第六章布莱克舒尔斯期权定价模型

1、第六章布莱克舒尔斯期权定价模型一、阻碍期权价值的要紧因素由前面的分析明白决定期权价值（价格）匕.的因素是到期的 股票市场价格S,“和股票的执行价格X。然而到期是未知的，它 的变化还要受价格趋势和时刻价值等因素的阻碍。1）标的股票价格与股票执行价格的阻碍。标的股票市场价格 越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执 行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。2）标的股票价格变化范畴的阻碍。在标的股票价格变动范 畴增大的，尽管正反两方面的阻碍都会增大，但由于期权持有者 只享受正向阻碍增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变股票的价格由密度函数/）变为/（s2）, S>

2、;X的可能性增大， 买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。3）到期时刻距离的阻碍。距离愈长，股价变动的可能性愈 大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期 权到期的时刻越长，期权的价值就越高。4）利率的阻碍。利率越高，则到期鼠的现值就越低，使得 买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。5）现金股利的阻碍。股票期权受到股票分割或发放股票股 利的爱护，期权数量也适应调整，而不受阻碍，然而期权不受现 金股利的爱护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降 时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S模型是反映欧式不分红的买入期权定价模

3、型，它的假定 条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、能够无限制自 由借贷等）以外，还有：1. 股票价格是连续的随机变量，因此股票能够无限分割。2. T时期内各时段的预期收益率匕和收益方差。"呆持 不变。3. 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即 在a-右时段内有：因为股票的价格能够用随机过程6（=1,2,.表示，其中S（t） 表示第t日股票的价格，它是一个随机变量.则第t日股票的收 益率（年收益率）为R而f = l +而股票的年收益率（单利）R应该是:"心咨2二犯也山 旦旦 与 5(0)S(0)S(l) 5(364)365365365为了简化运算两边同时取自

4、然对数可得:365R/(1 + R) = Z"(1 +状)/=i38设r,匕，士，=365为和R，R，艮，R365相对应的连续复利。则依照单复利之间的关系In(l+R)二r有： 365R1 365-=0(1 + 7?)=e。(1 +会)二7Z乙 1=13838 ,=同理，对任何时刻间隔T都有：,=阳出)£/(工)立5(0)T i=o S(f-1) 一丁£ '由中心极限定理知加(瑞)服从正态分布。即有:"(器)N(7,/t)式中，/分别为n的数学期望和方差令y=/(W 则.而 s(r)=s(o)g 进行简单的变量替换，能够求出s(T)的数学期望为：

5、1 9E(S(T) = S(0)exp(/T + -aT)关于股票的二叉树定价来说，假如从e0时刻到廿T,时刻, 所分的时期数趋于无限大时，股票的价格也趋于对数正态分布。即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是：S(t)按照概率gS(r-l) - J按照概率1-gH , S(r) , flnw按照概率q因此 , S"l)= nd按照概率 1 -q即E(;="二12，丁服从两点分布且相互独立因此1n/4 =力”(*)服从二项分布.当丁一i 二项 3(U)r=3(7 1)分布趋近于正态分布。即在一定的条件下，股票的二叉树定价和 对数正

6、态分布定价是一致的。B-S定价模型是二叉树定价模型的 极限式。三、布莱克-舒尔斯期权定价模型的直观明白得作为无现金股利的欧式买权定价模式是：C = S0N(4)-Xe - "N(2)式中C是买权价格，S。是期初股票价格，N ( )是累计正态 分布函数，d唯,=7,d唯卜卜力& =/tJ=4 _ 3r为了更容易从经济意义上明白得B-S定价模型，我们能够从 现实直观的角度来作一些说明：已知 Cr = max(5r -X,0)式中为到期T时买权的价格，立为到期标的股票市场价格X为期权协定的执行价格。则有 E(Cr) = Emax( ST -X,0)设到期的概率为P,现在max(Sr

7、X,O) = SrX则有E(Ct) = PE(St|5r > X)-X+(1 -P)X0= PxE(StSt>X)-X考虑到期初的期权合理定价等于成Cr)的现值而有C = e-n E(CQ=Pxe11 xE(StSt >X)-X (1)式中C:期初期权合理价格，r：无风险连续复利率，t到期时刻 长度 那个地点关键的问题，要找出P和E(SrST > X)的表达式。等价q yv x1) 由于P(S7>X) = P收益率>(”>) = 1 一月 子Yu二 AW=1-21这是由于正态分布的对称性其中工服从对数正态分布一看服从对数正态分布(S。为常数)ln(X)

8、服从正态分布。收益率平均为小, , = +二或S。2而且丽/是以年为基础运算的，但期权通常不超一年。T为 分数,应用代替丽内即（一今7为新正态分布的期望值。b行为新分布的标准差。002)由于 EStSt >X = STf(ST)dST X其中76r）为对数正态分布密度函数其中U为In+的均值，是In+的方差令In =S中注意到：S 一- f ese 后。Inx(S")2(S-“厂| X q.(S-w)2A，/dS = -=L- fe -kds = s/A 算后寸N)只同时，e2,22 =s。/qzT2ln(-) + (r + )r式中 d =尸,d, =d -CTy/ta-y/

9、t将以上运算结果代入（1）式，得C = N1d、) x e-,7 x Snen 7V 0)-X NS= SoN(4) XN(2)这便是有名的Black-Scholes期权定价公式。举例：已知股票期初市价S。=50 ,协议执行价x=45,距到期日时刻廿3个月=0.25年无风险利率 r=10%, cr2=0. 16, cr=0A则有:=0.7520岭)+ (r + 令 ln(|) + (0.1 + 竽)x 0.25(y4t0.4x V0.25d2 = & -= 0.7520 - 0.4 x V025 = 0.5520查正态分布表:N(J1)=N(0. 7520)=0. 7740N(J2)=

10、N(0. 552)=0. 7095C = 5OxO.774O-45e,x0-25 x0.7095 = 7.56一样地，期权交易市场上买入的价格即由B-S公式定价，假 如实际市场价格比运算的价值低，说明期权的价格被低估，存在 套利机会，能够买入期权。四、B-S期权定价模型微分方程推导的差不多思路随机方程（某变量以某种不确定的方式随时刻变化）> 马尔可夫过程（随机过程变量的以后推测值只与该变量的当前值 有关，而与该变量的过去值无关时，该随机过程称为马尔可夫过 程）>差不多维纳过程（在，内变量Z的变化满足：业吓£,其中，满足标准正态分布N（0, 1）的一个随机值。且 两个不同的

11、4,AZ的值相互独立）>一样维纳过程（变量 X防足：dx = cult + bdz = adt + byfKts ）如图:伊腾过程(S遵循ITO过程,即有dS = (S,f)流+ b(S,f)c/Z变量G是S、t的函数，G=F(S, t),则G也是ITO过程，同时有:dG dG = (a +OS6G 1 d2Gvdt 2 OS2? dGb2)dt +bdZOS>股票价格的IT0过程(股价S的变动可用瞬时期望漂 移率为：”5,瞬时方差率为b2s2的ITO过程,B|J(JS = uSdt+aSdz »其中当股价的方差率恒为0时，贝IJ有dS = S，得5 = 5。,说明当方差率为0时，股价得单位时刻为的连续复利方式增长。五、关于对数正态分布我们差不多明白专门多独立同分布的随机变量之和趋于正 态分布。那么许多独立同分布随机变量的连乘积便服从于对数正 态分布，即n对数正态分布=lim n Xjn->oo i = 因为令y = lnx则y = lnx = lnf>,=NlnXj这是n个随机变数之和，依照中心极 f=l/=1限定理，y趋于正态分布，如图：设s° = ioo,每年增长10%则有对数正态分布的密度函数1Q0i110i12|1 200Xx = s°(i +