,b）内无界。十、解答下列各题 （本大题5分）设 lim (x)Uo,lim f(u) f(uo),证明：lim f (x) f(uo)x X0u U0x X0H一、解答下列各题（本大题4分）在半径为R的球内，求体积最大的内接圆柱体的高十二、解答下列各题（本大题5分）重量为P的重物用绳索挂在A，B两个钉子上，如图。设124co

40、s 一，cos135 ,求A,B所受的拉力fi, f2oOAB、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分5小题，每小题2分，共10分）1、C2、答：B3、C10 分4、（B）5、C二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分5小题，每小题3分，共15分）1、1、2,1(1 f) sec (x -) xx110分2、x0x15分10分3、2(1 tan(x -) xb，b 020 , b 05、10分b-, b 02三、解答下列各题（本大题4分）,p15分nab平面法向量k0 4,12,24n 2cn与c平行10从而平面与c垂直。四、解答下列各题（本大题

41、8分）p 1时,1 dx1 dx lim p 0 xlim (101 p1)当p 1时,1 dx1dxlim In xoi粤当p 1时收敛，当p 1时发散.0 xp7分10分五、解答下列各题（本大题11分）x21(n1)1x2-dx1.x2 1(n1)(ndx,x2 1(n1)dx1)In(n 1)In(n 1)x3分7分I1V1 x1In -cxx- x2 1(n 1)xn 1(法二)令x tan t2 n-In 2(n 2) Ion 1,2,dx sec tdt10分八、InInIn2 .sec tdttann tsectd sect tann 1t secttann 11secttann

42、 11x2n xI1(n(nI n 1x2(n 1)xn 1In1 x2x0 ln解答下列各题大题4分）的法向量为nsec£前71)1)3 .sec tnnT- tan3 xsec tdt t, n 2tan t1)(In 2 In)x2 1(n 1)xn 1In 2(nsect .dt (n 1)-出tan t2)1,11c.2, 1,010分S111的方向向量为3分所求直线方向向量为S n Si 12, 3从而所求直线方程为10分七、解答下列各题原式 limx 0xsinx cos1 2 2xxtanx(1xsinx cos2x)e nIn 14分- 2 _sin 2x)x ta

43、n x10分1, xsinxlim(2 x 0 x tanxxlnn xe1 n1(In x)n 1dxe于是 1nene n(n 1)e( 1) n! dxe ne n(n1)e( 1)n 1 n(n1) 2e( 1)n n!(e1)7 分e3所以(In x) dx e 3e 6e 6(e 1)6 2e10 分九、解答下列各题(本大题8分)证明：反证设f (x)在(a,b)内有界，即M 0则x (a,b)有f (x) M2分取x0 (a,b)则对 x (a,b),x x0在以x0与x为端点的区间上f(x)满足拉格朗日中值定理 的条件，则至少存在 介于x。与x之间，使f (x) f(x0) f ( )(x x°)5 分即|f(x)| |f(x0) |f ( )(b a)f(x0)M(b a)记为 K8 分即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾，故假设不正确，即f (x)在(a,b)内无界.10分十、解答下列各题(本大题5分)由 lim f (u) f (u0)u U0任给 0,存在 0使当u Uo时，包有f（u） f（Uo）又lim (x) u0,取1,存在 0x x0使当0 x x0时，(x) u0时，就有成立f（U0）10分故当0 x x0f (x)f(U0)因此 lim f (x)x xgH一、解答下列各题（