2022年高考数学强基计划讲义共16个【学生版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题1集合与简易逻辑

一、真题特点分析：

1.突出对思维能力的考查。

例1.【2020年武汉大学9】设4是集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集，只含有3个元素，

且不含相邻的整数，则这种子集/的个数为()

A.32B.56C.72D.84

例2.【2020年清华大学】已知集合4民。口{123,…,2020},且/03口。，则有

序集合组(4民。)的个数是().

例3【北大】已知4>0(7=1,2,...〃),立国=2求证:PJ(V2+x,.)>(V2+lY'.

x

i=i1=1

2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。

例4.【北大】10、已知实系数二次函数与g(x)J(x)=g(x)和3/(x)+g(x)=0有两重

根,/(x)有两相异实根,求证：g(x)没有实根.

二、应试和准备策略

1.注意知识点的全面

数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求

学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。

2.注意适当补充一点超纲内容

如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵,

行列式等也不可忽视。

3.适当做近几年的自主招生的真题

俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的强

基计划和高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。

总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居

高临下的感觉。

三、知识要点拓展

一、知识补充：容斥原理

基本公式：(l)card(AUB)=card(A)+card(B)—card(ACB)；(2)card(AUBU

C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(ACB)-card(APlC)-card(BPlC)+card(APlB

nc)

图1-3-1

问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，

有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的

有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问

同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

二.抽屉原理

抽屉原理的基本形式

定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，

其中至少有两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素,

从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

例1.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证

1

明：至少有两个点之间的距离不大于5.

三、针对性训练

1.对集合{1,2,…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”

如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果,

例如，集合{124,6,9}的“交替和”是9-6+4-2+1=6.6,6}的“交替和”是6-5=1,

{2}的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。

2.n元集合具有多少个不同的不交子集对？

3.以某些整数为元素的集合「具有下列性质：①尸中的元素有正数，有负数；②

产中的元素有奇数，有偶数；③一1七尸；④若x,了©尸，则x+ydP。试判断

实数0和2与集合P的关系。

4.若I，邑,S3为非空集合，对于1，2,3的任意一个排列。/，左，若xeSQeJ,

则x-ye巢

(1)证明：三个集合中至少有两个相等。

(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？

G

5.设5={1,2,3,…,200},/=u且A具有下列性质:(1)对

任意1W/V100,恒有at+aj/201；(2)%=10080o

试证A中的元素为奇数的个数是4的倍数，且a.为定值.

i=l

6.(江苏五校)已知集合幺={a,a2,口3,***,a〃},其中a’GR77>2),

/(/)表示的所有不同值的个数.

(1)已知集合夕={2,4,6,8),0={2,4,8,16},分别求1(0,1(Q)；

(2)若集合2={2,4,8,…，2〃},求证：l(A)=n(n—l)；

2

(3)求/储)的最小值.

7.通信工程中常用〃元数组(%,4,%，...%)表示信息，其中q=0或1,

人neN.设〃=(%,a2M3..........%)，v=(4也也....bn),d(〃,v)表示〃和v中相对

应的元素不同的个数.

(1)M=(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组V使得d(M,v)=l；

(2)〃=问存在多少个5元数组v使得d(〃,v)=3；

(3)令w=(0,0,0...0),...v=(/?],&,&.......b),求证：

〃个0

d(M,iv)+d(v,iv)2d(M,V).

2022年高考数学尖子生强基计划专题2均值、柯西、排序

不等式

二、真题特点分析：

1.考查思维

【2021北大强基】设正整数叫〃均不大于2021,且,<&<竺立则这

77+1n

样的数组（加,〃）个数为.

2.考查技巧

【2020清华强基】使得〃sinl>l+5cosl成立的最小正整数〃等于（）

A.3B.4C.5D.6

三、知识要点拓展：

1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：

①a°+b。22ab（a,beR）,当且仅当a=b时等号成立。

②a+b2eR*）,当且仅当a=b时等号成立。

2.最值定理：若x,yeR+,x+y=S，町=尸，则：

①如果P是定值，那么当x=了时，S的值最小；

②如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大。

注意：

①前提：“一正、二定、三相等"，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境;

还要注意选择恰当的公式；

②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；

③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

（A）均值不等式：设%生，…%是〃个正实数，记Q“=/

AJi+出+…+%,

G"=…%，Hn=%---产----「，则。”242G”2笈〃，其中等号成立的

-------1--------1-•••H

2an

条件是4=4=••=%。。“,4,3,凡,分别称为平方平均、算术平均、几何平均、

调和平均。

2.柯西不等式：

柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd),当且仅当ad=bc时，等号成立。

柯西不等式的一般形式：设a”的,%，…，％，仇也也，…也是实数,则

(aJ+<?2+…+a”).(Z?j+Z?2+…+4~)2(%4+a,%+…，当且仅当

2=0

«=1,2,或存在一个数左，使得%=%0=1,2,…时，等号成立。

3.柯西不等式的几个推论：

(1)当4=&二…〃=1时，柯西不等式即为“(a；+片+…a：)"4+4+…aj,

222

%+4+…心4士土士工,此即上面提到

nn

的平方平均2算术平均。J

(2)当"=工(i=l,2,…")时，有(a；+a22H—-----r)n2

a；"a.a,a„

(3)当%z=1,2,•••n)则

(向+病+…而>。

4.排序不等式(又称排序定理)：

a

给定两组实数%,n；如%…，bn.如果％<?V…<%；

4W力2V…〈，…那么

地+a2b+•••+/[<哂+哂+,••+/&«afy+a2b2+…+a/“

(反序和)(乱序和)(同序和)

其中不，J……，」是12……，n的一个排列.

该不等式所表达的意义是和式£盯％在同序和反序时分别取得最大值和最小值.

三、竞赛题目精练

【江苏竞赛】设实数。，6满足04a4gW6W1.证明：2(6-a)Wcos%a-cos油.

四、典例精讲

例1.证明柯西不等式

212

例2.证明：对任意实数有〃一8.

b-1a-1

例3.设心>6>0,那么/+―1一的最小值是____

b(a—b)

A链接：如果题目变为。>6>0,求力+」一^的最小值,你会做吗？

Jb(a-b)

例4.a、b为正的常数，0<x<l,/(x)=—+—^―,求/(x)的最小值.

X1-x

例5.(复旦)设〃是一个正整数，则函数x+工•在正实半轴上的最小值是

nxn

()O

(A)—(B)—(C)—(D)—

nn+1n77+1

例6.(交大)若满足关系：ayJl-b2+bsjl-a2=1,则

a2+Z?2=o

例7.(南大)尸为A4BC内一点，它到三边309448的距离分别为4,出区，

S为A48c的面积。求证：—+—+—>(a+Z)+C)2(这里a,仇c分别表示

d232AS

5C,C4,48的长)。

例8.(浙大)有小于1的正数…X〃，且M+%2+x3+…+%=1。求证:

111,

>4

------+--•+-----r°

%—%xn-xn

例9.设A48c的三内角4B、。所对的边分别为a、b、c,其周长为1.

求证:

五、真题训练

(1)(复旦)设x,y,z〉0满足xyz+.v+z=12,贝!Jlog4x+log?y+log?z的最大

值是()

(A)3(B)4(C)5(D)6

(2)(复旦)设实数a,“cwO,匕,广,丝成等差数列，则下列一定成立的是

abc

()

(A)|b|<|ac|(B)b1>|ac\(C)a1<b2<c2(D)|昨⑷:旧

3.(复旦)当。和b取遍所有实数时，函数

/(a,b)=(a+5-31cos切产+伍一2|sinb|)2所能取到的最小值为()

(A)1(B)2(C)3(D)4

4.(复旦)给定正整数〃和正常数a,对于满足不等式端+。向的所有等差

2«+l

数列a”％,为，…和式£%的最大值为()O

i=n+l

/A、JlOa/1、y/lOa(C)年(〃+1)(D)孚〃

(A)-^―(77+1)(B)----------n

2

2

5.(交大)方程X-px--!=0的两根X1,、2满足X：+V2+血则p=

(peR)

7?

(A)(交大)已知x.y^R+,x+2y=l,则-+-的最小值

%y

是o

(B)(交大)若x,y,z>0且_?+/+z?=1,则二+±+1的最小值

XVZ

为。

(X+-I-+1)-2

(C)(交大)XER+,求/(x)=^_---------的最小值。

(1Y31

XH--+XH----T-

kX)X

(D)(清华)已知x/,z>0,a,Z?,c是x,y,z的一个排列。求证3+公+士、？。

xyz

(E)(复旦)比较log2425与log2526的大小。

2022年高考数学尖子生强基计划专题3不等式性质与证明

一、真题特点分析：

——3o

1.[2020中科大11.】已知1+0+…，证明：当时,

不等式成立，且当c<2时，该不等式不成立.

3

2.【2020年武大】设正整数左使得关于X的方程kx=sinx在区间（-3万,3万）内

恰有5个实根匹</<当</</，贝U（）

.A「29%5万

A.再+'2+%3+%4+%5=。B.<X5<—

C.&=tanx5D.%,5,玉成等差数列

二、知识要点拓展

L作差比较与作商比较法

作差比较：A>B<^A-B>0

A

作商比较法：A>^>0^->1

B

注：作完差之后，我们一般采用配方或因式分解

只有正数的比较大小我们才会采用作商比较

2.逐步调整法

特征：变量的个数大等于三个；

变量之间满足对称性；

等号在相等或极端值时取到。

注：逐步调整法可以和反证法相结合；这样步骤显得更精简些。

3.绝对值不等式

公式：M—向日/土平M+忸

等号成立条件：A与B同号或异号时取到

注：不等式中加减号的选取依照具体题目的特点而定，关键是削去变量。

不等式中的等号成立条件一定要牢固掌握

不等式可以从两个进行推广

4.构造法与放缩法

构造法：一般我们可以构造函数，三角形或四边形来解决不等式的证明问题；这些问题需要

我们丰富的联想和扎时的基础。

放缩法：一般运用在多变量求和的不等式中，许多式子在没有放缩时是无法求和的，经常是

需要放缩之后，通过裂项相削来求和。所以，这类题目经常和数列结合在一起考。

5.不等式的衍生问题

不等式经常和函数，数列等内容结合在一起考，属于比较重要和综合的考点；这更要求

我们在打牢基础的同时，积极思考，注意类比和推广，这样才能掌握好这块内容。

三、应试技巧和准备策略

强基计划中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应

用，其中“不等式的证明”是难点。

证明不等式没有固定的程序，证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强，一个不等式的证法

常不止一种。证明不等式的基本方法主要有：反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法

(如构造函数、构造图形)等。

四、例题精讲

例1.(复旦)设有集合S=｛x|log<3x2—4x)22,x>0｝,

7=｛刈匕§式2必—《2幻22/>0｝满足5屋7,则实数左的取值范围是()。

(F)k2>2(B)k2<2(C)k>42(D)k<41

例2.(复旦)设实数x/20,且满足2x+y=5,则函数f(x,y)=x2+xy+2x+2y

的最大值是()。

97iOS4925

(B)—(B)—(C)—(D)—

81642

例3.(同济)求证：对于任何实数a,b,三个数|4+6|』”6|,|1-4|中至少有一

个不小于工。

2

例4.(清华)/(x)=上)/⑴=1,/(；)=|•，数列｛七｝满足3=/区)，且西=：。

ax+b232

(3)求当的通项；

(4)求证：xxx2■■■xn>-o

JF）AI7DF

例5.（清华）如图：——=x,——=y,——=Z,5MBC=4,且y+z—x=l,求A5DE

ABACDFMBC」

面积的最大值。(原题为选择题)

例6.(复旦)设/0)=/-炉+/-X+1,则/(X)有性质()

(B)对任何实数x,/(x)总是大于0

(C)对任何实数x,/(x)总是小于0

(D)当x〉0时，/(%)<0

(E)以上均不对

注：配方法是最基本的方法，尤其在证明/(x)20时常用。

例7.设…，X,W凡，且X]+X?+…+X”=1，求证

1+X11+x21+X„"+1

例8.(北大)求/(x)=|x—l|+|2x—1|+…+|2011x—1|的最小值。

14Q

例9.已知x,y,zeR+,且x+v+z=l,求一H--F—的最小值。

xyz

1010

例10.(清华)已知实数X”[-6,10],=50,=1、2、3、…、10,当取到

Z=1Z=1

最大值时，有多少个-6?

五、真题精练

1.(复旦)若实数x满足：对任意正数a〉0,均有/<i+a,则X的取值范围是

()

(A)(—1,1)(B)[―1,1](C)(-Jl+a,Jl+a)(D)

不能确定

2.(复旦)设a,“c为非负实数，且满足方程4'+9H——68x2^+96+4。+256=0,

则a+Z?+c的最大值和最小值()。

(A)互为倒数(B)其和为13(C)其乘积为4(D)

均不存在

3.（复旦）下列不等式中正确的是（）

12011201

(A)16<27<17(B)18<2了<19

k=\ykk=\y/k

120i120i

(C)20<y^=<21(D)22<y^<23

4.(交大)已知x/,z是非负整数，且x+y+z=10,x+2y+3z=30,则x+5y+3z

的取值范围是O

%2+yficix+52—

有唯一解，则。=

5.（交大）已知不等式组43o

%2+yj_2.cix+5V—

12

6.（复旦）。1，。2"，an是各不相同的自然数，«>2,求证

lII

——+——+…+——<2o

\a\)\a2J\an7

7（复旦）也满足何条件,可使三黑<1恒成立？

（B）（复旦）求证：1+3+工+-.+*<3o

、3

（C）（交大）已知正整数列与电,…，对大于1的〃，有％+出+…+%=]〃，

"化…”等。试证：—中至少有一个小于1。

2022年高考数学尖子生强基计划专题5函数与方程

四、真题特点分析：

1.【2021年北大13】方程/_2孙+3了2_4》+5=0的整数解的组数为

2.【2020年清华29】已知函数〃x）=e、+a（x-l）+6在区间［1,3］上存在零

点，贝必?+/的最小值为（）

A.-B.eC.-D.e2

22

3【2020武大2】已知方程2「sinx=l,则下列判断:

（1）方程没有正数解；

（2）方程有数多个解；

（3）方程有一个正数解；

（4）方程的实根小于1.

其中错误的判断有.

二、知识要点拓展

（B）一元二次方程ax2+6x+c=o（Q。0）有关公式

-b±yJb2-4ac

1.一元二次方程的根:x=------------

2a

he_

2.根与系数的关系：再+%2=-，Xi~—（韦达定理）

aa

3.判别式：A=&2-4ac.

二.函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题

1.函数不等式的恒成立问题：

(1)不等式/(x)2加在集合。上恒成立o在集合。上f(x)min>m.

(2)不等式在集合。上恒成立O在集合。上/(X)max<〃.

2.函数不等式的能成立问题：

(1)在集合。上存在实数X使不等式/(X)2加成立O在集合。上

/(X)max2加•

(2)在集合。上存在实数X使不等式/(X)V〃成立O在集合。上4〃.

3.函数不等式的恰成立问题：

不等式在集合。上恰成立o该不等式的解集为。.

三.几个常见的函数方程

1.正比例函数f(x)=CX,具有性质：/(X+V)=/(%)+=c.

2.指数函数/(》)=优，具有性质：/(x+y)=/(xW),/(l)=a^0.

3.对数函数/(X)=logaX，具有性质：

/(中)=/(X)+//),/⑷=l(a>0,"1).

方程的根与函数的零点：

1.对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数叫做函数了=/(x)的零点.

2.方程/(x)=0有实数根u>函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数了=/(%)

有零点

3.零点存在定理：设函数/(x)在闭区间以a上连续，且/仅>/3)<0,那么在

开区间(a,6)内至少存在一点c,使/(。)=0。

A函数零点的理解：

(1)函数了=/(x)的零点、方程/(x)=0的根、函数了=/(x)的图像与x轴交点

的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程/(x)=0根的个数就是

函数了=/(X)的零点的个数，亦即函数了=/(X)的图像与X轴交点的个数

(2)函数的零点不是点，而是函数函数y=/(x)的图像与x轴交点的横坐标，

即零点是一个实数。

(3)若函数/(X)在区间［a向上的图象是一条连续的曲线，则/(a)./(b)<0是

/(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。

二.高次方程韦达定理

①三次方程韦达定理

设三次方程+92+CX+d=0的三个根为七,》2，13>那么

b

X]+x2+----,

-a

c

<XjX2+x,x3+x2x3=—,

a

d

X1X2X3=―一-

、a

nnn2

②如果一元〃次多项式f(x)=anx+an^~'+an_2x~+■■■+a1x+a0的根为斗,马，…，Z，

那么

1

X1+X2+•■•+X„=-%

an

再々+X[X3+•­•+XnAXn

a„-3

V2X3+X1X2X4++X„-2Xn-lX„

an

尤俨2七…X.=(-l)”出

an

以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元n次方程可直接求

方程的根。

3.整系数多项式

设/(x)eK[x],aeC,若/(tz)=0,则称a为/(%)的根(或零点)；又若x-a是/(%)

的左重因式，则称a为/(X)的k重根，当左=1时，称a为/(x)的单根。

代数基本定理：任意一个次数不小于1的多项式至少有一个复数根。

根的个数定理：任意一个21)次多项式的复数根的个数(依重数累加)恰有〃个，依

次定理可知任何一个f{x)=anx"+---+a0^C[x]可以分解为

fl|k

/(x)=tzn(x-x1)•­•(x-xky,其中再加2…/,为两两不同的复数，aieN*,且

k

Z%=〃。这是多项式/(x)在复数范围内的标准分解式。

Z=1

虚根成对定理：设/(》"火[刃/€4+万为/(》)的复根，即/(Z)=O,则

7(^)=/(z)=0,于是三=a-4,也是/(x)的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出

现。

n

实系数多项式分解定理：设f(x)=anx+---+a0^R\x],则/(x)可分解为

22

/(x)=tzn(x-%1)•-)(x+^JX+CJ)---(x+2bjx+ci),其中

2

eR,bi,cieR,J3.6,<4cpl<z<l.m,leN,m+21=no

p

整系数多项式的有理根：设=+…+劭£Z[x],—(夕/ez,pqWO,(p,q)=1)

q

是/(X)的有理根，贝1」P/旬应/%，并且可写/(x)=X-—g(x)=(qx-p)h(x),其

Iq)

中g,/zeZ[x]o

依上述定理可知，若/（x）eZ[x],/（x）的首项系数为1,则/（x）的有理根都是整数根。

三、典例精讲

例1.（复旦）设三次方程/+/+4=0的3个根互异，且可成等比数列，则它

们的公比是—

（A）(D)

22

---------±—1

22

A分析与解答：

例2.（北大）求Jx+11—6V^Zi+Jx+27—=1的实数根的个数。

例3.(复旦)设a,Z?£(-泡+8),6w0,a,尸,,是三次方程+依+人=o的3

个根，则总以工+工,工+!」+工为根的三次方程是()

a(3(3yya

(4)a1x3+2abx2+b2x-a=0(B)b2x3+2abx2+a2x-b=0

(C)a2x3+2ab2x2+bx-a=Q(D)b2x3+2a2bx2-^-ax-b=0

2an

例4.（清华）请证明：方程l+x+土+三+…+二=0在〃为偶数的时候没有实

2!3!n\

数根，在〃为奇数的时候，有且仅有一个实数根。

例5.（复旦）方程3/_"=0的实根是（）

（A）不存在（B）有一个（C）有两个（D）有三个

练习1：函数了与它的反函数的交点个数为（）

16

（B）1个（B）2个（C）3个（D）4个

练习2：关于X的方程卜2_1『_k2_1卜左=0,给出下列四个命题:

①存在实数上,使得方程恰有2个不同的实根

②存在实数人,使得方程恰有4个不同的实根

③存在实数人,使得方程恰有5个不同的实根

④存在实数人,使得方程恰有8个不同的实根

其中假命题的个数是)

A0B1C2D3

例6.(交大)设/(x)=(1+。)/+/_(3。+2)--4。，试证明对任意实数a：

(1)方程/(x)=0总有相同的实根；

(2)存在/,恒有/(%”0。

例7.(复旦)在实数范围内求方程佝金+户1=3的实数根。

例8.(交大)已知函数/(x)=ax?+Z?x+c(aw0),且/(x)=x没有实数根。问:

/(/(x))=x是否有实数根？并证明你的结论。

例9.(交大)当/(x)=x时，x的取值称为不动点。证明：若/(/(%))有唯一不

动点，则/(x)也有唯一不动点。

四、重点总结

1.掌握判断函数零点的常用方法：方程法，图像法，定理法。注意在给定区间内函数零点

个数可能大于1个。

2.对于解无理方程，需要注意利用配方法，换元法，倒数法以及根据函数单调性去解方程。

3.关于三次方程或者高次方程，巧妙利用韦达定理，不同方程可以利用换元将根转化，便

于解方程。

五、强化训练

（A组）

g+Jx+；=4的实数解为

1.方程X+

组实数解。

y2+2xy+1-8y=0

3.已知方程2氐3一(2+43■卜2+(4+6卜_1=()，其中两个满足条件工+:=4,

则此方程的根为。

4.求一切实数P,使得三次方程5丁—5(0+1)/+(710—1)x+1=660的三个根均为自

然数。______

5.解方程：一2.+产+1==2(-)2

X2+1+^(X2+1)2+1

6.试求多项式/(切=24/+26/+9》+1①的有理根

7.已知名“c为方程7x+7=0的根，则一二+—二+—二的值为

("I)(…一

8.解方程：（X+8）20°I+X2°°I+2X+8=0。

(B组)

1.已知多项式/(》)=/+/+/一4%-20的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相

反，试求/(x)的有理数根。

2.在平面直角坐标系内，将适合x<y，W<3，M<3,且使关于t的方程

(x3-/>4+(3x+y)/+-^—=0没有实数根的点(x,y)所成的集合记为N,则由点集及

^-y

所成区域的面积为O

A81/4B83/4C81/5D83/5

3.已知实数x,y,z满足：x>y>z,x+y+z=l,—+、2+z2=3。求实数％的取值范

围。

4.设方程金99。+%)989+出储988+3+%98/+%990=。的根都是正数。当口观❷=T990

时，试求。1990的最大值。

2022年高考数学尖子生强基计划专题6：导数的应用

五、真题特点分析:

[2021年清华4】恰有一个实数X使得f一依_1=0成立，则实数a的取

值范围为().

2.【2020年清华17.】已知函数/(x)=37r+sinx(xe[-2,2]),则/(x)

e+e

的最大值与最小值的和是().

A.2B.eC.3D.4

二、知识要点拓展

导数的定义：设函数y=/(x)在点七的某个邻域内有定义，若极限

lim/(x)-/(x。)(*)存在，则称函数/在点/可导，并称其极限值为函数/在

X~X0

x0的导数，记作/Go)。

若令x=x0+Ax,Ay=/(x0+Ax)-/(x0),则(*)式可改写为

lim/(/+叔)一〃/)=lim电

——oAxoAx

-/*(xo)°

二.导数的几何意义：

函数/在点/的导数/(%)是曲线y=f(x)在点(x0,/(x0))处切线的斜率。

若a表示这个切线与x轴正向的夹角，则/(x())=tana。

三.基本求导法则：

①(M±V)，=/±"；(2)(MV)'=M'V+MV',(CM)'=CU'(c

为常数)；

③闾.^^,山=-=；④反函数导数

IvJv2IvJv2dxdx

dy

⑤复合函数导数@=◎.四

dxdudx

四.基本初等函数导数公式

①(。=0(c为常数)；②(x)=ax"i(。为任何实数)；

(3)(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec2x,(cotx)'=-esc2x,

(secx)'=secxtanx,(esex)'=-esexcotx；

④(arcsinx)'=-(arccosx)'=,(|x\<1)

Vl-x2

(arctanx)'=-(arccotx)'=[】1；

⑤⑷)'="lna,©)'="；

@(logflx)'=—,(ln^)'=-

xmax

五.原函数：设/(x)是定义在区间。上的函数，若存在函数尸(x),对任意xe。

都有1(x)=/(x),则称/(X)是/(X)的一个原函数。

一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若/(X)是/(X)的一个

原函数，则/(x)+C表示/(x)的全体原函数.

六.不定积分：设/(X)是/(X)的一个原函数，则称/(x)的全体原函数/(x)+C为

/(X)的不定积分。记为J/(x)dx,即J/(x)dx=E(x)+C。

七.不定积分的性质：

①(J/(x)dxJ=/(x)；②J-(x)公=/(x)+C,

③J4f(x)dx=f(x)dx,④J"(x)土g(x)]dx=jf(x)dx±jg(x)dx。

八.常见积分公式

^dx-x+C,fxadx=—―xa+1+C,

Ja+1

P1

\-dx-\n\x\+C,I*a"dx—---优+C,

JXJIna

jexdx=ex+C,Jsmxdx=-cosx+C,

[cosxdx=sinx+C,f-\-dx=tanx+C,

jJcosX

f-\—dx=-cotx+Co

Jsinx

九.函数的单调性：若函数/在伍/)内可导，则/在伍/)内递增(递减)的充

要条件是,(x)20(/,(x)<0),xe(a,b)o

三、典例精讲

例1・已知/(x)在x=a处可导，且/'(。)=力，求下列极限:

⑴lim/(.+3/Q-/(,-/z)；(2)1向/("/)一/⑷

go2hgoh

练习1:若函数y=/(x)在区间(a,b)内可导，且x0e(a,b)则

1血/(4+〃)一/(X。一〃)

hfOh

的值为()

A./1(x0)B.2/1(x0)C.-27'(x0)D.0

练习2：(2000上海交大)已知/(x)在/处可导，则

f\x3h)-f\x-h)_

11111o+o—________________________________O

『0h

例2.求函数y=(x-a)(x-6)(x-c)的导数。

练习3./1)="3+3/+2,若/'(—1)=4,贝［a的值等于()

例3.函数y=皿的导数为

例4.求函数歹二(1+cos2x)3的导数。

例5.观察(x")'=,(sinx)r=cosx,(cosx)'=-sinx,是否可判断,可导的

奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

例6.求证下列不等式

Y2V2,卜

(1)x---<ln(l+x)<x---------xe(0,+oo)(相减)

22(1+x)

(2)sinx>—x€(0,—)(相除)

712

(3)x-sinx<tanx-xxe(0,

例7.已知函数/(x)=x,g(x)=ln(l+x),h(x)=-----

1+x

(1)证明：当x>0时，恒有f(x)>g(x)；

Iry

(2)当x〉0时，不等式g(x)>—匚(左20)恒成立，求实数k的取值范围;

k+x

例8.利用导数求和：

2

(1)Sn=l+2x+3xH--F〃X"T(XWO,nuN*)；

(2)S”C：+2C：+3C：+…N*)。

例9.已知函数/(x)=/+x—i,a,夕是方程/(x)=0的两个根(a>.),/(%)是/(x)

的导数；设％=1,—4(n=l,2,……)

(1)求a,〃的值；

(2)证明：对任意的正整数〃，都有““>a;

(3)记〃=111k£(〃=1，2,…)，求数列｛〃｝的前〃项和S"。

四、真题训练

1.若/(x0)=-3,则lim/(/+/-30=()

°20h

A.-3B.-6C.-9D.-12

2.(上海交大)设厂(%)=2,则lim，(但一二人也二")=()

hf。h

(B)-2(B)2(C)-4(D)4

3./(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若/(x),g(x)满足/'(X)=g'(x),

则

/(X)与g(x)满足()

A./(%)=g(x)B./(x)-g(x)为常数函数

C./(x)=g(x)=0D./(x)+g(x)为常数函数

4.若/(x)=since-cosx,则/'(a)等于()

A.sinceB.cosaC.sina+cosaD.2sina

5.若函数f{x}=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数/'(X)的图象是

()

6.于R上可导的任意函数/(x),若满足(x-l)/'(x)20,则必有()

A./(0)+/(2)<2/(1)B./(0)+/(2)<2/(1)

C.7(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)

7.函数y=3在点x=4处的导数是

111

A.B.C.D.

881616

8.设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a.b,c是两两不等的常数)，则

abc

-；1—；1—；—的值是

/(«)/3)/(c)

9.证明下面不等式:

(1)已知：xe(O+oo),求证^―<<工；

x+1XX

(2)已知：n€N^n>2,求证：—+—H--F—<ln72<l+—+—F--—

23n27/-I

10.已知函数/(x)=lnx

(I)求函数g(x)=/(X+1)-X的最大值；

(II)当0<a<b时，求证:f(b)-f(a)>2a,-2

a+b^

11.设/（x）的定义域为（0,+oo）,/（x）的导函数为了'（X）,且对任意正数X均有

八X）〉”

X

（I）判断函数/（x）=/也在（0,+8）上的单调性；

X

（II）设再,一€（°，+8），比较/（再）+/（%2）与/（西+%2）的大小，并证明你的

结论；

（III）设X],x2,…x“e（0,+co）,若〃22,比较