第五章 多元函数的微分学

1、第五章 多元函数的微分学5.1 多元函数的基本概念5.2 多元函数的偏导数5.3 多元函数的全微分5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则5.5 多元函数的极限5.6 多元函数微分法在经济上的应用5.1 多元函数的基本概念1、平面点集( , ) ( , )Ex yx yP满足条件21( , ),XOYRx yxy 例：平面上所有点的集合212( , )Ex y yx dy例 ：22233( , )Ex y xyr例 ：xo-RRR-R2、邻域220000000( , ) ()(),0(,)(, )x yxxyyP xyU pp2点集称为点的 邻域。记为。称为邻域的中心， 为邻域的半径0P 0P

2、22200000 ( , )|0()()0(,)x yxxyyP xy点集，称为点的空心 邻域EEAAEAE内点：设有点集 和属于 的一点 ，如果存在点的一个邻域，此邻域内的点都属于 ，则称 为点集的内点EEBBEBE外点：设有点集 和不属于 的一点 ，如果存在点的一个邻域，此邻域内的点都不属于 ，则称 为点集的外点ECCEECEECEEE界点：设有点集 和一点 ， 可以属于 也可以不属于如果 点的任何一个邻域内既有属于 的点又有不属于的点，则称 为点集 的界点。点集 的界点的全体称为点集 的边界E 边界点边界点 外点外点内点内点 ABCEE开集：如果点集的每一点点都是内点，则称点集为开集12

3、,EP PEE开区域：若对于开集中的任意两点都有中的折线连接起来，则称为开区域E.1P2P注意：开集不一定是开区域3( , )0Ex y yx例如：1P2PE是开集，但不是开区域。（why?）闭区域：开区域连同它的边界的集合称为闭区域区域：开区域，闭区域或开区域连同它的部分边界的集合称为区域34225( , )0( , ) 01,02( , )14Ex y xyEx yxyEx yxy例如：是开区域是区域是闭区域有界区域与无界区域若区域E可以包含在与原点为中心的一个圆内，则称它是一个有界区域。否则，就称为无界区域34225( , )0( , ) 01,02( , )14Ex y xyEx yx

4、yEx yxy例如：是开区域是区域是闭区域345EEE是开界区域，是有界区域二、空间解析几何简介二、空间解析几何简介1. 空间直角坐标系空间直角坐标系O-XYZ(右手法则右手法则)Pooxyz坐标轴坐标轴:oxoyoz坐标原点坐标原点:坐标平面坐标平面:xoyyozzox卦限卦限:八个卦限八个卦限0Pzyx空间内的点空间内的点P)z ,y,x(),x(00), y,(00)z ,(00),(000),y,x(0)z , y,(0)z ,x(02( , , )P x y z、空间任一点的坐标问题：空间任一点的坐标如何确定呢？123PP、空间任意两点的距离111122221212222212122

5、22212121(),()()()()P x y zP xyzPPPPPPPAABBPxxyyzz设有空间两点, ,过点各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，三个平面围成一个长方体。是它的一条对角线。如图:22212212121()()()PPxxyyzzO2xxxz1xABC1P2P1y2y4、空间曲面与曲面方程(1)0, , ,0AxByCzDA B C DA B C平面方程的一般形式其中均为常数不全为1( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )xyzabcabcxyz平面方程的截且为此平面分别与 轴轴， 轴的交点特殊平面的方程0 xoyz 平面：；xoyzc平行于平面的平面0yozx 平

6、面：；0 xozy 平面：；yozxa平行于平面的平面xozyb平行于平面的平面2、球面方程0000(),P xyzR求球心为点,半径为 的球面方程oxyz(),P x y z解：设, , 为球面上任意一点 则0P PR222000()()()xxyyzzR即2222000()()()xxyyzzR球面方程为000222200,0 xyzxyzR当球心为原点，即,球面方程为222zRxy且为上半球面222zRxy 且为下半球面问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？（有兴趣的同学可阅读相关资料）3、柱面方程MCLLCMLLC如图：设有动直线 沿一给定的曲线 移动，移动时始终与给定的直线平行，这样

7、由直线 的轨迹所行成的曲面称为柱面。动直线 称为柱面的母线，定直线 称为柱面的准线。( , )0zF x y 母线平行于 轴的柱面方程为：222xyR圆柱面：22221yxba双曲柱面：220(0)xpyp抛物柱面：( , )0( , )0 xoyF x yoxyzF x y注意：在平面上表示一条曲线在空间坐标系中。表示一个母线平行于z轴的柱面( , )0( , )0F y zF x z同理：母线平行于x轴的柱面方程：母线平行于y轴的柱面方程：4、圆锥面方程2222xya z5、椭圆面方程2222221xyzabcoxyz6、椭圆抛物面方程2222xyzab6、双曲抛物面方程2222yxzba

8、-505-10010-4-2024-505-10010三、多元函数的极限与连续1、多元函数的定义1,( , )( , )x yx yzxyzf x y定义 ：当自变量任意取定一对有序数组时，第三个变量依某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，则称变量 为变量 与 的二元函数。记为,( )x yzfx yD f其中称为自变量， 也称因变量， 称为对应法则，的取值区域称为函数的定义域，记为三要素：定义域，对应法则，值域同理可定义三元函数及n元函数( , )( , )( , )zf x yf x yx y如果不考虑实际应用，二元函数的定义域是指使函数有意义的点组成的平面区域2、定义域的求法221ln(

9、)1xzyxxy例：求函数的定义域220010yxxxy解：由2201yxxxy22( )( , )10D fx y xyyxx定义域为：且且3、对应关系的求法321 22( , )23,( ,)f x yxxyyfx y例 ：设求32( , )23f x yxxyy解：32( , )23f u vuuvv12,uvxy令则321 21122( ,)( )2( ) ( )3( )fx yxxyy321412xxyy4、二元函数的几何意义( )yf xxoy一元函数表示上的一条曲线( , )( )zf x yoxyzD fxoy二元函数对应空间坐标系中的一张曲面，其定义域恰好是该曲面在平面上的投

10、影22zRxyR例如：表示以原点为球心， 为半径的上半球面22zxy例如表示旋转抛物面二元函数的极限00000000,02( , )(,)( , )( , )( , ),( , )( , )(zf x yP xyPP x yPPPf x yAAzf x yxxyyf x yAf x yAxx yy00 xxyy定义 ：设函数在点的某一邻域内有定义，(在点 是否有定义不予考虑)，是该邻域内异于 的任一点，如果 以任何方式趋近于时，函数的对应值都趋近于同一个确定的常数，则称 是函数当时的极限（又称二重极限），记作lim或)例例1.证明证明.yxxylim),()y ,x(02200 证证22222

11、1yx)yx( 2221yx , 0对对, 2 当当220yx时时,022 yxxy成立成立.恒有恒有 022 yxxy成立成立.要使要使 022 yxxy所以所以.yxxylim),()y ,x(02200 二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义3)y,x(f)y,x(flim)y ,x()y ,x(0000 若若则称函数则称函数),(yxf在点在点),(00yx处处连续连续若函数若函数),(yxfz 在区域内每一点都连续，在区域内每一点都连续，则称函数则称函数),(yxf在内在内连续，连续，或称或称),(yxf是内的连续函数是内的连续函数若函数若函数),(yxf在点在点),(00yx处不

12、连续，处不连续，则称点则称点),(00yx为为),(yxf的的间断点间断点例如，例如，,11sin22yxz间断点为：间断点为：1| ),(22 yxyx在有界闭区域上二元连续函数具有性质：在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质（最大值和最小值定理）性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值性质（介值定理）性质（介值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值小值之间的任何数值二元初等函数二元初等函数在其定义区域内连续在其

13、定义区域内连续结论结论二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数.232121xyyxlim).(),()y ,x( 211例例4xyxylim).(),()y ,x(42200 )xy(xyxylim),()y ,x(4200 42100 xylim),()y ,x(.41 7.2 多元函数的偏导数定义定义1设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx某邻域内有定义，某邻域内有定义，当固定当固定,0yy 而而x在在0 x处有增量处有增量x时，时，x)y,

14、x(f)y,xx(flimx 00000 存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数),(yxf在点在点),(00yx处对处对x的偏导数的偏导数.记作记作:,xzyyxx00 ,xfyyxx00 ,zyyxxx00 或或).y,x(fx00 即即)y,x(fx00 x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 )y,x(fx00 00000 xx)y,x(f)y,x(flimxx 若极限若极限xzlimxx 0),(yxf在点在点),(00yx处对处对的偏导数定义为的偏导数定义为:类似类似,函数函数y)y,x(fy00 y)y,x(f)yy,x(flimy 00000 也记作也记作,

15、00yyxxyz,yfyyxx00 ,zyyxxy00 ).y,x(fy00 )y,x(fy00 00000yy)y,x(f)y,x(flimyy )y,x(fy00 )y,x(f0是一元函数是一元函数在点在点0y处的导数处的导数,)y,x(fx00 ),(0yxf是一元函数是一元函数在点在点0 x处的导数处的导数,结论结论)y,x(fx x)y,x(f)y,xx(flimx 0)y,x(fy y)y,x(f)yy,x(flimy 0视视 y 为常量，为常量，对对 x 求导求导.视视 x 为常量，为常量，对对 y 求导求导.说明说明对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时对二元函数求关于某一个自

16、变量的偏导数时,只需视其它变量为常量只需视其它变量为常量,求导即可求导即可.根据一元函数的求导根据一元函数的求导公式和求导法则公式和求导法则,若函数若函数),(yxf在区域在区域D内每一点内每一点),(yx处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,偏导数就是偏导数就是yx,的函数的函数, 称为函数称为函数),(yxf对对x的偏导的偏导(函函)数数.记作记作,xz,xf,zx )y,x(fx 类似定义函数类似定义函数),(yxf对对的偏导数的偏导数.y记作记作:,yz,yf,zy )y,x(fy 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:0 xxyzSo0y)y,x(fx00 ),(0yx

17、f是一元函数是一元函数在点在点0 x处的导数处的导数,由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意义知)y,x(fx00 在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线 0yy)y,x(fz在点在点),(0000zyxM处的切线对处的切线对x轴的斜率轴的斜率.类似类似,)y,x(fy00 在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线 0 xx)y,x(fz在点在点),(0000zyxM处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.y二、偏导数的计算例例1.求求yxz2sin2的偏导数的偏导数.解解xz ,ysinx22 yz ycosx222 例例2.求求223yxyxz处的偏导数处的偏导数.在点在点)2

18、, 1 (解解xz ,yx32 yz . yx23 21 yxyz. 7 21 yxxz,8 例例3.求求)x,x(xzy10 的偏导数的偏导数.解解xz ,yxy 1 yz .xlnxy 例例4.求求222zyxr 的偏导数的偏导数.解解xr 22222zyxx ,rx yr ,ry zr ,rz 22222zyxy 例例5.求函数求函数 ),()y, x(,),()y, x(,yxxy)y, x(f0000022在原点处的偏导数在原点处的偏导数.解解),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxlimx00020 , 0),(fy00 00000 y),(f)y,(flim

19、yyyylimy00020 , 0二元函数在某一点处偏导数存在二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续但未必连续.不存在不存在2200yxxylim),()y ,x( 点不连续。点不连续。在在),()y,x(f00 )y,x(flim),()y ,x(00二、高阶偏导数二、高阶偏导数设函数设函数),(yxfz 在区域在区域D 内有偏导数内有偏导数),y, x(fxzx ).y,x(fyzy 若这两个函数的偏导数存在，若这两个函数的偏导数存在， 称其为函数称其为函数),(yxfz 的的二阶偏导数二阶偏导数 xzx22xz ),y,x(fxx xzyyxz 2),y,x(fxy yzy22yz )

20、,y,x(fyy yzxxyz 2),y,x(fyx 混合偏导数混合偏导数22xf xxz 类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数., yyyx 32233xz yz xzx22xz xzyyxz 2 yzy22yz 解解,xy26 ,xxyyx 2392例例1.设设求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数.,xyxyyxz13323 ,yyx19622 ,xyx1823 yzxxyz 2,yyx19622 再求再求33xz 22xzx,y26 33yz 22yzy,x18 yxz 23 22

21、xzy,xy12 22xz 例例2.验证函数验证函数22yxlnz 满足方程满足方程.yz022 证证),yxln(z2221 xz yz 22xz 22yz ,yxx22 ,yxy22 222222)yx(xx)yx( ,)yx(xy22222 222222)yx(yy)yx( .)yx(yx22222 22xz 22yz 22222)yx(xy 22222)yx(yx . 0 证证xu 21 32222)zyx(x ,rx3 22xu 31r 22243zyxxrx 31r 523rx由自变量的对称性知由自变量的对称性知22yu 31r 523rz31r 523ry22zu 22xu 22

22、yu 22zu 33r 52223r)zyx( . 0 例例3.证明函数证明函数ru1 满足方程满足方程22xu 22yu .zu022 )zyxr(222 (拉普拉斯方程拉普拉斯方程)001( , )( , )( , ),(,)( , )( , )xyyxxyyxzf x yfx yfx yxyDfx yfx y定理 ：设函数在区域D内连续，并且存在一阶偏导数及二阶混合偏导数和如果在某点这两个二阶混合偏导数连续，则必有7.3 多元函数的全微分一、一、 全微分的定义与计算全微分的定义与计算设函数设函数),(yxfz 在点在点),(yx某邻域内有定义，某邻域内有定义，分别给分别给yx,一增量一增

23、量, yx 函数相应的全增量函数相应的全增量)y,x(f)yy,xx(fz 若全增量可表示为若全增量可表示为:),(oyBxAz 其中其中BA,仅与仅与yx,有关，与有关，与yx ,无关，无关，,)y()x(22 则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.yBxA称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx处的全微分处的全微分.即即yBxAdz记作记作dz)y,x(df,定义定义1若函数若函数),(yxfz 在区域在区域D内各点处都可微内各点处都可微, 则称函数在则称函数在D内可微内可微.定理定理1若函数若函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微分处可微分.则该

24、函数则该函数在点在点),(yx的偏导数的偏导数yzxz,必定存在必定存在,且且yyzxxzdz 证证 由由),(oyBxAz特别特别, 0y|,x| )y,x(f)y,xx(f |),x(|oxA x)y,x(f)y,xx(flimx 0A xz同理可证同理可证Byz注意注意 若函数若函数 在点在点),(yxfz 存在存在),(yx处的偏导数处的偏导数函数在该点不一定可微函数在该点不一定可微.类似于一元函数类似于一元函数,记记,dxx ,dyy或或yfxfdzyx 定理定理2 (充分条件充分条件)若函数若函数)y,x(fz 在点在点 的某邻域内有连续的偏导数的某邻域内有连续的偏导数)y,x(y

25、z,xz ,则函数在该点可微则函数在该点可微.且且dyyzdxxzdz 函数函数)y,x(fz 在点在点)y,x(处关于处关于 x, y 的偏微分的偏微分.dxxzzdx dyyzzdy zdzddzyx 若函数若函数dzzudyyudxxudu )z , y,x(fu 在点在点 可微可微)z , y,x(则则udududduzyx 解解yyzxxzdz xyexy yxexy 2021022.e.e 250 e. 例例1.求函数求函数xyez 在点在点 (2,1) 处当处当2 . 0, 1 . 0yx时的全微分时的全微分.例例2.求下列函数的全微分求下列函数的全微分:)x,x(xu).( ,

26、eysinxu).( ,yyxz).(yzyz10322122 解解(1).dyyzdxxzdz xydx2 dy)yx(22 dzzudyyudxxudu).( 2dx dy)zeycos(yz 221dzyeyz dzzudyyudxxudu).( 3dxyzxyz 1 xdylnzxyz xdzlnyxyz 二、全微分的应用：近似计算二、全微分的应用：近似计算当当y,x 很小时，函数的全增量很小时，函数的全增量)y,x(f)yy,xx(fz yyzxxzdz 7.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则(1)设函数设函数),(),(yxvyx

27、u在点在点),(yx处处 有偏导数有偏导数,在点在点),(yx处有偏导数处有偏导数,且且xz yz定理定理1而函数而函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu处可微处可微则复合函数则复合函数),(),(yxyxfzvuzxy连锁法则连锁法则xvvzxuuzyvvzyuuzxz yzxuf xvf yuf yvf 若函数若函数)x(v),x(u 都在点都在点 x 处可导处可导,函数函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu处可微处可微,则复合函数则复合函数)x(),x(fz 在点在点 x 处可导处可导, 且且dxdvvzdxduuzdxdz 全导数全导数推论推论1.zvuxdxdz uf

28、 vf函数函数)y, x( fz )x(y 而而则复合函数则复合函数)x(,x(fz 在点在点 x 的导数的导数dxdyyzxzdxdz 全导数全导数推论推论2.zyxx以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.说明说明dxdzxf yf例例2.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuz tev )tsin(u tcos tcos)tsint(coset zvut例例1.,ty, tsinx,ezyx32 求求dtdz解解dtdzdtdyyzdtdxxz tcoseyx 2 2232t)(eyx

29、).tt(cosettsin2263 zyxt例例3.设设, yxv ,xyu, vsinezu 求求.yz,xz 解解xz vsineu yvcoseu 1 )yxcos()yxsin(yexy yvvzyuuz vsineu x vcoseu 1 )yxcos()yxsin(xexy xvvzxuuz yz 例例4.设设.yu,xu. ysinxz ,e)z , y,x(fuzyx 求求2222解解xu xzzfxf yzzfyfyu 2222zyxxe ysinxzezyx22222 )ysinx(xeysinxyx222122422 2222zyxye ycosxzezyx22222

30、)ysinxy(eysinxyx2242422 zxyu例例5.设设f),xyz, zyx(fw 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求.zxw,xw 2解解令, zyxu,xyzv 则则),(vufw xw 1f 2fyz ,uff 1,vff 2zxw 2 21fyzfz zf 12f y zfyz 2zf 1zvvfzuuf 1111f ,uff 111,vff 112zf 2zvvfzuuf 2221f ,uff 221,vff 222wxyzvu12fxy 22fxy 1f 2f xvvfxuuf )xyz, zyx(ff 11)xyz, zyx(ff 22zxw 211f 12

31、fxy 2f y 21f(yz )fxy22 1211f)zx(yf 222f zxy 2f y 二、隐函数求导法则000000000000002():( , , )(,),(,)0(,)0( , , )0(,)( , )(,),xyzxxzF x y zxyzFFFF xyzFxyzF x y zxyzf x yzf xyFzxF定理 隐函数存在定理设函数满足下列条件（1）在点的某一邻域内连续，且具有连续的偏导数（2），则方程唯一的确定一个定义在的某一邻域内的单值连续且具有连续偏导数的二元函数它满足条件，并有,yzFzyF例例1. 设设122 yx求求dxdy及及22dxyd解：法解：法11

32、22 yx)y,x(FdxdyyxFF yx22 22dxyd dxdydxd2yyxy 31y yxdxd2yyxxy 322yxy 法法2 两边关于两边关于x求导求导022 yyxyxy yx 例例2. 设设04222 zzyx求求22xz,yz,xz 解解 法法1zzyx)z , y,x(F4222 xFx2 ,yF,y 2 42 zFzxz zxFF zx 2.zy 222xz xzx222)z()xz(x)z( 32222)z(x)z( yz, zyFF zxx23224)z(y 法法2 两边关于两边关于x求导求导0422 xxzz zx 两边关于两边关于y求导求导0422 yyzz

33、 zy例例3. 设设0 xyzez, 求求yxz2解解),(zyxFxyzezxz zxFF xyeyzz xyeyzzyxz 2)xz(y )xyeyz(yz 2)xye()xyze(yz)xye)(yzyz(zzz 3222)xye()yxxyzee( zzzz yz zyFF xyexzz 7.5 多元函数的极限一一. 极值的概念极值的概念定义定义1对于该邻域内任一点对于该邻域内任一点)y,x(, 若恒有不等式若恒有不等式)y,x(f)y,x(f).00 1 则称该函数在点则称该函数在点 P 处有处有极大值极大值),(00yxf)y,x(f)y, x(f).00 2 则称该函数在点则称该

34、函数在点P 处有处有极小值极小值),(00yxf极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值.),(yxfz 在点在点),(00yxP某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理2(必要条件必要条件) 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx处偏导处偏导数数存在存在,并取得极值并取得极值, 则则000000 )y,x(f,)y,x(fyx证明证明:不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处取得极大值处取得极大值.则则,)y,x(f)y,x(f00 , 特别地特别地,取取0yy 有有)y,x(f)y,x(f0

35、00 在在 x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,000 )y,x(fx同理同理,000 )y,x(fy,使使0 )y,x(fx0 )y, x(fy 同时成立的点同时成立的点,)y, x(fz 的的驻点驻点.称为函数称为函数 考虑一元函数考虑一元函数)y,x(f0定理定理2 (充分条件充分条件)000000 )y,x(f,)y,x(fyx)y,x(fCyy00 令令)y,x(fAxx00 ,)y,x(fBxy00 (1).若若02 ACB, 有极值有极值,(2).若若, 02 ACB无极值无极值.(3).若若, 02 ACB情况不定情况不定.时

36、有极大值时有极大值时有极小值时有极小值00AA且且设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx某邻域内某邻域内及二阶连续偏导数及二阶连续偏导数,且且有一阶有一阶)y ,x( f00)y ,x( f00注意：注意：(1)中的中的A换为换为C结论不变。结论不变。例例1. 求函数求函数xyxyx)y,x(f9332233 的极值的极值.解解:yf xf 得驻点得驻点:),(),(),(),(23032101 66 yfyyxxf 0 xyf在点在点)0 , 1 (处处ACB 2072 , 有极小值有极小值501 ),(f在点在点),(03处处,ACB 2072 , 无极值无极值.ACB 207

37、2 , 无极值无极值.ACB 2072 , 有极大值有极大值31)2 , 3(f,9632 xxyy632 ,66x在点在点),( 21处处在点在点),(23处处,6012 C,B,A6012 C,B,A0 0 0 A0 A 最大值、最小值最大值、最小值对于该区域内任一点对于该区域内任一点)y,x(, 若恒有不等式若恒有不等式)y,x(f)y,x(f).00 1 则称则称 为函数在为函数在 D内的内的最大值最大值)y,x(f00最大值与最小值统称为最值最大值与最小值统称为最值.如如,函数函数2243yxz在点在点)0 , 0(处取得最小值处取得最小值0)(222yxz在点在点)0 , 0(处取

38、得最大值处取得最大值2.)y,x(fz 在平面区域在平面区域D内有定义内有定义,设函数设函数使函数取得最值的点称为最值点使函数取得最值的点称为最值点.D)y,x( p 00)y,x(f)y,x(f).00 2 则称则称 为函数在为函数在 D内的内的最小值最小值)y,x(f00 最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值点只可能是以下三种类型的点：最值点只可能是以下三种类型的点：（1）边界点）边界点求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值)y,x(fz 在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则一定有最值。上连续，则一定有最值。设函数设函数

39、（2）驻点）驻点（3）偏导数不存在的点）偏导数不存在的点根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点，根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点，没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值例例2. 在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价2/米元a，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价2/米元b，屋顶造价，屋顶造价2/米元c设房屋容积为设房屋容积为3米v，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.aabbcxy

40、z解解:设长、宽、高分别为设长、宽、高分别为zyx, 则则xyzv xyvz 造价造价wcxyxyv)yx)(ba( )y,x(,cxy)yx(v )ba(0011 cxy)(yxaz)(yxbz0)(2cxybavyw解得解得3)(cbavyxxyvz 322)(bavc答：当长、宽均为答：当长、宽均为3)(cbav，高为，高为322)(bavc时，时，造价最低。造价最低。0)(2cyxbavxw，)y,x(,cxy)yx(v )ba(w0011 二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求函数求函数)y,x(fz 在条件在条件0 )y,x(g下的极值。下的极值。拉格郎日乘数法：

41、拉格郎日乘数法：（1). 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:),( yxg)y,x(f),y,x(L (为常数为常数)(2). 联立联立 000)y,x(gLgfLgfLyyyxxx 解得解得, yx则点则点),(yx可能为极值点可能为极值点.(3). 再讨论再讨论. (根据实际问题的实际意义可以判断根据实际问题的实际意义可以判断.)求函数求函数)z ,y,x(fw 在条件在条件0 )z , y,x(g下的极值。下的极值。（1). 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:),( z ,yxg)z ,y,x(f), z ,y,x(L (为常数为常数)(2). 联立联立 0000)z , y,x(gLg

42、fLgfLgfLzzzyyyxxx 解得解得 , z , y,x再解例再解例2. 求函数求函数cxyzyxbazyxfw)(),(在条件在条件0 xyzv下的极值下的极值.令令,)xyzv(cxyz )yx)(ba(), z ,y,x(L 00 0 0 xyzvLxy)yx)(ba(Lxzcxz )ba(Lyzcyz )ba(Lzyx 联立联立,解得解得,3)(cbavyx,322)(bavcz例例2. 在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面造价2/米元a，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价2/米元b，屋顶造价，屋顶造价2/米元

43、c设房屋容积为设房屋容积为3米v，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.推广推广 求函数求函数)z ,y,x(fu 在满足条件在满足条件00 )z , y,x(h,)z , y,x(g下的极值下的极值.构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:)z ,y,x(h)z ,y,x(g)z ,y,x(f)z ,y,x(F21 0000021212121)z , y,x(hF)z , y,x(gFhgfFhgfFhgfFzzzzyyyyxxxx 联立联立解得解得),(zyx例例3 求平面求平面1154322yxzyx与柱面的交线上与的交线上与 xoy 面面距离距离最短的点最短的点.解解 设所求点为设所求点为),(