控制原理01-05

1、2021/12/2812021/12/282 系统能在实际中使用的首要条件是系统要稳定。 分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。 经典控制理论对于判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。 1.本章着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其用法; 2.提高系统稳定性的方法。2021/12/283 本章将介绍:1. 线性系统稳定性的初步概念;2.Routh 与Hurwitz判据;3.Nyquist稳定判据;4.Bode 判据;5.系统相对稳定性问题。2021/12/284p1p2Aqq xy c图5.1.12021/12/285 如图5.1.1所示的液压位置随动系统,从油源来的压力为pS的

2、压力油,经伺服阀和管以流量q1，q2进入或流出油缸，阀体获得输入位移x0后，活塞输出位移，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即与反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量, 这样就组成了一个闭环系统, 它保证了活塞跟随阀芯的运动而运动。 当阀芯受外力右移，即输入位移xi后，控制口24打开，控制口31关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，使得活塞也向右移。当外力去掉后，阀芯停止运动。此时由于活塞滞后于阀芯的确位移而继续右移，直到控制人口2关闭，即回到原来的平衡位置。但因移动的活塞有惯性，在伺服阀回到原本的平衡位置后，活塞仍然不能停止，继续带动阀体右移，因而使控制口13打开，24关闭，压

3、力油反过来进入右缸，左缸接通回油，这使活塞反向(向左移动，并带动阀体左移，直到阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。但活塞因惯性继续左移，使油路又反向。 在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数(如质量，阻力和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的(减幅的），也可能是发散的(增幅的）或等幅的，如图5.1.2所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。2021/12/286从上例可知，系统不稳定现象有如下值得注意之点。 如上例，系统是在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的, 故线性系统的稳定性只取决于系统

4、本身结的构与参数，而与输入无关。(非线性系统的稳定性是与输入有关的。） 例如，图5.1.3所示的单位反馈系统，如原系统是不产生不稳定现象的，那么加入反馈后就形成为闭环系统。当输入撤消后，此闭环系统就以初始偏差作为进一步运动的信号，产生输出而反馈联系不断减去(或加上)。若反馈的结果，削弱了作用(即负反馈)，则使越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视收敛还是发散而定。2021/12/287 也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在由初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；当然，根据的分析，也可以说，是讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的，至于对机械工程系统，

5、往往用激振或加或外力的方法施以强迫震动或运动，因而, 造成系统共振或偏离平衡位置越来越远, 这不是控制理论讨论的范围。2021/12/288 若系统在初始状态(不论是无输入时的初态 还是输入引起的初态还是这两者之和,此外, n仍为系统阶数)的影响下, 由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移, 逐渐衰减并趋向于零(即回到平衡位置), 则称该系统为稳定的; 反之, 若在初始状态的影响下, 由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散(即偏离平衡位置越来越远), 则称该系统为不稳定的。xxxooon(), (),()()0001xxxoioioni(), (),()()00012021/12/28

6、9 根据上述稳定性的定义，可以用下述两种方法，分别求得定常线性系统稳性条件。)3 . 2 . 2(.,)()()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXtxLtxLsGnnnnmmmmioio),()()()(01110111txbpbpbpbtxapapapaimmmmonnnn)(mn ).(1152021/12/2810设定常线性系统的输出为： N(s)是与初始条件xo(k)(0)(其中k = 0,1,2, ,n-1 )有关的s多项式, 而xo(k)(0)输出 xo(t)及其各阶导数xo (k)(t)在输入作用前 t =0 时刻的值, 即系统在输入作用前的初始状

7、态。研究此初始状态影响下系统的时间响应时, 可在式(5.1.2)中取Xi(s)=0, 得到在初始状态影响下系统的这一时间响应(即零输入响应)。XsM sD sX sN sD soi( )( )( )( )( )( ),( . . )512XsN sD so( )( )( )G sM sD s( )( )( )为系统的传递函数。式中：方法方法(1) 2021/12/2811 若si为系统特征方程D(s)=0的根(或称系统的特征根，以及系统的传递函数的极点，i=1，2，n；si 可以为复数)，且当各si不相同时, 有)()(,)()()exp()()()()(1111010sDdsdsDsDsNA

8、tsAsDsNLsxLtxissiinii 由上可知, 如系统所有特征根si的实部均为负值,即 Resi0 即 K0(2)充分条件:346750075003460.K即 K34.6所以, 使系统稳定的K值的范围为: 0 K34.6。2021/12/28381. 特殊情况1：第一列出现0第一列出现002s3s3ss) s (D234各项系数均为正数2s023s2)(0s031s231s01234解决方法：用任意小正数代之。2021/12/28392. 特殊情况2：某一行元素均为006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345解决方法：用全0行

9、的上一行元素构成辅助方程,用对该方程求导后的方程系数替代全0行.各项系数均为正数求导得:06s5s24010413ss例如：出现全0行2js2, 13js4, 31s5还可由这些辅助方程求出相应的极点2021/12/2840n 说明:劳斯阵列出现全零行表明 系统在系统在s平面有对称分布的根平面有对称分布的根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根对称于虚轴2021/12/28412021/12/2842 Nyquist稳定判据利用系统开环频率特性稳定判据利用系统开环频率特性GK(j)在在GH平面上的平面上的Nyquist图来判别系统闭环的稳定性。图来判别系统闭环的稳定性。 记 PGK(j)在s平面的右

10、半平面的极点数; N GK(j)在GH平面的轨迹逆时针包围点(-1,j0)的圈数。2021/12/2843 当 和 由到变化时, 若 GH平面的轨迹GK(j)逆时针包围点(1, j0) N圈, N=P, 则系统GB(j)稳定; NP, 闭环系统不稳定。GK(j)顺时针包围点(1, j0), 闭环系统不稳定。 当 和由到变化时, 若 GH平面的轨迹GK(j)不包围点(1, j0), 则系统GB(j)稳定; 反之, 闭环系统不稳定。2021/12/2844图图5.3.65.3.6N=P, 系统GB(j)稳定。 GK(j) 点 (-1,j0), 闭环系统不稳定。例例1ImRe 0(-1, j0)0I

11、mRe0(-1, j0)02021/12/2845例例2 ImRe 00(-1, j0).) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba已知系统开环传递函数为: 由到变化时, GH平面的轨迹GK(j)逆时针包围点(-1,j0) 一圈。 N=P=1, 系统GB(j)稳定。 系统开环不稳定，而闭环稳定。系统开环不稳定，而闭环稳定。2021/12/28462021/12/2847 开环极坐标图 (开环Nyquist图) 与开环对数坐标图 (开环Bode图) 有对应的关系。这就意味着在 Nyquist图上利用开环频率特性来判别系统闭环稳定性的方法, 可转

12、换到Bode图上来进行。利用开环对数频率特性来判别系统闭环稳定性的方法及规则, 称 Bode 判据。 其实质是 Nyquist判据的引申。开环Bode图与开环Nyquist图有如下的对应关系:2021/12/2848 (1)极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的 0dB 线。因为.dB01lg20)(j)(jlg20HG图图5.4.1 (a) 5.4.1 (a) 图图5.4.1 (b) 5.4.1 (b) 20lg|GH|0180 90GH270 g120dBImRe0 =0GK(j ) g1 c幅值穿越频率幅值穿越频率2021/12/2849 (2)极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的18

13、0线。因为.180)(j)(jHG图图5.4.1 (a) 5.4.1 (a) 图图5.4.1 (b) 5.4.1 (b) 20lg|GH|0180 90GH270 g120dBImRe0 =0GK(j ) g1 g相位穿越频率相位穿越频率2021/12/2850 c 为Nyquist轨迹与单位圆的交点频率, 即对数幅频特性与横轴的交点频率, 亦是输入与输出幅值相等时的频率, 称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率。 g 为Nyquist轨迹与负实轴交点的频率, 即对数相频特性与横轴的交点频率, 称为相位交界频率或相位穿越频率。 根据Nyquist判据和上述两种图的对应关系, 对数判据可表述如

14、下:2021/12/2851 在 P = 0 时(开环稳定) 若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴, 即 c g , 则闭环系统不稳定。若 c= g , 则闭环系统临界稳定。 若开环对数幅频特性达到 0dB (即交于 c ), 其对数相频特性还在 180线以上 (相位还不足180), 则闭环系统稳定。若开环对数 相频特性达到180时, 其对数幅频特性还在 0dB 线以上 (即幅值不足 1 ) , 则闭环系统不稳定。 通常, 开环系统多为最小相位系统, 即 P = 0, 故可按上述条件来对开环稳定的系统判别系统闭环稳定性。2021/12/2852 在在Bode图上图上, 当当 由由0变到

15、变到+时时,在对数幅频特性在对数幅频特性为正值的范围内，开环对数相频特性对为正值的范围内，开环对数相频特性对180轴轴线正负穿越的次数之差为线正负穿越的次数之差为P/2 时时, 闭环系统稳定闭环系统稳定; 否否则则, 不稳定。不稳定。对一般情形对一般情形, 对数判据如下对数判据如下:2021/12/2853开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之差-1闭环不稳定。例12021/12/2854开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之差+1 闭环稳定2021/12/2855开环特征方程无右根，m=0正负穿越数之差0 闭环稳定。2021/12/2856图5.4.3是对型系统而言的。负半穿越负半穿

16、越正半穿越正半穿越 180GH图图5.4.3 5.4.3 半穿越半穿越2021/12/2857 如图5.4.3(a) 可见, 在0c 频率范围内, 对数相频特性正、负穿越次数差为零, 若 P = 0, 则系统稳定。 如图5.4.3(b) 可见, 若有多个剪切频率, 则取最大的剪切频率来判别, 如图对c3而言, 是稳定的, 故系统稳定。 1020lg|G| dB010 180GH0ab负穿越负穿越 1020lg|G| dB010 180GH0图图5.4.3 5.4.3 多个剪切点多个剪切点(a)(b)2021/12/2858 由Nyquist稳定判据可知: 若 P = 0 的闭环系统稳定, 且当

17、Nyquist 轨迹离点 (-1, j0) 越远, 则其闭环稳定性就越高; 开环Nyquist 轨迹离点 (-1, j0) 越近, 则其闭环稳定性就越低。这就是通常所说的相对稳定性, 它通过GK(j )对点(-1, j0)的靠近程度来表征, 其定量表示是相角裕度与幅值裕度Kg, 如图5.4.1所示。图图5.5.1 ( C ) 5.5.1 ( C ) 20lg|GH|0180 90GH270Kg(dB)0gc20dB2021/12/2859ImRe0 ( c)GK(j )(1, j0)A c1/Kg g图图5.5.1 ( a ) 5.5.1 ( a ) 正相角裕度 正幅值裕度图图5.5.1 (

18、C ) 5.5.1 ( C ) 20lg|GH|0180 90GH270Kg(dB)0gc20dB正相角裕度 正幅值裕度2021/12/2860ImRe0 ( c)GK(j )(1, j0)A c1/Kg g图图5.4.1 (b) 5.4.1 (b) j j(1, j0)图图5.5.1 (d) 5.5.1 (d) 20lg|GH|0180 90GH270Kg(dB)0)时, 相频特性GH距180线的相位差称为相角裕度称为相角裕度(又称相位稳定性储备, 即容许相位再滞后才达到 c = g的临界稳定条件)。 对于稳定的系统,必在 Bode图横轴 (180线)以上,这时称为正相角裕度, 即有正的稳定性储备, 如图5.4.1(c) 所示; 对于不稳定的系统,必在 Bode 图横轴 (180