金融工程复习题及参考答案

1、远期习题1、交易商拥有1 亿日元远期空头，远期汇率为0.008 美元 / 日元。 如果合约到期时汇率分别为 0.0074 美元 / 日元和 0.0090 美元 / 日元，那么该交易商的盈亏如何？2、当前黄金价格为500 美元 / 盎司， 1 年远期价格为700 美元 / 盎司。市场借贷年利率（连续复利）为10%，假设黄金的储藏成本为0，请问有无套利机会？如果存在套利机会，设计套利策略。3、每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。4、假设连续复利的零息票利率如下：期限（年）年利率（ %）112.0213.0313.7414.2514.5请计算第2

2、、 3、 4、5 年的连续复利远期利率。5、假设连续复利的零息票利率分别为：期限（月）年利率（ %）38.068.298.4128.5158.6188.7请计算第2、 3、 4、5、 6 季度的连续复利远期利率。6、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20 元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票 3 个月期远期价格。7、某股票预计在 2 个月和5 个月后每股派发1 元股息，该股票日前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6，某投资者刚取得该股票6 个月期的远期合约空头，1请问：1）该远期价格等于多少 ?若交割价格等于远期价格， 则远期合约的初始值等于多少 ? 2） 3 个月后，

3、该股票价格涨到 35 元，无风险利率仍为 6，此时远期价格和该合约空头价值等于多少 ?8、假如英镑与美元的即期汇率是1 英镑 1.6650美元，远期汇率是 1 英镑 1.660美元，6 个月期美元与英镑的无风险连续复利年利率分别是6和 8，问是否存在套利机会？如存在，如何套利 ?9、假设某公司计划在3 个月后借入一笔为期 6 个月的 1000 万美元的浮动利率债务。根据该公司的信用状况，该公司能以6 个月期的 LIBOR 利率水平借入资金，目前6 个月期的LIBOR利率水平为6%，但该公司担心3 个月后 LIBOR会上升， 因此公司买入一份名义本金为1000 万美元的3X9 的远期利率协议。假

4、设现在银行挂出的3X9 以 LIBOR 为参照利率的远期利率协议报价为6.25%。设 3 个月后 6 月期的 LIBOR 上升为 7%和下降为 5%，则该公司远期利率协议盈亏分别为多少？该公司实际的借款成本为多少？参考答案1 、如果到期时即期汇率为0.0074美元 / 日元，则交易商盈利（ 0.008-0.0074） x1亿=6 万美元；如果到期时即期汇率为0.0090 美元 / 日元，则交易商亏损 （ 0.0090-0.008）x1 亿 =10 万美元。2、理论远期价格F500* e0.1*1500*1.105 552.5 美元 /盎司，由于市场的远期价格大于理论远期价格，存在套利机会。套利

5、策略为期借款500 美元，买入一盎司黄金现货，同时卖出一盎司远期黄金。一年后进行交割黄金远期，得到700 美元，偿还借款本息552.5美元，获利 147.5 美元。3、由 (10.14 )41rA ，可得 rA14.75%4由 (1 0.14)4erc，可得 r13.76% 。4c4、由 ers (Ts t )erF ( TL TS )erL (TL t )rL (TLt)rS (TSt)得 rFTLTs因此，第二年的远期利率rF213.0%*212.0%*114.0%21rF313.7%*313.0%*2第三年的远期利率3215.1%rF414.2%*413.7%*3第四年的远期利率4315

6、.7%rF514.5%*514.2%*4第五年的远期利率5415.7%25、由 rFrL (TLt)rS (TSt)TLTs第二季度的远期利率为rF28.2%*0.58.0%*0.258.4%0.25第三、四、五、六季度远期利率略。6、 FSer ( T t )20e0.1*0.2520*1.02520.57、 1） F (0,6)( S I )er (T t )(30e 0.06*2/12e 0.06*5/12 )e0.06*6/1228.89交割价格等于远期价格时，远期合约价值为0。2）三个月时，远期价格F (3,6) ( SI )er (T t )(35e 0.06*2/12 )e0.0

7、6*3/1235.03三个月时空头方的价值为F (0,6) e(0.06*3/12)(35 I)28.89* e(0.06*3/12)(35e 0.06*2/12 )5.558、 F( r r f )(Tt )(0.06 0.08)*0.51.6567Se1.665* e存在套利机会。套利者借入1.665 美元，换成1 英镑，投资于英镑市场六个月，同时以1 英镑=1.660的价格卖出远期英镑 e0.08*0.5 ，则六个月后，套利者获得1.660*e0.08*0.5 美元，归还1.665* e0.06*0.5 美元，套利者可以获利1.660*e0.08*0.51.665* e0.06*0.50

8、 美元。9、当利率上升到7%时，远期利率协议的盈利为：(7%6.25%)*1000*0.517%*0.536231.88当利率下降到5%时，远期利率协议的亏损为：(6.25%5%)*1000*0.515%*0.560975.61该公司的实际借款成本为6.25%。因为，假设 3 个月后利率上升到7%，该公司将获得36231.88 美元的结算金，他可按当时的即期利率7%将结算金贷出6个月。 9个月后，该公司收回 37500 美元的本息， 刚好抵消掉多支付的37500 美元的利息， 从而公司的实际借款利率固定在6.25%的水平上。3 个月后利率下降到5%时（分析略），该公司的实际借款成本也为 6.2

9、5%。期货习题1、设 2007 年 10 月 20 日小麦现货价格为1980 元/ 吨，郑州商品交易所2008 年 1 月小麦期货合约报价为 2010 元。面粉加工厂两个月后需要100 吨小麦，为了规避小麦价格上升的风险， 面粉加工厂可以怎样进行套期保值？（假设一单位小麦现货正好需要1 单位小麦期货进行套期保值，小麦期货合约规模为10 吨）。假设2007 年 12 月 20 日小麦现货价格变为2020 元， 2008 年 1 月小麦期货价格变为2040元/ 吨。则2007 年 10 月 20 日和 2007年 12月 20 日小麦基差分别为多少？套期保值后，面粉加工厂获得的小麦的有效买价为多少

10、？2、活牛即期价格的月度标准差为1.2每分 / 磅，活牛期货合约价格的月度标准差为1.43每分 / 磅，期货价格与现货价格的相关系数为0.7 ，现在是10 月 15 日，一牛肉生产商在11月 15 日需购买200000 磅的活牛。生产商想用12 月份期货合约进行套期保值，每份期货合约规模为40000 磅，牛肉生产商需要采取何种套期保值策略。3、假设 2007 年 10 月 20 日大连商品交易所大豆商品08 年 1 月， 3 月， 5 月的期货合约的期货价格分别为4400，4520，4530 ，投机者预测大豆08 年大豆期货价格应该大致在月和月的中间位置，则其应该怎样投机？假设11 月 20

11、日时，大豆商品08 年 1 月， 3 月， 5月的期货合约的期货价格分别变为4500， 4580 ， 4630，则投机者获利或亏损多少？参考答案1、 买入 10 份 08 年 1 月的小麦期货合约来避险。07 年 10 月 20 日的基差为1980-2010=-30 元 /吨07 年 12 月 20 日的基差为2020-2040=-20 元 /吨有效买价为： 2020- （ 2040-2010） =1990 元 /吨。2、 hS0.71.20.6F1.4需要买进的期货合约数h需保值现货的面值2000000.63份每份期货和约的面值400003、 10 月 20 日：投机者卖出2 份 08 年

12、3 月份的期货合约，买入一份08 年 1 月份的期货合约，买入一份08 年 5 月份的期货合约。11 月 20 日，由于投机者预测正确，其能够获利。获利为：（ 4520-4400） -（ 4580-4500）+（4630-4580 ）-（ 4530-4520 ）=80 。期权习题1、期权价格的主要影响因素有哪些？与期权价格呈何种关系？2、何谓欧式看跌看涨期权平价关系？3、6 个月后到期的欧式看涨期权的价格为2 美元，执行价格为 30 美元， 标的股票价格为 29 美元，预期2 个月和 5 个月后的股利均为0.5 美元，无风险利率为10%，利率期限结构是平坦的。 6 个月后到期的执行价格为30

13、美元的欧式看跌期权的价格为多少？4、证明 d1r fu 或 d erTu5、假设某种不支付红利的股票市价为42 元，无风险利率为 10%，该股票的年波动率为20%，求该股票协议价格为40 元，期限为 6 个月的欧式看涨期权和看跌期权价格分别为多少？6、某股票目前价格为40 元，假设该股票 1 个月后的价格要不 42 元，要不 38 元。无风险年利率（年度复利）为8%，请问一个月期的协议价格等于39 元的欧式看涨期权的价格等于多少？7、三种同一股票的看跌期权具有相同的到期日，其执行价格分别是55 美元、 60 美元、65 美元，市场价格分别为3 美元、 5 美元和 8 美元。 解释怎样构建蝶式价

14、差。 用图表表示这一策略的利润。股价在什么范围内该策略将导致损失呢？8、假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东，该公司的所有债务在1 年后到期。如果到时公司的价值V 高于债务 B ，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。1）请将你的股权E 表示为公司价值的期权；42）请将债权人的债权表示为公司价值的期权。9、标的股票价格为31 元，执行价格为30 元，无风险年利率为10%，3 个月期的欧式看涨期权价格为3 元，欧式看跌期权价格为2.25 元，如何套利？如果看跌期权价格为1 元呢？参考答案1、影响因素看涨期权看跌期权基础资产的市场价格+-期权的敲定价格-+基础资产价格的波动性+

15、期权合约的有效期限美式 +（欧式不确定）美式 +（欧式不确定）利率+-期权有效期基础资产的收益-+2、欧式看跌 -看涨平价关系（ put-call parity ）是指看跌期权的价格与看涨期权的价格，必须维持在无套利机会的均衡水平的价格关系。如果该价格关系被打破， 则在这两种价格之间存在着无风险套利机会。如果期权的有效期内标的资产不产生收益时，欧式看跌-看涨之间满足 c+ Ke -r(T-t) =p+S 的平价关系；如果期权有效期内标的资产产生收益的现值为D，欧式看跌 -看涨之间满足c+ D+Ke -r(T-t) =p+S 的平价关系。3、p cDKe rTS20.5* e 0.1*2/120

16、.5* e 0.1*5/1230* e 0.6*6/12292.5084、设 1r fu，则套利者套利策略为交易策略0 时刻T 时刻标的资产价格为uS标的资产价格变为 dS卖出标的资产，价格为SS-uS-dS将 S 以无风险的利率投资-SS( 1r f )S( 1 r f )现金流0>0>0通过上述交易策略，套利者在0 时刻不需要花费成本，而在T 时刻可以获得收益。1 r fd 时的套利策略（略） 。5、 d1ln(42 / 40)(0.1 0.22 / 2)*0.50.20.50.7693d2ln(42 / 40)(0.10.22 / 2)*0.50.62780.20.5且 Ke

17、 rT40* e 0.1*0.538.049查表得：5N (0.7693)0.7791, N (0.7693)0.2209N (0.6278)0.7349, N (0.6278)0.2651因此： c 42 N (0.7693)38.049 N (0.6278) 4.76p38.049 N ( 0.6278)42N ( 0.7639)0.816、 Cumax(4239,0)3 ， Cdmax(38 39,0) 0u42/ 401.05， d38/400.95p(1r fd ) / (ud) =（ 1+0.08/12-0.95） / （1.05-0.95 ）0.57由(pCu(1p Cd)/ (

18、1rf) =（ 0.57*3+0C） / （1+0.08/12 ） =1.70 。)7、买一个执行价格为55 的看跌，支付 3 元，买一个执行价格为65 的看跌， 支付 8 元，卖两个执行价格为60 的看跌，收到 10 元。其损益图如下：45664-1ST当股价小于56 或大于 64 时，该策略将亏损（不考虑期权费的时间价值）。8、 1）股权价值EMax ( VB,0)2）债券价值为 VE VMax (VB,0)9、1）当 p 2.25时， cXe r T t32.26, p S 33.25，所以正确套利方法为买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，将净现金收入30.25 元进行3 个月的无风险投资

19、，到期时将获得 31.02 元。如果到期时股票价格高于30 元，将执行看涨期权，如果低于30元，看跌期权将被执行，因此无论如何，投资者均将按照30 元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益1.02。2）当 p 1时， cXe r T t32.26, pS 32 ，所以正确套利方法为卖出看涨期权，买入看跌期权和股票，需要的现金以无风险利率借入，到期时需偿付的现金流将为29.73，如果到期时股票价格高于 30 元，看涨期权将被执行，如果低于30 元，投资者将执行看跌期权，因此无论如何，投资者均将按照30 元出售已经持有的股票，因此将获得净收益0.27。6互换习题1、甲公司和乙公司各自在市场上的10 年期 500 万美元的投资可以获得的收益率为：公司固定利率浮动利率甲公司8.0%LIBOR乙公司8.8%LIBOR甲公司希望以固定利率进行投资，而乙公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换， 其中银行作为中介获得报酬为0.2%的利差， 而且要求互换