高等数学课件：8-5函数展开成幂级数

1、第五节函数展开成幂级数 第八八章 两类两类问题问题)(xS函数函数nnnxa 0幂级数幂级数求求 和和展展 开开第五节函数展开成幂级数 第八八章 一、函数的幂级数展开式一、函数的幂级数展开式 泰勒泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数的充分必要条件二、函数展开成幂级数的充分必要条件 三、函数展开成幂级数的方法三、函数展开成幂级数的方法 一、函数的幂级数展开式一、函数的幂级数展开式 泰勒泰勒 ( Taylor ) 展开式展开式 定义定义，为为区区间间若若)(,)()(00IIxxxaxfnnn .)()(0的的幂幂级级数数上上可可以以展展开开成成在在则则称称xxIxf 问题问

2、题:(1) 如果能展开如果能展开, an 是什么是什么?(2) 展开式是否唯一展开式是否唯一?(3) 在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?1. 函数展开成幂级数函数展开成幂级数麦克劳林级数麦克劳林级数 (x0 = 0): )0(f xf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(定义定义8.3称称处具有任意阶导数，则处具有任意阶导数，则在在设设0)(xxfnnnxxnxf)(!)(000)( )(0 xf )(00 xxxf200)(!2)(xxxf 处处的的在在为为0)(xxf nnxxnxf)(!)(00)(泰勒系数泰勒系数.泰勒级数泰勒级数2. 泰勒级数泰勒级数)

3、(xf3. an 的确定、展开式的唯一性的确定、展开式的唯一性若在邻域若在邻域U(x0 ,R) 内任意阶可导的函数内任意阶可导的函数f (x) 能展成幂级数能展成幂级数:定理定理8.13 ),(,)()(000RxUxxxaxfnnn ，),2 , 1 ,0(!)(0)( nnxfann则其系数则其系数且展开式是且展开式是唯一唯一的的.泰勒系数泰勒系数证证 nnxxaxxaaxf)()()(0010若若),(0RxUx )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf则则即得即得令令,0 xx ), 2, 1, 0()(!10)( nxfn

4、ann系数是唯一的系数是唯一的,.)(的的展展开开式式是是唯唯一一的的xf)(00 xfa )(01xfa (2) 收敛域收敛域 ？(3) 在收敛域在收敛域 I 内，级数是否内，级数是否一定一定收敛到收敛到 f (x) ?4. 泰勒级数基本问题泰勒级数基本问题;)(!)()1(000)(nnnxxnxf 构造构造即即Ixxxnxfxfnnn ，)(!)()(000)(?答：答：不一定不一定. .反例：反例： 0, 00,)(21xxexfx), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为. 0)(),( xS内收敛，且其和函数内收敛，且其和

5、函数该级数在该级数在由此可见，由此可见，的的麦麦克克劳劳林林级级数数外外除除)(,0 xfx 在在 x = 0点任意可导点任意可导,处处处处不不收敛于收敛于).( xf设设 f (x) 在区间在区间 I上具有各阶导数上具有各阶导数, 二、函数展开成幂级数的充分必要条件二、函数展开成幂级数的充分必要条件则则 f (x) 在在 I 上能展开成泰勒级数，即上能展开成泰勒级数，即)(0)(limIxxRnn 定理定理8.14 Ixxxnxfxfnnn ,)(!)()(000)(10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中的的泰泰勒勒公公式式中中的的余余项项)(xf之间）之间），在在0(

6、xx证证由由泰泰勒勒公公式式，得得 nkkkxxkxfxf000)()(!)()()(xRn)(1xSn )(xRn 必要性必要性)(Ixxxnxfxfnnn )(!)()(000)(即即,)(上上能能展展开开为为泰泰勒勒级级数数在在设设IxfIxxfxSnn ，则则)()(lim1泰勒多项式泰勒多项式泰勒级数泰勒级数 )(limxRnn),()()(1xsxfxRnn 而而)()(lim1xsxfnn )(0Ix 充分性充分性),()()(1xRxSxfnn )()(lim1xSxfnn )(limxRnn , 0 IxxfxSnn ),()(lim1即即).()(xfIxf上收敛于上收敛于

7、的泰勒级数在区间的泰勒级数在区间)()(0)(limIxxRnn 若若三、函数展开成幂级数的方法三、函数展开成幂级数的方法 1. 直接展开法直接展开法的的幂幂级级数数的的展展开开成成xxf)(1 求求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, ;2 写出幂级数写出幂级数3 判断判断?0)(lim xRnn展开方法展开方法直接展开法直接展开法 用泰勒公式用泰勒公式间接展开法间接展开法 用已有展开式用已有展开式 0)(,!)0(nnnxnf 并求收敛半径并求收敛半径 R ;),(RRx 步骤：步骤：例例1 将将xexf )(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解 ,

8、)()(xnexf ),1,0(1)0()( nfn1收敛半径收敛半径 nRlim!1n! )1(1 nx 2!21x 3!31x nxn!1的的麦麦克克劳劳林林级级数数写写出出xe nnxxnfxfxffe!)0(! 2)0()0()0()(2即即),(收敛区间：收敛区间：12xe 余项满足余项满足 )( xRne! )1( n1 nx),( x3 nxnxxxS!1! 211)(2=?),( x)0(之间之间与与介于介于x xe! )1(1 nxn n0)(0时时当当通项通项收敛级数的收敛级数的 nun,!1! 31! 21132 nxxnxxxe),( x例例2 将将xxfsin)( 展

9、开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解 ),2sin()()( nxxfn ,2sin)0()( nfn , 0)0()2( kf,) 1()0()12(kkf ),2 , 1 ,0( k !)0()(nfann 12,)!12()1(2, 0knkknk), 2 , 1 , 0( ksin x,)!12()1(012 kkkkx收敛半径收敛半径 . R12! )1(1 nxn n0余项满足余项满足),( x3),( xxsin 1253)!12(1) 1(! 51! 31nnxnxxx1)1()!1()()( nnnxnfxR 2)1(sin n! )1( n1 nx例例3 将将mxxf)1

10、()( 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数 (m: 任意常数任意常数) . 解解1,)0(mf ,)1()0( mmf)2)(1()0()( mmmfn 2 麦克劳林级数麦克劳林级数 mx1 2!2)1(xmm1lim nnnaaRnmnn 1lim1 nxnnmmm!) 1() 1()1 , 1( x, )1( nm, 1)0( f 2!2) 1(xmm nxnnmmm!) 1() 1( xmmxF111)( xmxF1)()()1(xFx ),(xmF mxxF)1()( xxxxmxxFxF00d1d)()(),1ln()0(ln)(lnxmFxF 1)0( F推证推证 1! ) 1()

11、 1() 1(nxnnmm11, )( xxF3 设和函数为设和函数为.)1()(:mxxF 下证下证 2!2) 1(xmmmx)1 ( )11( x nxnnmmm!)1()1(二项展开式二项展开式: xm 1注注 1.1的的取取值值有有关关处处收收敛敛性性与与在在mx 2 m 为正整数时为正整数时, 得得二项式定理二项式定理: mxxm1)1( 2!2)1(xmmmx 2121, m时二项展开式分别为时二项展开式分别为311 x2421x 364231x )11( x 48642531x111 x24231x 3642531x )11( x 486427531xx21 x21 mx)1 (

12、 nnxnnmmm!) 1() 1(1 1)11( x2. 间接展开法间接展开法例例4 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解 xcosxsin120)!12(1) 1( nnnxn),( x逐项求导逐项求导:)(sin x根据展开式的唯一性根据展开式的唯一性, 利用利用常见展开式常见展开式, 通通过过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法等方法, 求展开式求展开式.xcosnnnxn20)!2(1) 1( )!2()1(! 41! 211242nxxxnn),( x例例5 将将)1ln()(xxf 展开成展开成 x 的幂级

13、数的幂级数.解解 xx 11)1ln()11()1(0 xxnnn xx0)1n(l,d)1(d11000 xxxxxnnnx 1 x )1ln(x， 011)1(nnnxn连续连续, .11 x因因右端幂级数在右端幂级数在 x 1 收敛收敛 ,1)1ln( xx 在在而而故展开式对故展开式对 x 1 也成立也成立,收敛域为收敛域为.11 x注注 取取x = 1得得, 11)1(nn 312112ln11 x， 011)1(nnnxn)1ln(x 例例6 将将xsin展成展成4x 解解 xsin)cos(sin44x )sin()cos(4421xx 21 32)4(!31)4(!21)4(1

14、21xxx)( x的幂级数的幂级数. 2)4(!21x 4)4(!41x 1 )4(x 3)4(!31x 5)4(!51x )sin(cos44x )(sin44x .42312的的幂幂级级数数展展开开成成将将 xxx例例7解解2312 xx 211 xx2111 xxnnx 03431 02421nnx34 x2312 xx nnnnx4)3121(011 )26( x)1(21)1(31 34 x24 x24 x24 x的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxarcsin例例8解解 211arcsinxx 得得取取二二项项展展开开式式中中,21 m22321!221xx 32! !6! !5!

15、 !4! !321xxx 2121 x 3252321!3x nnxnn1! !2! !12 1 , 1! !2! !12111 nnnxnn 211 x得得代代替替 xx2 422! !4! !32111xxx nnxnn21! !2! !121 dxxxx 0211arcsin xarcsin)1 , 1( x nxnn2! !2! !12 12! !2! !12121 nxnnxnn 1 , 1! !2! !1211 nnnxnn 1121x例例9解解 xxxf23ln 将将 xxxf23lnln 11ln x 1111nnnnx nnnnxn12111 时时21 x.1的的幂幂级级数数

16、展展成成 x.23时时发发散散 x拆拆配配化一化一展展范围范围）2321, x 121ln x 112nnnx 211x ,212111收收敛敛nnnnn 四、函数幂级数展开式的应用四、函数幂级数展开式的应用1. 求数项级数之和求数项级数之和 12!1nnnn的的和和。求求数数项项级级数数例例10解解1 1,!1nnxnn构构造造级级数数01lim!1)!1(lim2 nnnnnnnn),( 幂幂级级数数的的收收敛敛域域为为1,!1)(nnxnnxS11)!1(1)(nnxnnxS 21)!2(nnnx 0!nnnxxxxe xxxSxS0d)()( 12!1nnnn1)2(2eS1)1(d0

17、 xxxexxxe 12!1nnnn的的和和。求求数数项项级级数数例例10解解21,!1nnxnn构造级数01lim!1)!1(lim2 nnnnnnnn),( 幂幂级级数数的的收收敛敛域域为为1!1)(nnxnnxS 12!1nnnn1)2(2eS1)1(xex11!)!1-(1nnnnnxxn1!100nnnnnxxnx1xxexe例例11.2)1(1之和之和求数项级数求数项级数 nnnn解解 1,)1(nnxnn构构造造级级数数)1 , 1( 可可得得收收敛敛域域为为 1)1()(nnxnnxS 1)1(1-1nnxnn 11)1(nnnnnxx 11)1(nnnnnxx,11xxxnn

18、 ,1)1()1ln(01 nnnxnx 110nnnxx时时，当当 1111nnnxx)1)()1(101xnxxnnn )1ln(1xxx )1ln(11)(xxxxxxS )1ln(11)(xxxxxxS )1()1ln()1(xxxxx 1211nnnn)21(S ).2ln1(2 2. 求函数的高阶导数求函数的高阶导数,)()(00 nnnxxaxf)(!10)(xfnann nnanxf!)(0)( 3.欧拉公式欧拉公式xixeixsincos 1 xex的的麦麦克克劳劳林林展展开开式式，令令利利用用4.近似计算近似计算例12., 2 , 1),0(!)!2()0(, 0)0(),

19、()(,)(, 1 , 1)()2()12(20mfmmggxfxgxaxfmmmnnn试证明有上设在0)(:nnnxaxf证) 11(!)0(0)(xxnfnnnnnnxnfxfxg20)(2!)0()()(kkkxkg0)(!)0(0)0()12(mg!)0()!2()0()()2(mfmgmm)0(!)!2()0()()2(mmfmmg, 2 , 1m内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1) 直接展开法直接展开法 用泰勒公式用泰勒公式 ;(2) 间接展开法间接展开法 用幂级数性质及已有展开式用幂级数性质及已有展开式.2. 常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开

20、式xe11 ),( xx 2!21x ,!1 nxnx 112,12 nxxx)1,1( x ! )12()1(12nxnnxsin4x !33x !55xxcos51 !22x !44x ! )2()1(2nxnnmx)1(6 xm 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1(),( x),( x)1,1( x)1(ln3x x 221x 331x 11)1(nnxn 1, 1( x1 思考题思考题1. 函数函数0)(xxf在在处处 “有泰勒级数有泰勒级数” 与与 “能展成泰能展成泰勒级数勒级数” 有何不同有何不同 ?提示提示 后者必需证明后者必需证明, 0)(lim xRnn前者无此要

21、求前者无此要求.2. 如何求如何求xy2sin 的幂级数的幂级数 ?提示提示xy2cos2121 0! )2(1)1(2121nnn,! )2(4)1(2121nnnnxn ),( xnx2)2()11()1()1ln(11 xxnxnnn例例5-1 将将在在x = 0处展为幂级数处展为幂级数.)32ln()(2xxxf 解解)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1(322xxxx 1nnnx)11( x)1ln(23x nnnxn)(23)1(11 )(3232 xnnnxnxf)(112ln)(231 )(3232 x故故2ln)( xf 1nnnxnnnxn)

22、()1(2311 例例7-1 将将3412 xx展成展成 x1 的幂级数的幂级数. 解解 )3)(1(13412 xxxx)3(21)1(21xx 141 21 x 4121 x 222)1(x nnnx2)1()1( 81141 x 224)1(x nnnx4)1()1( nnnnnx)1(2121)1(3220 )31( x)21( x 181 41 x1例例8-1将函数展开成将函数展开成 x 的幂级数的幂级数:xxxf 11arctan)(解解 )(xf211x ,)1(02 nnnx)1,1( x )0()(fxf 002d)1(nxnnxx 01212)1(nnnxnx1 时时, 级数条件收敛级数条件收敛,4)0(f ,12)1(4)(012 nnnxnxf1,1 x故故问题问题: :f( (x) )的的导数导数 易展易展? ?积分积分 21lnarctanxxxxf 将将例例8-2解解 )1(arctan2xxxxf xarctan 211xxf .的的幂幂级级数数展展成成 x 1 x 02nnx 021nnnx22111xxx 不易积分不易积分,试求导数试求导数,再展开再展开.导函数仍导函数仍不易展不易展,再再求导求导. 21lnarctanxxxxf 0fxfxf 02222121n